В математике , А рекуррентное соотношение является уравнением , что рекурсивно определяет последовательность или многомерный массив значений после того , как один или более начальные условия; каждый следующий член последовательности или массива определяется как функция предыдущих терминов.
Термин « разностное уравнение» иногда (и для целей данной статьи) относится к определенному типу рекуррентного отношения. Однако «разностное уравнение» часто используется для обозначения любого рекуррентного отношения.
Определение
Рекуррентное соотношение является уравнением , которое выражает каждый элемент последовательности в зависимости от предыдущих. Точнее, в случае, когда задействован только непосредственно предшествующий элемент, рекуррентное отношение имеет вид
где
- функция, где X - множество, которому должны принадлежать элементы последовательности. Для любой, это определяет уникальную последовательность с как его первый элемент, называемый начальным значением . [1]
Легко изменить определение для получения последовательностей, начиная с члена индекса 1 или выше.
Это определяет рекуррентное отношение первого порядка . Рекуррентное отношение порядка k имеет вид
где - функция, которая включает k последовательных элементов последовательности. В этом случае для определения последовательности необходимы k начальных значений.
Примеры
Факториал
Факториала определяется рекуррентным соотношением
и начальное условие
Логистическая карта
Примером рекуррентного отношения является логистическая карта :
с заданной постоянной r ; при начальном члене x 0 каждый последующий член определяется этим соотношением.
Решение рекуррентного отношения означает получение решения в замкнутой форме : нерекурсивной функции от n .
Числа Фибоначчи
Повторяемость второго порядка, которой удовлетворяют числа Фибоначчи, является архетипом однородного линейного рекуррентного отношения с постоянными коэффициентами (см. Ниже). Последовательность Фибоначчи определяется с использованием повторения
В явном виде рекуррентность приводит к уравнениям
и т.п.
Получаем последовательность чисел Фибоначчи, которая начинается
- 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
Повторяемость может быть решена описанными ниже методами, в результате чего получается формула Бине , которая включает степени двух корней характеристического многочлена t 2 = t + 1; производящая функция последовательности является рациональной функцией
Биномиальные коэффициенты
Простой пример многомерного рекуррентного отношения дают биномиальные коэффициенты , которые подсчитывают количество способов выбора k элементов из набора n элементов. Их можно вычислить с помощью рекуррентного соотношения
с базовыми случаями . Использование этой формулы для вычисления значений всех биномиальных коэффициентов создает бесконечный массив, называемый треугольником Паскаля . Те же значения также могут быть вычислены напрямую по другой формуле, которая не является повторением, но требует умножения, а не просто сложения для вычисления:
Связь с разностными уравнениями в узком смысле
Учитывая упорядоченную последовательность из действительных чисел : первое различие определяется как
Второе отличие определяется как
который можно упростить до
В более общем смысле: k -я разность последовательности a n записывается как определяется рекурсивно как
(Последовательность и его различие связаны между собой биномиальным преобразованием ) . В более ограничительном определении разностного уравнения является уравнением , состоящим из более п и его к - я разностей. (Широко используемое более широкое определение рассматривает «разностное уравнение» как синоним «рекуррентного отношения». См., Например, рациональное разностное уравнение и матричное разностное уравнение .)
Собственно, нетрудно заметить, что,
Таким образом, разностное уравнение может быть определена как уравнение , которое включает в п , а п -1 , а п -2 и т.д. (или , что эквивалентно а п , а п +1 , а п + 2 и т.д.)
Поскольку разностные уравнения - очень распространенная форма повторения, некоторые авторы используют эти два термина как взаимозаменяемые. Например, разностное уравнение
эквивалентно рекуррентному соотношению
Таким образом, можно решить многие рекуррентные соотношения, перефразируя их как разностные уравнения, а затем решая разностное уравнение, аналогично тому, как решаются обыкновенные дифференциальные уравнения . Однако числа Аккермана являются примером рекуррентного отношения, которое не отображается в разностное уравнение, не говоря уже о точках решения дифференциального уравнения.
См. Исчисление шкалы времени для объединения теории разностных уравнений с теорией дифференциальных уравнений .
Уравнения суммирования относятся к разностным уравнениям, как интегральные уравнения относятся к дифференциальным уравнениям.
