Теория множеств - это раздел математической логики , изучающий множества , которые можно неформально описать как совокупности объектов. Хотя объекты любого типа могут быть собраны в множество, теория множеств, как раздел математики , в основном занимается теми, которые имеют отношение к математике в целом.
Современное изучение теории множеств было начато немецкими математиками Ричардом Дедекиндом и Георгом Кантором в 1870-х годах. В частности, Георга Кантора принято считать основателем теории множеств. Неформализованные системы, исследованные на этой ранней стадии, называются наивной теорией множеств . После открытия парадоксов в рамках наивной теории множеств (например, парадокс Рассела , парадокс Кантора и Burali-Forti парадокс ) различные системы аксиоматической были предложены в начале двадцатого века, из которых Цермело-Френкеля теории множеств (с или без аксиомы выбора ) до сих пор остается самым известным и наиболее изученным.
Теория множеств обычно используется в качестве фундаментальной системы для всей математики, особенно в форме теории множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора. [1] Помимо своей основополагающей роли, теория множеств также обеспечивает основу для разработки математической теории бесконечности и имеет различные приложения в информатике , философии и формальной семантике [ необходимо устранение неоднозначности ] . Ее основополагающая привлекательность, вместе с ее парадоксами , ее последствиями для концепции бесконечности и ее множественных приложений, сделали теорию множеств областью большого интереса для логиков и философов математики . Современные исследования в области теории множеств охватывают широкий спектр вопросов, начиная от структуры вещественного числа линии к изучению последовательности из больших кардиналов .
История
Математические темы обычно возникают и развиваются в результате взаимодействия между многими исследователями. Теория множеств, однако, была основана на единственной статье 1874 года Георга Кантора : « Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел ». [2] [3]
Начиная с V века до нашей эры, начиная с греческого математика Зенона Элейского на Западе и первых индийских математиков на Востоке, математики боролись с концепцией бесконечности . Особенно примечательны работы Бернарда Больцано первой половины 19 века. [4] Современное понимание бесконечности началось в 1870–1874 годах и было мотивировано работой Кантора в области реального анализа . [5] Встреча 1872 года между Кантором и Ричардом Дедекиндом повлияла на мышление Кантора и завершилась его статьей 1874 года.
Работа Кантора изначально поляризовала математиков того времени. В то время как Карл Вейерштрасс и Дедекинд поддерживали Кантора, Леопольд Кронекер , который теперь считается основателем математического конструктивизма , не поддержал . Канторовская теория множеств в конечном итоге получила широкое распространение из-за полезности канторовских концепций, таких как взаимно-однозначное соответствие между множествами, его доказательства того, что существует больше действительных чисел, чем целых, и «бесконечности бесконечностей» (« Канторовский рай »). в результате работы силовой установки . Эта полезность теории множеств привела к статье «Mengenlehre», способствовали в 1898 году Артур Шёнфлиса в энциклопедии Кляйна .
Следующая волна ажиотажа в теории множеств пришла примерно в 1900 году, когда было обнаружено, что некоторые интерпретации канторовской теории множеств вызвали ряд противоречий, названных антиномиями или парадоксами . Бертран Рассел и Эрнст Цермело независимо друг от друга обнаружили простейший и наиболее известный парадокс, который теперь называется парадоксом Рассела : рассмотрите «множество всех множеств, которые не являются членами самих себя», что ведет к противоречию, поскольку оно должно быть членом самого себя, а не член самого себя. В 1899 году Кантор сам задал вопрос: «Каково количество всех множеств?» И получил связанный с этим парадокс. Рассел использовал свой парадокс в качестве темы в своем обзоре континентальной математики 1903 года в своих «Основах математики» .
В 1906 году английские читатели получили книгу « Теория множеств точек» [6] мужа и жены Уильяма Генри Янга и Грейс Чизолм Янг , опубликованную издательством Cambridge University Press .
Импульс теории множеств был таков, что обсуждение парадоксов не привело к отказу от нее. Работа Цермело в 1908 году и работа Абрахама Френкеля и Торальфа Сколема в 1922 году привели к набору аксиом ZFC , который стал наиболее часто используемым набором аксиом для теории множеств. Работа аналитиков , таких как работа Анри Лебега , продемонстрировала огромную математическую полезность теории множеств, которая с тех пор стала неотъемлемой частью современной математики. Теория множеств обычно используется в качестве основополагающего системы, хотя в некоторых областях, таких как алгебраической геометрии и алгебраической топологии - теории категорий считается предпочтительным основанием.
