S - это аксиоматическая теория множеств, изложенная Джорджем Булосом в его статье 1989 года «Итерация снова». S , теория первого порядка , двусортна, потому что ее онтология включает в себя «стадии», а также множества . Boolos разработал S, чтобы воплотить свое понимание «итеративной концепции множества» и связанной с ней итеративной иерархии . S обладает тем важным свойством, что все аксиомы теории множеств Цермело Z , за исключением аксиомы экстенсиональности и аксиомы выбора , являются теоремами S или его небольшая модификация.
Онтология
Любое объединение математических , абстрактных или конкретных объектов, независимо от их формы , является совокупностью , синонимом того, что другие теории множеств называют классом . Вещи, составляющие коллекцию, называются элементами или членами. Обычный пример коллекции - это область дискурса теории первого порядка .
Все наборы являются коллекциями, но есть коллекции, которые не являются наборами. Синонимом коллекций, не являющихся наборами, является собственный класс . Существенная задача аксиоматической теории множеств состоит в том, чтобы отличать множества от правильных классов, хотя бы потому, что математика основана на множествах, а соответствующие классы отводятся исключительно описательной роли.
В универсума фон Неймана реализует «итеративной концепции множества», расслаивая вселенную множеств в ряд «стадий», с наборами на данном этапе причем члены множеств формируется на всех высших стадиях. Понятие стадии выглядит следующим образом. Каждому этапу присваивается порядковый номер . Самый низкий этап, этап 0, состоит из всех сущностей, не имеющих членов. Мы предполагаем, что единственной сущностью на этапе 0 является пустой набор , хотя этот этап будет включать в себя любые элементы, которые мы хотели бы допустить. Этап n , n > 0, состоит из всех возможных наборов, образованных из элементов, которые можно найти на любом этапе, число которых меньше n . Каждый набор, сформированный на этапе n, также может быть сформирован на каждом этапе больше n . [1]
Следовательно, этапы образуют вложенную и упорядоченную последовательность и будут формировать иерархию, если бы членство в наборе было транзитивным . Итеративная концепция постепенно стала более общепринятой, несмотря на несовершенное понимание ее исторических корней.
Итерационная концепция набора бычков ясно, в хорошо мотивированных образом, из хорошо известных парадоксов в Рассел , Burali-Фортите и Кантор . Эти парадоксы все результат от неограниченного использования принципа понимания в наивной теории множеств . Такие коллекции, как «класс всех наборов» или «класс всех порядковых чисел », включают наборы со всех этапов итеративной иерархии. Следовательно, такие коллекции не могут быть сформированы на каком-либо конкретном этапе и, следовательно, не могут быть наборами.
Примитивные представления
Этот раздел следует за Boolos (1998: 91). Переменные x и y изменяются по множествам, а r , s и t - по стадиям. Есть три примитивных двухместных предиката :
- Set – set: x ∈ y , как обычно, означает, что множество x является членом множества y ;
- Set – stage: Fxr означает, что множество x «формируется на» этапе r ;
- Этап – этап: r < s означает, что этап r «раньше» этапа s .
Приведенные ниже аксиомы включают в себя определенный предикат, состоящий из двух мест, Bxr , который сокращается:
Bxr читается как «набор x формируется до этапа r ».
Идентичность , обозначаемая инфиксом '=', не играет той роли в S, которую она играет в других теориях множеств, и Boolos не делает полностью явным, включает ли фоновая логика идентичность. S не имеет аксиомы экстенсиональности, и тождество отсутствует в других аксиомах S. Идентичность появляется в аксиоме схеме , отличающей S + от S , [2] и при выводе в S от спаривания , множества нуля и бесконечности аксиом Z . [3]
Аксиомы
Символьные аксиомы, показанные ниже, взяты из Boolos (1998: 91) и определяют, как наборы и стадии ведут себя и взаимодействуют. Версии аксиом на естественном языке предназначены для помощи интуиции.
Аксиомы делятся на две группы по три. Первая группа состоит из аксиом, относящихся исключительно к стадиям и отношению стадия-стадия «<».
Tra :
«Раньше чем» является переходным.
Сеть :
Следствием Net является то, что каждый этап предшествует некоторому этапу.
Инф :
Единственной целью Inf является обеспечение получения в S в аксиому бесконечности других теорий множеств.
Вторая и последняя группа аксиом включает в себя как наборы, так и стадии, а также предикаты, отличные от '<':
Все :
Каждый набор формируется на каком-то этапе иерархии.
Когда :
Набор формируется на определенном этапе, если его члены сформированы на более ранних этапах.
Пусть A ( y ) - формула S, где y свободен, а x - нет. Тогда справедлива следующая схема аксиом:
Спецификация :
Если существует стадия r , на которой все множества, удовлетворяющие A ( y ), сформированы на стадии, предшествующей r , то существует множество x , членами которого являются как раз те множества, которые удовлетворяют A ( y ). Роль Spec в S аналогично из схемы аксиом спецификации из Z .
Обсуждение
Булос назвал теорию множеств Цермело за вычетом протяженности Z- . Boolos выводит в S все аксиомы Z-, кроме аксиомы выбора . [4] Цель этого упражнения в том, чтобы показать , как большинство из обычной теории множеств может быть получено из итеративной концепции множества, предполагается воплощена в S . Экстенсиональность не вытекает из итеративной концепции, и поэтому не является теоремой S . Однако S + Extensionality не противоречит, если S не противоречит.
Затем Boolos изменил Spec, чтобы получить вариант S, который он назвал S + , так что схема аксиом замены выводима в S + + Extensionality. Следовательно, S + + Extensionality имеет мощность ZF . Булос также утверждал, что аксиома выбора не следует из итеративной концепции, но не касался того, можно ли каким-либо образом добавить Choice к S. [5] Следовательно, S + + Extensionality не может доказать теоремы традиционной теории множеств ZFC , доказательства которых требуют выбора.
Inf гарантирует существование стадий ω и ω + n для конечных n , но не стадии ω + ω. Тем не менее, S дает достаточно канторовского рая, чтобы обосновать почти всю современную математику. [6]
Boolos сравнивает S на некоторой длину варианты системы Фреге «s Grundgesetze , в котором принцип Юма , взятый в качестве аксиомы, заменяет Фрег Основного закона V, неограниченное понимание аксиома , которая сделала систему несовместимого Фреге; см . парадокс Рассела .
Сноски
- ^ Boolos (1998: 88).
- ^ Boolos (1998: 97).
- ^ Boolos (1998: 103-04).
- ^ Boolos (1998: 95-96; 103-04).
- ^ Boolos (1998: 97).
- ^ «… Подавляющее большинство математики 20-го века можно прямо представить наборами довольно низких бесконечных рангов, конечно, меньше ω + 20». (Поттер 2004: 220). Исключения из утверждения Поттера, по-видимому, включают теорию категорий , которая требует слабодоступных кардиналов, предоставляемых теорией множеств Тарского – Гротендика , и высших достижений самой теории множеств.
Рекомендации
- Булос, Джордж (1989), «Итерация снова», Philosophical Topics , 17 : 5–21, JSTOR 43154050. Печатается на: Булос, Джордж (1998), логика, логика и логика , издательство Гарвардского университета, стр. 88–104, ISBN 9780674537675.
- Поттер, Майкл (2004), теория множеств и ее философия , Oxford University Press, ISBN 9780199269730.