От последовательностей к сеткам
Однопеременные или одномерные рекуррентные отношения касаются последовательностей (то есть функций, определенных на одномерных сетках). Многопараметрические или n-мерные рекуррентные отношения относятся к n-мерным сеткам. Функции, определенные на n-сетках, также можно изучать с помощью уравнений в частных разностях . [2]
Решение
Решение однородных линейных рекуррентных соотношений с постоянными коэффициентами
Корни характеристического многочлена
Однородная линейная рекуррентность порядка d с постоянными коэффициентами - это уравнение вида
где коэффициенты d c i (для всех i ) являются постоянными, а.
Постоянная рекурсивная последовательность представляет собой последовательность , удовлетворяющая повторению этой формы. Решения этой повторяемости имеют d степеней свободы , т. Е. Начальные значения можно принять любые значения, но тогда повторение однозначно определяет последовательность.
Те же коэффициенты дают характеристический многочлен (также «вспомогательный многочлен»)
чьи корни d играют решающую роль в поиске и понимании последовательностей, удовлетворяющих рекуррентности. Если корни r 1 , r 2 , ... различны, то каждое решение рекурсии принимает вид
где коэффициенты k i определены таким образом, чтобы соответствовать начальным условиям повторения. Когда одни и те же корни встречаются несколько раз, члены этой формулы, соответствующие второму и последующим вхождениям одного и того же корня, умножаются на возрастающие степени n . Например, если характеристический многочлен можно разложить на множители как ( x - r ) 3 , причем один и тот же корень r встречается три раза, то решение будет иметь вид
А также числа Фибоначчей , другие последовательности константных-рекурсивный включают номера Лукаса и Лукас последовательность , то число Якобстали , то число Пеллы и в более общем случае решения для уравнения Пелля .
Для порядка 1 повторение
имеет решение а , п = г л с 0 = 1 и наиболее общее решение п = кр п с в 0 = K . Характеристический многочлен, приравненный к нулю ( характеристическое уравнение ), есть просто t - r = 0.
Решения таких рекуррентных соотношений более высокого порядка находятся систематическими средствами, часто с использованием того факта, что a n = r n является решением рекуррентности именно тогда, когда t = r является корнем характеристического многочлена. К этому можно подойти напрямую или с помощью производящих функций ( формальных степенных рядов ) или матриц.
Рассмотрим, например, рекуррентное отношение вида
Когда у него есть решение того же общего вида, что и a n = r n ? Подставляя это предположение ( анзац ) в рекуррентное соотношение, находим, что
должно быть истинным для всех n > 1.
Разделив на r n −2 , мы получим, что все эти уравнения сводятся к одному и тому же:
которое является характеристическим уравнением рекуррентного соотношения. Решите относительно r, чтобы получить два корня λ 1 , λ 2 : эти корни известны как характеристические корни или собственные значения характеристического уравнения. В зависимости от природы корней получаются разные решения: если эти корни разные, мы имеем общее решение
а если они идентичны (когда A 2 + 4 B = 0 ), мы имеем
Это наиболее общее решение; две константы C и D могут быть выбраны на основе двух заданных начальных условий a 0 и a 1 для получения конкретного решения.
В случае комплексных собственных значений (которые также приводят к комплексным значениям для параметров решения C и D ) использование комплексных чисел можно исключить, переписав решение в тригонометрической форме. В этом случае мы можем записать собственные значения в виде Тогда можно показать, что
можно переписать как [4] : 576–585
где
Здесь E и F (или, что то же самое, G и δ) - действительные константы, которые зависят от начальных условий. С использованием
можно упростить решение, данное выше, как
где a 1 и a 2 - начальные условия, а
Таким образом, нет необходимости решать для λ 1 и λ 2 .
Во всех случаях - действительные различные собственные значения, действительные дублированные собственные значения и комплексно сопряженные собственные значения - уравнение является устойчивым (то есть, переменная a сходится к фиксированному значению [в частности, к нулю]) тогда и только тогда, когда оба собственных значения меньше единицы в абсолютное значение . В этом случае второго порядка это условие на собственные значения может быть показано [5] как эквивалентное | А | <1 - B <2, что эквивалентно | B | <1 и | А | <1 - Б .
Уравнение в приведенном выше примере было однородным в том смысле , что не было постоянного члена. Если начать с неоднородного повторения
с постоянным членом K , это может быть преобразовано в однородную форму следующим образом: Установившееся состояние находится путем установки b n = b n −1 = b n −2 = b *, чтобы получить
Тогда неоднородную рекуррентность можно переписать в однородном виде как
который можно решить, как указано выше.