Основные понятия и обозначения
Теория множеств начинается с фундаментальным бинарным отношением между объектом O и множеством A . Если О является членом (или элемент ) из A , обозначение O ∈ A используется. [7] Набор описывается перечислением элементов, разделенных запятыми, или характеристическим свойством его элементов в фигурных скобках {}. [8] Поскольку множества являются объектами, отношение принадлежности также может связывать множества.
Производное бинарное отношение между двумя наборами - это отношение подмножества, также называемое включением множества . Если все члены множества А также являются членами множества B , то является подмножеством из B , обозначаемый ⊆ B . [7] Например, {1, 2} является подмножеством {1, 2, 3} , так же как и {2}, но не {1, 4} . Как следует из этого определения, набор - это подмножество самого себя. Для случаев, когда такая возможность не подходит или имеет смысл отвергнуть, определяется термин « собственное подмножество» . Называется собственное подмножество из B , если и только если является подмножеством B , но не равно B . Кроме того, 1, 2 и 3 являются членами (элементами) множества {1, 2, 3} , но не являются его подмножествами; и, в свою очередь, подмножества, такие как {1} , не являются членами набора {1, 2, 3} .
Подобно тому, как арифметика предусматривает двоичные операции над числами , теория множеств использует двоичные операции над наборами. [9] Ниже приводится их неполный список:
- Объединение множеств A и B , обозначенное A ∪ B , [7] - это набор всех объектов, которые являются членами A или B , или обоих. [10] Например, объединение {1, 2, 3} и {2, 3, 4} - это набор {1, 2, 3, 4} .
- Пересечение множеств A и B , обозначается A ∩ B , [7] представляет собой совокупность всех объектовкоторые являются членами как A и B . Например, пересечение {1, 2, 3} и {2, 3, 4} - это набор {2, 3} .
- Установить различие в U и A , обозначим U \ , есть множество всех членов U , не являющихся членами А . Разность множеств {1, 2, 3} \ {2, 3, 4} равна {1} , в то время как, наоборот, разность множеств {2, 3, 4} \ {1, 2, 3} равна {4} . Когдаявляется подмножеством U , множество разность U \ также называется дополнением из А в U . В этом случае, если выбор U ясен из контекста, обозначение A c иногда используется вместо U \ A , особенно если U - универсальное множество, как при изучении диаграмм Венна .
- Симметричная разность множеств A и B , обозначенная A △ B или A ⊖ B , [7] - это множество всех объектов, которые являются членами ровно одного из A и B (элементы, которые находятся в одном из множеств, но не в оба). Например, для наборов {1, 2, 3} и {2, 3, 4} набор симметричных разностей равен {1, 4} . Это разность множеств объединения и пересечения, ( A ∪ B ) \ ( A ∩ B ) или ( A \ B ) ∪ ( B \ A ) .
- Декартово произведение из A и B , обозначенный × B , [7] является множество, членами которого являются все возможные упорядоченные пары ( , б ) , гдеявляется членом A и B является членом B . Например, декартово произведение {1, 2} и {красный, белый} равно {(1, красный), (1, белый), (2, красный), (2, белый)}.
- Мощность набор из множества A , обозначаемое, [7] является множество, членами которого являются все возможные подмножества A . Например, набор мощности для {1, 2} равен {{}, {1}, {2}, {1, 2}} .
Некоторые основные наборы, имеющие центральное значение, - это набор натуральных чисел , набор действительных чисел и пустой набор - уникальный набор, не содержащий элементов. Пустое множество также иногда называется множество нуля , [11] , хотя это название неоднозначно и может привести к ряду интерпретаций.
