В математике , лемма Шура [1] является элементарным , но чрезвычайно полезно утверждение в теории представлений о группах и алгебр . В групповом случае он говорит , что если М и N являются два конечномерными неприводимыми представлениями некоторой группы G и φ является линейным преобразованием из М в N , что коммутирует с действием группы, то либо φ является обратимым , или φ = 0. Важный частный случай возникает, когда M = N и φ - отображение себя; в частности, любой элемент центра группы должен действовать в качестве скалярного оператора (скалярное кратное идентичности) на М . Лемма названа в честь Иссая Шура, который использовал ее для доказательства соотношений ортогональности Шура и развития основ теории представлений конечных групп . Лемма Шура допускает обобщения на группы Ли и алгебры Ли , наиболее распространенное из которых принадлежит Жаку Диксмье .
Теория представлений групп
Теория представлений - это изучение гомоморфизмов группы G в общую линейную группу GL (V) векторного пространства V ; т.е. в группу автоморфизмов V . (Здесь мы ограничимся случаем, когда основное поле V равно, Поле комплексных чисел.) Такой гомоморфизм называется представлением G на V . Представление на V является частным случаем действия группы на V , но вместо того, чтобы допускать любые произвольные перестановки основного множества V , мы ограничиваемся обратимыми линейными преобразованиями.
Пусть ρ является представлением G на V . Это может быть случай , что V имеет подпространство , Вт , таким образом, что для любого элемента г из G , обратимый линейное отображение ρ ( г ) сохраняет или исправления W , так что ( ρ ( г )) ( ж ) находится в W для каждый ш в W , и ( ρ ( г )) ( v ) не находится в W для любого V не в Вт . Другими словами, каждое линейное отображение ρ ( г ): V → V также автоморфизм W , ρ ( г ): W → W , когда его область ограничена W . Мы говорим , W стабильна при G , или стабильной под действием G . Понятно , что если мы будем рассматривать W по себе как векторное пространство, то есть очевидное представление G на W -The представления мы получаем, ограничивая каждую карту р ( г ) в Вт . Когда W обладает этим свойством, мы будем называть W с данным представления а подпредставления из V . Представление группы G без подпредставлений (кроме себя и нуля) является неприводимым представлением. Неприводимые представления, такие как простые числа или простые группы в теории групп, являются строительными блоками теории представлений. Многие из исходных вопросов и теорем теории представлений касаются свойств неприводимых представлений.
Поскольку мы заинтересованы в гомоморфизмах между группами, или непрерывными отображениями между топологическими пространствами , мы заинтересованы в некоторых функциях между представлениями G . Пусть V и W - векторные пространства, и пусть а также - представления G на V и W соответственно. Затем мы определяем G- линейное отображение f из V в W как линейное отображение из V в W , эквивариантное относительно действия G ; то есть, для каждого г в G ,. Другими словами, мы требуем , чтобы F коммутирует с действием G . G -линейного карты морфизмов в категории представлений G .
Лемма Шуры теорема , которая описывает то , что G могут существовать -линейные карты между двумя неприводимыми представлениями группы G .
Утверждение и доказательство леммы.
Теорема (лемма Шура) : пусть V и W - векторные пространства; и разреши а также неприводимые представления группы G на V и W соответственно. [2]
- Если а также не изоморфны, то между ними нет нетривиальных G -линейных отображений.
- Если конечномерным над алгебраически замкнутым полем (например, ); и если, то единственными нетривиальными G -линейными отображениями являются тождественные и скалярные кратные тождества. (Скалярное кратное тождества иногда называют гомотетией. )
Доказательство: предположимявляется ненулевым G -линейным отображением из к . Мы докажем, что а также изоморфны. Позволять быть ядром или пустым пространством в , подпространство всех в для которого . (Легко проверить, что это подпространство.) По предположению, чтоявляется G -линейным, для каждого в и выбор в . Но говоря, что это то же самое, что сказать, что находится в нулевом пространстве . Такустойчиво под действием G ; это субпредставительство. Поскольку по предположению неприводимо, должно быть равно нулю; так инъективно.
Точно так же покажем также сюръективно; поскольку, можно сделать вывод, что при произвольном выборе в диапазоне , отправляет где-то еще в диапазоне ; в частности, он отправляет его на изображение. Итак, диапазон является подпространством из стабильный под действием , так что это субпредставление и должен быть нулевым или сюръективным. По предположению он не равен нулю, поэтому он сюръективен, и в этом случае это изоморфизм.
В случае, если конечномерны над алгебраически замкнутым полем и имеют одно и то же представление, пусть быть собственным значением . (Собственное значение существует для каждого линейного преобразования в конечномерном векторном пространстве над алгебраически замкнутым полем.) Пусть. Тогда если является собственным вектором соответствующий . Ясно, чтоявляется G -линейным отображением, поскольку сумма или разность G -линейных отображений также является G -линейной. Затем мы возвращаемся к приведенному выше аргументу, где мы использовали тот факт, что отображение было G- линейным, чтобы сделать вывод, что ядро является подпредставлением и, таким образом, либо равно нулю, либо равно всем из; потому что он не равен нулю (он содержит) это должно быть все из V, поэтому тривиально, поэтому .
Формулировка на языке модулей
Если М и N являются две простые модули над кольцом R , то любой гомоморфизм F : M → N из R -модулями является либо обратимым или равен нулю. [3] В частности, кольцо эндоморфизмов простого модуля является телом . [4]
Условие, что f - гомоморфизм модулей, означает, что
Версия группы представляет собой частный случай версии модуля, так как любое представление группы G эквивалентно , можно рассматривать как модуль над кольцом группы из G .