Условие устойчивости, сформулированное выше в терминах собственных значений для случая второго порядка, остается в силе для общего случая n- го порядка: уравнение является устойчивым тогда и только тогда, когда все собственные значения характеристического уравнения меньше единицы по модулю.
Для однородного линейного рекуррентного отношения с постоянными коэффициентами порядка d пусть p ( t ) будет характеристическим многочленом (также «вспомогательным многочленом»)
такое, что каждый c i соответствует каждому c i в исходном рекуррентном соотношении (см. общую форму выше). Предположим, что λ - корень p ( t ) кратности r . Это означает, что ( t - λ) r делит p ( t ). Имеют место два следующих свойства:
- Каждая из r последовательностей удовлетворяет рекуррентному соотношению.
- Любую последовательность, удовлетворяющую рекуррентному соотношению, можно однозначно записать как линейную комбинацию решений, построенных в части 1, когда λ изменяется по всем различным корням p ( t ).
В результате этой теоремы однородное линейное рекуррентное соотношение с постоянными коэффициентами может быть решено следующим образом:
- Найдите характеристический многочлен p ( t ).
- Найдите корни p ( t ) с учетом кратности.
- Запишите a n как линейную комбинацию всех корней (с учетом кратности, как показано в теореме выше) с неизвестными коэффициентами b i .
- Это общее решение исходного рекуррентного отношения. ( q - кратность λ * )
- Приравняем каждый из части 3 (включение n = 0, ..., d в общее решение рекуррентного соотношения) с известными значениямииз исходного рекуррентного отношения. Однако значения a n из исходного используемого рекуррентного отношения обычно не обязательно должны быть смежными: за исключением исключительных случаев, необходимо всего d из них (т. Е. Для исходного однородного линейного рекуррентного отношения порядка 3 можно использовать значения a 0 , а 1 , а 4 ). Этот процесс приведет к линейной системе d уравнений с d неизвестными. Решая эти уравнения относительно неизвестных коэффициентов общего решения и включение этих значений обратно в общее решение даст частное решение исходного рекуррентного отношения, которое соответствует начальным условиям исходного рекуррентного отношения (а также всем последующим значениям исходного рекуррентного отношения).
Метод решения линейных дифференциальных уравнений аналогичен описанному выше - «интеллектуальное предположение» ( анзац ) для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - это e λ x, где λ - комплексное число, которое определяется путем подстановки предположения в дифференциальное уравнение. .
Это не совпадение. Рассматривая ряд Тейлора решения линейного дифференциального уравнения:
видно, что коэффициенты ряда задаются n- й производной функции f ( x ), вычисленной в точке a . Дифференциальное уравнение представляет собой линейное разностное уравнение, связывающее эти коэффициенты.
Эту эквивалентность можно использовать для быстрого решения рекуррентного соотношения для коэффициентов в решении степенного ряда линейного дифференциального уравнения.
Практическое правило (для уравнений, в которых многочлен, умножающий первый член, не равен нулю в нуле), заключается в следующем:
и в более общем плане
Пример: рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда Тейлора уравнения:
дан кем-то
или же
Этот пример показывает, как проблемы, обычно решаемые с использованием метода решения степенного ряда, преподаваемого в классах нормальных дифференциальных уравнений, могут быть решены намного проще.
Пример: дифференциальное уравнение
есть решение
Преобразование дифференциального уравнения в разностное уравнение коэффициентов Тейлора имеет вид
Легко видеть , что п - й производной е ах оценивается в точке 0 п .
Решение с помощью линейной алгебры
Линейно рекурсивная последовательность y порядка n
идентичен
Расширен n −1 тождеством вида, это уравнение n-го порядка переводится в систему матричных разностных уравнений из n линейных уравнений первого порядка,
Обратите внимание, что вектор может быть вычислен по п применений матрицы компаньона , C , к исходному вектору состояния,. Таким образом, n -я запись искомой последовательности y является верхним компонентом.