Некоторая онтология
Набор является чистым, если все его члены являются наборами, все члены его членов являются наборами и т. Д. Например, набор {{}}, содержащий только пустой набор, является непустым чистым набором. В современной теории множеств принято ограничивать внимание универсумом фон Неймана чистых множеств, и многие системы аксиоматической теории множеств предназначены для аксиоматизации только чистых множеств. У этого ограничения есть много технических преимуществ, и при этом теряется небольшая общность, потому что практически все математические концепции можно моделировать с помощью чистых множеств. Множества во вселенной фон Неймана организованы в совокупную иерархию в зависимости от того, насколько глубоко вложены их элементы, элементы элементов и т. Д. Каждому набору в этой иерархии присваивается ( трансфинитной рекурсией ) порядковый номер , известный как его ранг . Ранг чистого набораопределяется как наименьшая верхняя граница всех последователей рангов членов. Например, пустому набору присваивается ранг 0, а набору {{}}, содержащему только пустой набор, присваивается ранг 1. Для каждого порядкового номера, набор определяется как состоящее из всех чистых множеств ранга меньше, чем . Вся вселенная фон Неймана обозначается .
Формализованная теория множеств
Теорию элементарных множеств можно изучать неформально и интуитивно, и поэтому ее можно преподавать в начальной школе с использованием диаграмм Венна . Интуитивный подход неявно предполагает, что набор может быть сформирован из класса всех объектов, удовлетворяющих любому конкретному определяющему условию. Это предположение приводит к парадоксам, самый простой и самый известный из которых парадокс Рассела и парадокс Burali-Форти . Изначально аксиоматическая теория множеств была разработана для того, чтобы избавить теорию множеств от таких парадоксов. [примечание 1]
Наиболее широко изученные системы аксиоматической теории множеств предполагают, что все множества образуют совокупную иерархию . Такие системы бывают двух видов , онтология которых состоит из:
- Наборы в одиночку . Это включает в себя наиболее распространенных аксиоматической теории множеств, Заболоцкого ermelo- F raenkel теорию множеств с аксиомой C hoice (ZFC). Фрагменты ZFC включают:
- Теории множеств Цермело , которая заменяет схема преобразования с тем, что из отделения ;
- Общая теория множеств , небольшой фрагмент теории множеств Цермело, достаточный для аксиом Пеано и конечных множеств ;
- Теория множеств Крипке – Платека , которая опускает аксиомы бесконечности, степенного набора и выбора и ослабляет схемы аксиом разделения и замены .
- Наборы и собственные классы . К ним относятся теория множеств фон Неймана-Бернейса-Гёделя , которая имеет такую же силу, как ZFC для теорем только о множествах, а также теорию множеств Морса-Келли и теорию множеств Тарского-Гротендика , обе из которых сильнее ZFC.
Вышеупомянутые системы могут быть изменены, чтобы разрешить urelements , объекты, которые могут быть членами наборов, но которые сами не являются наборами и не имеют каких-либо членов.
В новых основах система NFU (позволяющие праэлементы ) и NF (не хватают их) не основана на кумулятивную иерархии. NF и NFU включают «набор всего», относительно которого каждый набор имеет дополнение. В этих системах элементы имеют значение, потому что NF, но не NFU, производит множества, для которых аксиома выбора не выполняется.
Системы конструктивной теории множеств , такие как CST, CZF и IZF, включают свои аксиомы множеств в интуиционистскую, а не в классическую логику . Тем не менее, другие системы принимают классическую логику, но имеют нестандартные отношения принадлежности. Они включают в себя грубую теорию множеств и нечеткой теории множеств , в которых значение в атомарной формулы , воплощающей отношение членства является не просто Правда или Ложь . В булевозначных модели из ZFC является связанным с предметом.
Расширение ZFC, называемое теорией внутренних множеств, было предложено Эдвардом Нельсоном в 1977 году.
Приложения
Многие математические концепции можно точно определить, используя только теоретико-множественные концепции. Например, такие разнообразные математические структуры, как графы , многообразия , кольца и векторные пространства, могут быть определены как множества, удовлетворяющие различным (аксиоматическим) свойствам. Отношения эквивалентности и порядка повсеместно используются в математике, а теория математических отношений может быть описана в теории множеств.
Теория множеств также является многообещающей фундаментальной системой для большей части математики. С момента публикации первого тома Principia Mathematica утверждалось, что большинство (или даже все) математические теоремы могут быть получены с использованием удачно разработанного набора аксиом для теории множеств, дополненного множеством определений, с использованием логики первого или второго порядка. . Например, свойства натуральных и действительных чисел могут быть получены в рамках теории множеств, поскольку каждая система счисления может быть идентифицирована с набором классов эквивалентности при подходящем отношении эквивалентности , поле которого является некоторым бесконечным множеством .
