Функция тока определена для несжимаемых ( бездивергентных ) течений в двух измерениях, а также в трех измерениях с осесимметрией . На скорости потока компонента может быть выражена как производные в скалярной функции тока. Функцию тока можно использовать для построения линий тока , которые представляют траектории частиц в установившемся потоке. Двумерная функция тока Лагранжа была введена Джозефом Луи Лагранжем в 1781 году. [1] Функция тока Стоксапредназначен для осесимметричного трехмерного потока и назван в честь Джорджа Габриэля Стоукса . [2]
Рассматривая частный случай гидродинамики , разница между значениями функции тока в любых двух точках дает объемный расход (или объемный поток ) через линию, соединяющую две точки.
Поскольку линии тока касаются вектора скорости потока, значение функции тока должно быть постоянным вдоль линии тока. Полезность функции тока заключается в том, что компоненты скорости потока в направлениях x и y в данной точке задаются частными производными функции тока в этой точке. Функция потока может быть определена для любого потока, размерность которого больше или равна двум, однако двумерный случай, как правило, легче всего визуализировать и вывести.
Для двумерного потенциального потока линии тока перпендикулярны эквипотенциальным линиям. Вместе с потенциалом скорости функция тока может использоваться для получения комплексного потенциала. Другими словами, функция тока учитывает соленоидальную часть двумерного разложения Гельмгольца , а потенциал скорости учитывает безвихревую часть.
Двумерная функция тока
Определения
Лэмб и Бэтчелор определяют функцию потокадля поля скорости несжимаемого потокаследующим образом. [3] Учитывая точку и точка ,
является интегралом скалярного произведения от скорости потока вектораи нормальный к элементу кривой Другими словами, функция потока это поток объема через кривую. Точкаявляется просто точкой отсчета, определяющей, где функция потока тождественно равна нулю. Сдвиг в приводит к добавлению константы к функции потока в .
Бесконечно малый сдвиг позиции приводит к изменению функции потока:
- .
компоненты скорости потока по отношению к функции тока должен быть
в этом случае они действительно удовлетворяют условию нулевой дивергенции вследствие несжимаемости потока, т. е.
Определение с использованием векторного потенциала
Знак функции потока зависит от используемого определения.
Один из способов - определить функцию потока для двумерного потока, скорость которого может быть выражена через векторный потенциал
Где если вектор скорости потока .
В декартовой системе координат это эквивалентно
Где а также компоненты скорости потока в декартовой а также координатные направления соответственно.
Альтернативное определение (противоположный знак)
Другое определение (более широко используемое в метеорологии и океанографии, чем приведенное выше):
- ,
где является единичным вектором в direction, а нижние индексы указывают на частные производные.
Обратите внимание, что это определение имеет знак, противоположный приведенному выше (), так что имеем
в декартовых координатах.
Все формулировки функции тока ограничивают скорость для точного удовлетворения двумерного уравнения неразрывности :
Последние два определения функции потока связаны тождеством векторного исчисления.
Обратите внимание, что в этом двумерном потоке.
Вывод двумерной функции тока.
Рассмотрим две точки A и B в двумерном плоском потоке. Если расстояние между этими двумя точками очень мало: δn, и поток потока проходит между этими точками со средней скоростью q, перпендикулярной линии AB, объемный расход на единицу толщины δΨ определяется как:
При δn → 0, переставляя это выражение, получаем:
Теперь рассмотрим двумерное плоское течение в системе координат. Предположим, что наблюдатель смотрит вдоль произвольной оси в направлении увеличения и видит поток, пересекающий ось слева направо . Принято соглашение о знаках, что скорость потока положительна .
Поток в декартовых координатах
Наблюдая за потоком в элементарный квадрат в декартовой системе координат xy , мы имеем:
где u - скорость потока, параллельная и в направлении оси x, а v - скорость потока, параллельная и в направлении оси y. Таким образом, при δn → 0 и перестановкой имеем:
Непрерывность: происхождение
Рассмотрим двумерный плоский поток в декартовой системе координат. Непрерывность утверждает, что если мы рассматриваем несжимаемый поток в элементарный квадрат, поток в этот маленький элемент должен равняться потоку из этого элемента.
Общий поток в элемент определяется по формуле:
Общий поток из элемента определяется по формуле:
Таким образом, мы имеем:
и упрощая до:
Подставляя выражения функции тока в это уравнение, имеем:
Завихренность
Функцию тока можно найти по завихренности, используя следующее уравнение Пуассона :
или же
где вектор завихренности - определяется как ротор вектора скорости потока - для этого двумерного потока т.е. только -составная часть может быть ненулевым.
Доказательство того, что постоянное значение функции тока соответствует линии тока
Рассмотрим двумерный плоский поток в декартовой системе координат. Рассмотрим две бесконечно близкие точки а также . Из расчетов мы получаем, что
Сказать принимает такое же значение, скажем , в двух точках а также , тогда касается кривой в а также
подразумевая, что вектор нормально к кривой . Если мы сможем показать это везде, используя формулу для с точки зрения , тогда мы докажем результат. Из этого легко следует,
Свойства функции потока
- Функция потока постоянно вдоль любой линии тока.
- Для непрерывного потока (без источников и стоков) объемный расход на любом замкнутом пути равен нулю.
- Для двух схем потока несжимаемой жидкости алгебраическая сумма функций тока равна другой функции тока, полученной, если две схемы потока накладываются друг на друга.
- Скорость изменения функции тока с расстоянием прямо пропорциональна составляющей скорости, перпендикулярной направлению изменения.
Рекомендации
Цитаты
- ^ Лагранж, Ж.-Л. (1868), "Mémoire sur la théorie du mouvement des fluides (in: Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1781)", Oevres de Lagrange , Tome IV, pp. 695–748
- ^ Стокс, Г.Г. (1842 г.), "Об установившемся движении несжимаемых жидкостей", Труды Кембриджского философского общества , 7 : 439–453, Bibcode : 1848TCaPS ... 7..439S
Печатается на: Стокс, Г.Г. (1880), Математические и физические документы, Том I , Cambridge University Press, стр. 1–16 - ↑ Лэмб (1932 , стр. 62–63) и Бэтчелор (1967 , стр. 75–79)
Источники
- Бэтчелор, GK (1967), Введение в динамику жидкости , Cambridge University Press, ISBN 0-521-09817-3
- Лэмб, Х. (1932), Гидродинамика (6-е изд.), Cambridge University Press, переиздано Dover Publications, ISBN 0-486-60256-7
- Massey, BS; Уорд-Смит, Дж. (1998), Механика жидкостей (7-е изд.), Великобритания: Нельсон Торнс
- Уайт, FM (2003), Механика жидкости (5-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill
- Гамлен, TW (2001), Комплексный анализ , Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-95093-1
- "Streamfunction" , Глоссарий по метеорологии AMS , Американское метеорологическое общество , получено 30 января 2014 г.
Внешние ссылки
- Интерактивное веб-приложение Joukowsky Transform