Собственное разложение , на собственные значения, , и собственные векторы, , используется для вычисления . Благодаря тому решающему факту, что система C сдвигает во времени каждый собственный вектор e , просто масштабируя его компоненты в λ раз,
то есть версия собственного вектора со сдвигом во времени, e , имеет компоненты в λ раз больше, компоненты собственного вектора являются степенями λ , и, таким образом, решение рекуррентного однородного линейного уравнения представляет собой комбинацию экспоненциальных функций, . Компоненты можно определить из начальных условий:
Решая для коэффициентов,
Это также работает с произвольными граничными условиями , не обязательно начальные,
Это описание действительно не отличается от общего метода, приведенного выше, но более лаконично. Это также хорошо работает в таких ситуациях, как
где есть несколько связанных повторений. [6]
Решение с z-преобразованиями
Некоторые разностные уравнения - в частности, линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами - могут быть решены с помощью z-преобразований . В Z -преобразования представляют собой класс интегральных преобразований , которые приводят к более удобным алгебраическим преобразованиям и более простых решениям. Бывают случаи, когда получить прямое решение было бы практически невозможно, но решить проблему с помощью тщательно подобранного интегрального преобразования несложно.
Решение неоднородных линейных рекуррентных соотношений с постоянными коэффициентами
Если повторение неоднородно, частное решение может быть найдено методом неопределенных коэффициентов, и решение представляет собой сумму решения однородного и частного решений. Другой метод решения неоднородной рекуррентности - это метод символического дифференцирования . Например, рассмотрим следующее повторение:
Это неоднородное повторение. Если мы подставим n ↦ n +1, мы получим рекуррентность
Вычитание исходной рекурсии из этого уравнения дает
или эквивалентно
Это однородная повторяемость, которую можно решить описанными выше методами. В общем случае, если линейная рекуррентность имеет вид
где - постоянные коэффициенты, а p ( n ) - неоднородность, то если p ( n ) - многочлен со степенью r , то эту неоднородную рекуррентность можно свести к однородной рекуррентности, применяя метод символического разложения r раз.
Если
- производящая функция неоднородности, производящая функция
неоднородной повторяемости
с постоянными коэффициентами c i получается из
Если P ( x ) - рациональная производящая функция, A ( x ) - также единица. Рассмотренный выше случай, когда p n = K - константа, возникает как один из примеров этой формулы с P ( x ) = K / (1 - x ). Другой пример, повторениес линейной неоднородностью возникает при определении шизофренических чисел . Решение однородных повторений включается как p = P = 0.
Решение неоднородных рекуррентных соотношений первого порядка с переменными коэффициентами
Более того, для общего неоднородного линейного рекуррентного соотношения первого порядка с переменными коэффициентами:
есть еще хороший способ решить эту проблему: [7]
Позволять
потом
Если применить формулу к и переходя к пределу h → 0, получаем формулу для линейных дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами; сумма становится интегралом, а произведение становится экспоненциальной функцией интеграла.
Решение общих однородных линейных рекуррентных соотношений
Многие однородные линейные рекуррентные соотношения могут быть решены с помощью обобщенных гипергеометрических рядов . Частные случаи из них приводят к рекуррентным соотношениям для ортогональных многочленов и многих специальных функций . Например, решение
дан кем-то
функции Бесселя , в то время как
решается
вырожденная гипергеометрическая серии . Последовательности, являющиеся решениями линейных разностных уравнений с полиномиальными коэффициентами , называются P-рекурсивными . Для этих конкретных рекуррентных уравнений известны алгоритмы, которые находят полиномиальные , рациональные или гипергеометрические решения.
Решение рациональных разностных уравнений первого порядка
Рациональное разностное уравнение первого порядка имеет вид . Такое уравнение можно решить, написав как нелинейное преобразование другой переменной который сам по себе развивается линейно. Тогда стандартные методы могут быть использованы для решения линейного разностного уравнения в.
Стабильность
Устойчивость линейных возвратов высших порядков.
Линейная рекуррентность порядка d ,
имеет характеристическое уравнение
Повторение является стабильным , что означает, что итерации асимптотически сходятся к фиксированному значению тогда и только тогда, когда собственные значения (т. Е. Корни характеристического уравнения), действительные или комплексные, меньше единицы по абсолютной величине.
Устойчивость линейных матричных повторений первого порядка
В матричном разностном уравнении первого порядка
с вектором состояния x и матрицей перехода A , x сходится асимптотически к вектору x * устойчивого состояния тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы перехода A (действительные или комплексные) имеют абсолютное значение меньше 1.
Устойчивость нелинейных возвратов первого порядка.
Рассмотрим нелинейное возвращение первого порядка
Это повторение является локально устойчивым , что означает, что оно сходится к фиксированной точке x * из точек, достаточно близких к x *, если наклон f в окрестности x * меньше единицы по модулю: то есть,
Нелинейное возвращение может иметь несколько фиксированных точек, и в этом случае некоторые фиксированные точки могут быть локально устойчивыми, а другие - локально нестабильными; для непрерывного f две соседние неподвижные точки не могут быть обе локально устойчивыми.