Теория множеств как основа математического анализа , топологии , абстрактной алгебры и дискретной математики также бесспорна; математики признают (в принципе), что теоремы в этих областях могут быть выведены из соответствующих определений и аксиом теории множеств. Однако остается лишь несколько полных выводов сложных математических теорем из теории множеств, которые были формально проверены, поскольку такие формальные выводы часто намного длиннее, чем обычно представляемые математиками доказательства на естественном языке. Один проект проверки, Metamath , включает в себя человека написаны, компьютерные проверены выкладок более чем 12000 теорем , начиная с ZFC теории множеств, логики первого порядка и логики .
Направления обучения
Теория множеств - важная область математических исследований с множеством взаимосвязанных областей.
Комбинаторная теория множеств
Комбинаторная теория множеств касается расширений конечной комбинаторики на бесконечные множества. Это включает изучение кардинальной арифметики и изучение расширений теоремы Рамсея, таких как теорема Эрдеша – Радо .
Теория описательных множеств
Теория описательных множеств - это изучение подмножеств вещественной прямой и, в более общем смысле, подмножеств польских пространств . Он начинается с изучения классов точек в иерархии Бореля и распространяется на изучение более сложных иерархий, таких как проективная иерархия и иерархия Уэджа . Многие свойства борелевских множеств могут быть установлены в ZFC, но для доказательства этих свойств для более сложных множеств требуются дополнительные аксиомы, связанные с определенностью и большими кардиналами.
Область эффективной описательной теории множеств находится между теорией множеств и теорией рекурсии . Он включает в себя изучение классов точек со световыми гранями и тесно связан с теорией гиперарифметики . Во многих случаях результаты классической описательной теории множеств имеют эффективные версии; в некоторых случаях новые результаты получают, сначала доказывая эффективную версию, а затем расширяя («релятивизируя») ее, чтобы сделать ее более широко применимой.
Недавняя область исследований касается борелевских отношений эквивалентности и более сложных определимых отношений эквивалентности . Это имеет важные приложения к изучению инвариантов во многих областях математики.
Теория нечетких множеств
В теории множеств, как определил Кантор и аксиоматизировали Цермело и Френкель, объект либо является членом множества, либо нет. В теории нечетких множеств это условие было ослаблено Лотфи А. Заде, так что объект имеет степень принадлежности к множеству, число от 0 до 1. Например, степень принадлежности человека к множеству "высоких людей" является более гибким, чем простой ответ «да» или «нет», и может быть действительным числом, например 0,75.
Теория внутренней модели
Внутренняя модель теории множеств Цермело-Френкеля (ZF) является переходным классом , который включает в себя все порядковые и удовлетворяет всем аксиомам ZF. Канонический пример - конструктивная вселенная L, разработанная Геделем. Одна из причин, по которой исследование внутренних моделей представляет интерес, заключается в том, что его можно использовать для доказательства согласованности результатов. Например, можно показать, что независимо от того, удовлетворяет ли модель V из ZF гипотезе континуума или выбранной аксиоме , внутренняя модель L, построенная внутри исходной модели, будет удовлетворять как обобщенной гипотезе континуума, так и выбранной аксиоме. Таким образом, предположение, что ZF согласован (имеет по крайней мере одну модель), означает, что ZF вместе с этими двумя принципами согласован.
Изучение внутренних моделей является обычным делом при изучении детерминированности и больших кардиналов , особенно при рассмотрении таких аксиом, как аксиома детерминированности, которые противоречат аксиоме выбора. Даже если фиксированная модель теории множеств удовлетворяет выбранной аксиоме, внутренняя модель может не удовлетворять выбранной аксиоме. Например, существование достаточно больших кардиналов подразумевает, что существует внутренняя модель, удовлетворяющая аксиоме детерминированности (и, следовательно, не удовлетворяющая аксиоме выбора). [12]
Крупные кардиналы
Большой кардинал является кардинальным числом с дополнительным свойством. Изучаются многие такие свойства, в том числе недоступные кардиналы , измеримые кардиналы и многие другие. Эти свойства обычно подразумевают, что кардинальное число должно быть очень большим, а существование кардинала с указанным свойством недоказуемо в теории множеств Цермело – Френкеля .