Лемма Шура часто применяется в следующем частном случае. Предположим , что R является алгебра над полем к и векторного пространства M = N представляет собой простой модуль R . Тогда лемма Шура говорит, что кольцо эндоморфизмов модуля M является алгеброй с делением над полем k . Если M конечномерно, эта алгебра с делением конечномерна. Если k - поле комплексных чисел, единственный вариант - это алгебра с делением на комплексные числа. Таким образом, кольцо эндоморфизмов модуля M «как можно меньше». Другими словами, единственные линейные преобразования M, которые коммутируют со всеми преобразованиями, исходящими из R, являются скалярными кратными единице.
В более общем случае это справедливо для любой алгебры над несчетным алгебраически замкнутым полем и для любого простого модуля что не более чем счетномерно: единственные линейные преобразования которые коммутируют со всеми преобразованиями, происходящими из являются скалярными кратными идентичности.
Когда поле не является алгебраически замкнутым, случай, когда кольцо эндоморфизмов настолько мало, насколько возможно, по-прежнему представляет особый интерес. Простой модуль над-алгебра называется абсолютно простой, если ее кольцо эндоморфизмов изоморфно. В общем, это сильнее, чем неприводимость над полем, откуда следует, что модуль неприводим даже над алгебраическим замыканием . [ необходима цитата ]
Представления групп Ли и алгебр Ли
Опишем лемму Шура в том виде, в котором она обычно формулируется в контексте представлений групп Ли и алгебр Ли. Результат состоит из трех частей. [5]
Сначала предположим, что а также неприводимые представления группы Ли или алгебры Ли над любым полем и что это переплетающаяся карта . потом является либо нулем, либо изоморфизмом.
Во-вторых, если является неприводимым представлением группы Ли или алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем и является переплетающейся картой, то является скалярным кратным тождественной карты.
В-третьих, предположим а также неприводимые представления группы Ли или алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем иненулевые переплетающиеся карты . потом для некоторого скаляра .
Как простое следствие второго утверждения, любое комплексное неприводимое представление абелевой группы одномерно.
Приложение к элементу Казимира
Предполагать является алгеброй Ли и это универсальная обертывающая из. Позволять быть неприводимым представлением над алгебраически замкнутым полем. Универсальное свойство универсальной обертывающей алгебры гарантирует, что распространяется на представление действующий в том же векторном пространстве. Из второй части леммы Шура следует, что если принадлежит к центру , тогда должно быть кратным оператору идентичности. В случае, когда является комплексной полупростой алгеброй Ли, важным примером предыдущей конструкции является тот, в котором - (квадратичный) элемент Казимира . В таком случае,, где - константа, которую можно явно вычислить в терминах старшего веса . [6] Действие элемента Казимира играет важную роль в доказательстве полной приводимости конечномерных представлений полупростых алгебр Ли. [7]
См. Также дополнение Шура .
Обобщение на непростые модули
Одномодульная версия леммы Шура допускает обобщения с участием модулей M , которые не обязательно являются простыми. Они выражают отношения между модулем теоретико-свойствами М и свойствами кольца эндоморфизмов из М .
Модуль называется сильно неразложимым, если его кольцо эндоморфизмов является локальным кольцом . Для важного класса модулей конечной длины следующие свойства эквивалентны ( Лам 2001 , §19):
- Модуль М является неразложимы ;
- M сильно неразложим;
- Каждый эндоморфизм M либо нильпотентен, либо обратим.
В общем случае лемму Шура нельзя отменить: существуют непростые модули, но их алгебра эндоморфизмов является телом . Такие модули обязательно неразложимы и поэтому не могут существовать над полупростыми кольцами, такими как комплексное групповое кольцо конечной группы. Однако даже над кольцом целых чисел модуль рациональных чисел имеет кольцо эндоморфизмов, которое является телом, а именно полем рациональных чисел. Даже для групповых колец, существуют примеры , когда характеристика поля делит порядок в группе: радикал Джекобсона из проективное покрытие из одномерного представления знакопеременной группы по пять точек над полем с тремя элементами имеет поле с тремя элементами в качестве кольца эндоморфизмов.
Смотрите также
- Лемма Квиллена
Заметки
- ^ Issai Schur (1905) "Neue Begründung der Theorie der Gruppencharaktere" (Новый фундамент теории групповых характеров), Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin , страницы 406-432.
- ^ JP Serre, (1977) "Линейные представления конечных групп", стр. 13
- ^ ( Сенгупта 2012 , стр. 126)
- ^ Лам (2001), стр. 33 .
- ^ Холл 2015 Теорема 4.29
- ^ Зал 2015 Предложение 10.6
- ^ Зал 2015 Раздел 10.3
Рекомендации
- Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (1999). Абстрактная алгебра (2-е изд.). Нью-Йорк: Вили. п. 337. ISBN. 0-471-36857-1.
- Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
- Лам, Цит-Юэн (2001). Первый курс в некоммутативных кольцах . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-95325-0.
- Сенгупта, Амбар (2012). Представление конечных групп: полупростое введение . Нью-Йорк. DOI : 10.1007 / 978-1-4614-1231-1_8 . ISBN 9781461412311. OCLC 769756134 .
- Штерн, AI; Ломоносов В.И. (2001) [1994], "Лемма Шура" , Энциклопедия математики , EMS Press