Нелинейное рекуррентное соотношение может также иметь цикл периода k для k > 1. Такой цикл является устойчивым, что означает, что он привлекает набор начальных условий положительной меры, если составная функция
с появлением f k раз является локально устойчивым по тому же критерию:
где x * - любая точка цикла.
В хаотическом рекуррентном соотношении переменная x остается в ограниченной области, но никогда не сходится к фиксированной точке или к циклу притяжения; любые неподвижные точки или циклы уравнения неустойчивы. См. Также логистическую карту , диадическую трансформацию и карту палатки .
Связь с дифференциальными уравнениями
При численном решении обыкновенного дифференциального уравнения обычно встречается рекуррентное соотношение. Например, при решении задачи начального значения
с помощью метода Эйлера и шага h вычисляются значения
повторением
Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка могут быть дискретизированы точно аналитически, используя методы, указанные в статье о дискретизации .
Приложения
Биология
Некоторые из наиболее известных разностных уравнений возникли в результате попытки моделирования динамики популяции . Например, числа Фибоначчи когда-то использовались в качестве модели роста популяции кроликов.
Логистическое отображение либо используется непосредственно для роста модели населения, или в качестве отправной точки для более детальных моделей динамики популяций . В этом контексте связанные разностные уравнения часто используются для моделирования взаимодействия двух или более популяций. Например, модель Николсона – Бейли для взаимодействия паразит- хозяин дается выражением
где N t представляет хозяев, а P t - паразитов в момент времени t .
Уравнения интегроразличия - это форма повторяющихся соотношений, важных для пространственной экологии . Эти и другие разностные уравнения особенно подходят для моделирования одновольтных популяций.
Информатика
Отношения рекуррентности также имеют фундаментальное значение при анализе алгоритмов . [8] [9] Если алгоритм спроектирован так, что он разбивает проблему на более мелкие подзадачи ( разделяй и властвуй ), время его выполнения описывается рекуррентным соотношением.
Простой пример - время, необходимое алгоритму, чтобы найти элемент в упорядоченном векторе с элементы, в худшем случае.
Наивный алгоритм будет искать слева направо, по одному элементу за раз. Худший из возможных сценариев - когда требуемый элемент является последним, поэтому количество сравнений равно.
Более лучший алгоритм называется двоичным поиском . Однако для этого требуется отсортированный вектор. Сначала он проверит, находится ли элемент в середине вектора. Если нет, то он проверит, больше или меньше средний элемент искомого. На этом этапе половину вектора можно отбросить, а алгоритм можно запустить снова на другой половине. Количество сравнений будет выражено
временная сложность которых будет.
Цифровая обработка сигналов
При цифровой обработке сигналов рекуррентные отношения могут моделировать обратную связь в системе, где выходы в один момент времени становятся входами для будущего времени. Таким образом, они возникают в цифровых фильтрах с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) .
Например, уравнение для гребенчатого БИХ- фильтра задержки T с прямой связью выглядит следующим образом:
где вход в момент времени t ,- это выходной сигнал в момент времени t , а α контролирует, какая часть задержанного сигнала возвращается на выход. Из этого мы видим, что
и т.п.
Экономика
Отношения рекуррентности, особенно линейные рекуррентные отношения, широко используются как в теоретической, так и в эмпирической экономике. [10] [11] В частности, в макроэкономике можно разработать модель различных широких секторов экономики (финансовый сектор, сектор товаров, рынок труда и т. Д.), В которой действия некоторых агентов зависят от лаговых переменных. Затем модель будет решена для текущих значений ключевых переменных ( процентная ставка , реальный ВВП и т. Д.) С точки зрения прошлых и текущих значений других переменных.
Смотрите также
- Голономные последовательности
- Итерированная функция
- Ортогональные многочлены
- Рекурсия
- Рекурсия (информатика)
- Генератор Фибоначчи с запаздыванием
- Основная теорема (анализ алгоритмов)
- Доказательство сегментов точек круга
- Непрерывная дробь
- Расчет шкалы времени
- Комбинаторные принципы
- Бесконечный импульсный отклик
- Интегрирование по формулам приведения
- Математическая индукция
Рекомендации
Сноски
- ^ Джейкобсон, Натан, Основная алгебра 2 (2-е изд.), § 0.4. стр.16.