Решительность
Детерминированность относится к тому факту, что при соответствующих допущениях определенные игры с идеальной информацией для двух игроков определяются с самого начала в том смысле, что один игрок должен иметь выигрышную стратегию. Существование этих стратегий имеет важные последствия для описательной теории множеств, поскольку предположение о том, что определен более широкий класс игр, часто подразумевает, что более широкий класс множеств будет обладать топологическим свойством. Аксиома детерминированности (AD) является важным объектом изучения; хотя это и несовместимо с выбранной аксиомой, AD подразумевает, что все подмножества действительной прямой имеют хорошее поведение (в частности, измеримы и обладают свойством идеального множества). AD можно использовать для доказательства элегантной структуры степеней Вэджа .
Принуждение
Пол Коэн изобрел метод принуждения при поиске модели из ZFC , в которой гипотеза континуума терпит неудачу, или модели ZF , в которой аксиома терпит неудачу. Принуждение присоединяется к некоторой данной модели теории множеств дополнительных наборов, чтобы создать более крупную модель со свойствами, определяемыми (то есть "принудительными") конструкцией и исходной моделью. Например, конструкция Коэна присоединяет дополнительные подмножества натуральных чисел, не меняя кардинальных чисел исходной модели. Принуждение также является одним из двух методов доказательства относительной согласованности с помощью финитистических методов, второй метод - это булевозначные модели .
Кардинальные инварианты
Кардинальный инвариант является свойством реальной линии , измеренной с помощью кардинального числа. Например, хорошо изученный инвариант - это наименьшая мощность набора скудных наборов вещественных чисел, объединение которых представляет собой целую вещественную прямую. Это инварианты в том смысле, что любые две изоморфные модели теории множеств должны давать один и тот же кардинал для каждого инварианта. Многие кардинальные инварианты были изучены, и отношения между ними часто бывают сложными и связаны с аксиомами теории множеств.
Теоретико-множественная топология
Теоретико-множественная топология изучает вопросы общей топологии, которые имеют теоретико-множественный характер или для решения которых требуются передовые методы теории множеств. Многие из этих теорем не зависят от ZFC, и для их доказательства требуются более сильные аксиомы. Известная проблема - это вопрос о нормальном пространстве Мура , вопрос общей топологии, который был предметом интенсивных исследований. В конечном итоге было доказано, что ответ на обычный вопрос о пространстве Мура не зависит от ZFC.
Возражения против теории множеств
С самого начала теории множеств некоторые математики возражали против ее использования как основы математики . Наиболее распространенное возражение против теории множеств, которое Кронекер высказал в первые годы существования теории множеств, начинается с конструктивистской точки зрения, согласно которой математика слабо связана с вычислениями. Если эта точка зрения будет принята, то рассмотрение бесконечных множеств, как в наивной, так и в аксиоматической теории множеств, вводит в математику методы и объекты, которые невозможно вычислить даже в принципе. Возможность конструктивизма в качестве замены основы математики была значительно увеличена после выхода влиятельной книги Эрретта Бишопа « Основы конструктивного анализа» . [13]
Другое возражение, выдвинутое Анри Пуанкаре, состоит в том, что определение множеств с использованием схем аксиом спецификации и замены , а также аксиомы множества степеней вводит непредсказуемость , своего рода цикличность , в определения математических объектов. Возможности основанной на предикативной математике математики, хотя и меньше, чем у общепринятой теории Цермело-Френкеля, намного больше, чем у конструктивной математики, до такой степени, что Соломон Феферман сказал, что «весь научно применимый анализ может быть разработан [с использованием предикативного методы] ". [14]
Людвиг Витгенштейн философски осудил теорию множеств за ее коннотации к математическому платонизму . [15] Он писал, что «теория множеств ошибочна», поскольку она строится на «бессмыслице» фиктивного символизма, имеет «пагубные идиомы», и что бессмысленно говорить о «всех числах». [16] Витгенштейн отождествлял математику с алгоритмической человеческой дедукцией; [17] необходимость надежного фундамента математики казалась ему бессмысленной. [18] Более того, поскольку человеческие усилия обязательно конечны, философия Витгенштейна требовала онтологической приверженности радикальному конструктивизму и конечности . Мета-математические утверждения, которые, по Витгенштейну, включали в себя любое утверждение, количественно оценивающее бесконечные области, и, таким образом, почти вся современная теория множеств, не являются математикой. [19] Немногие современные философы приняли взгляды Витгенштейна после впечатляющей ошибки в « Замечаниях об основах математики» : Витгенштейн попытался опровергнуть теоремы Гёделя о неполноте , прочитав только аннотацию. Как отмечали рецензенты Крайзель , Бернейс , Даммит и Гудштейн , многие из его критических замечаний не относились к статье в полной мере. Лишь недавно такие философы, как Криспин Райт, начали реабилитировать аргументы Витгенштейна. [20]