- ^ Уравнения с частичными разностями , Sui Sun Cheng, CRC Press, 2003, ISBN 978-0-415-29884-1
- ^ Грин, Дэниел Х .; Кнут, Дональд Э. (1982), "2.1.1 Постоянные коэффициенты - A) Однородные уравнения", Математика для анализа алгоритмов (2-е изд.), Birkhäuser, p. 17.
- ^ Чан, Альфа С., Фундаментальные методы математической экономики , третье издание, McGraw-Hill, 1984.
- ↑ Папаниколау, Василис, «Об асимптотической устойчивости одного класса линейных разностных уравнений», Mathematics Magazine 69 (1), февраль 1996 г., стр. 34–43.
- ^ Маурер, Стивен Б .; Ралстон, Энтони (1998), Дискретная алгоритмическая математика (2-е изд.), А.К. Петерс, стр. 609, ISBN 9781568810911.
- ^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 05.07.2010 . Проверено 19 октября 2010 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка )
- ^ Кормен, Т. и др., Введение в алгоритмы , MIT Press, 2009
- ^ Р. Седжвик, Ф. Флажолет, Введение в анализ алгоритмов , Addison-Wesley, 2013
- ^ Стоки, Нэнси Л .; Лукас, Роберт Э., младший ; Прескотт, Эдвард С. (1989). Рекурсивные методы в экономической динамике . Кембридж: Издательство Гарвардского университета. ISBN 0-674-75096-9.
- ^ Юнгквист, Ларс ; Сарджент, Томас Дж. (2004). Рекурсивная макроэкономическая теория (второе изд.). Кембридж: MIT Press. ISBN 0-262-12274-X.
Библиография
- Батчелдер, Пол М. (1967). Введение в линейные разностные уравнения . Dover Publications.
- Миллер, Кеннет С. (1968). Линейные разностные уравнения . WA Бенджамин.
- Филмор, Джей П .; Маркс, Моррис Л. (1968). «Линейные рекурсивные последовательности». SIAM Ред . 10 (3). С. 324–353. JSTOR 2027658 .
- Бруссо, Альфред (1971). Линейная рекурсия и последовательности Фибоначчи . Ассоциация Фибоначчи.
- Томас Х. Кормен , Чарльз Э. Лейзерсон , Рональд Л. Ривест и Клиффорд Штайн . Введение в алгоритмы , второе издание. MIT Press и McGraw-Hill, 1990. ISBN 0-262-03293-7 . Глава 4: Рецидивы, стр. 62–90.
- Грэм, Рональд Л .; Knuth, Donald E .; Паташник, Орен (1994). Конкретная математика: Фонд компьютерных наук (2-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-55802-5.
- Эндерс, Уолтер (2010). Прикладные эконометрические временные ряды (3-е изд.). Архивировано из оригинала на 2014-11-10.
- Калл, Пол; Флэхив, Мэри ; Робсон, Робби (2005). Разностные уравнения: от кроликов к хаосу . Springer. ISBN 0-387-23234-6. Глава 7.
- Жак, Ян (2006). Математика для экономики и бизнеса (Пятое изд.). Прентис Холл. стр. 551 -568. ISBN 0-273-70195-9. Глава 9.1: Разностные уравнения.
- Минь, Тан; Ван То, Тан (2006). «Использование производящих функций для решения линейных неоднородных рекуррентных уравнений» (PDF) . Proc. Int. Конф. Моделирование, моделирование и оптимизация, SMO'06 . С. 399–404.
- Полянин, Андрей Д. "Разностные и функциональные уравнения: точные решения" . в EqWorld - Мир математических уравнений.
- Полянин, Андрей Д. "Разностные и функциональные уравнения: методы" . в EqWorld - Мир математических уравнений.
- Ван, Сян-Шэн; Вонг, Родерик (2012). «Асимптотика ортогональных многочленов через рекуррентные соотношения». Анальный. Прил . 10 (2): 215–235. arXiv : 1101.4371 . DOI : 10.1142 / S0219530512500108 . S2CID 28828175 .
Внешние ссылки
- «Отношение рекуррентности» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Вайсштейн, Эрик В. "Уравнение повторяемости" . MathWorld .
- "Индекс OEIS Rec" . Индекс OEIS на несколько тысяч примеров линейных повторений, отсортированных по порядку (количеству терминов) и сигнатуре (вектор значений постоянных коэффициентов)