Теоретики категорий предложили теорию топоса в качестве альтернативы традиционной аксиоматической теории множеств. Теория Топоса может интерпретировать различные альтернативы этой теории, такие как конструктивизм , теория конечных множеств и теория вычислимых множеств. [21] [22] Топои также предоставляют естественную среду для принуждения и обсуждения независимости выбора от ZF, а также обеспечивают основу для бессмысленной топологии и пространств Стоуна . [23]
Активное направление исследований - однолистные основы и связанные с ними теории гомотопических типов . В рамках теории гомотопических типов множество может рассматриваться как гомотопический 0-тип с универсальными свойствами множеств, возникающими из индуктивных и рекурсивных свойств высших индуктивных типов . Такие принципы, как аксиома выбора и закон исключенного третьего, могут быть сформулированы способом, соответствующим классической формулировке в теории множеств, или, возможно, спектром различных способов, уникальных для теории типов. Некоторые из этих принципов могут оказаться следствием других принципов. Разнообразие формулировок этих аксиоматических принципов позволяет провести подробный анализ формулировок, необходимых для получения различных математических результатов. [24] [25]
Теория множеств в математическом образовании
Поскольку теория множеств приобрела популярность как основа современной математики, появилась поддержка идеи введения основ наивной теории множеств на ранних этапах математического образования .
В США в 1960-х годах эксперимент « Новая математика» был направлен на преподавание базовой теории множеств, среди других абстрактных понятий, учащихся начальной школы , но был встречен большой критикой. Учебная программа по математике в европейских школах следовала этой тенденции и в настоящее время включает предмет на разных уровнях во всех классах. Диаграммы Венна широко используются для объяснения основных теоретико-множественных отношений в начальной школе студентов (несмотря на то, Венн первоначально разработал их как часть процедуры для оценки достоверности из выводов в перспективе логики ).
Теория множеств используется для ознакомления учащихся с логическими операторами (НЕ, И, ИЛИ) и семантическим описанием или описанием правил (технически интенсиональное определение [26] ) множеств (например, «месяцы, начинающиеся с буквы А »), которые могут быть полезны, когда обучение компьютерному программированию , поскольку логическая логика используется в различных языках программирования . Точно так же наборы и другие подобные коллекциям объекты, такие как мультимножества и списки , являются распространенными типами данных в информатике и программировании .
В дополнение к этому, наборы обычно упоминаются в математическом обучении, когда говорят о различных типах чисел ( N , Z , R , ...), и при определении математической функции как отношения от одного набора ( области ) к другому. установить ( диапазон ).
Смотрите также
- Глоссарий теории множеств
- Класс (теория множеств)
- Список тем теории множеств
- Реляционная модель - заимствует из теории множеств
Заметки
- ^ В своей статье 1925 года «Аксиоматизация теории множеств» Джон фон Нейман заметил, что «теория множеств в ее первой,« наивной »версии, созданной Кантором, привела к противоречиям. Это хорошо известные антиномии множества всех множеств, которые не содержат самих себя (Рассел), множества всех трансфинитных порядковых чисел (Бурали-Форти) и множества всех конечно определимых действительных чисел (Ричард) ». Далее он отмечает, что две «тенденции» пытались «реабилитировать» теорию множеств. Первую попытку, продемонстрированную Бертраном Расселом , Юлиусом Кенигом , Германом Вейлем и Л.Е. Брауэром , фон Нейман назвал «общим эффектом своей деятельности». . . разрушительный ". Что касается аксиоматического метода, используемого второй группой, состоящей из Цермело, Френкеля и Шенфлиса, фон Нейман беспокоился, что" Мы видим только то, что известные способы вывода, ведущие к антиномиям, терпят неудачу, но кто знает, где нет других? «и он поставил задачу« в духе второй группы »« произвести с помощью конечного числа чисто формальных операций. . . все множества, которые мы хотим видеть сформированными, «но не допускаем антиномий». (Все цитаты из фон Неймана 1925 г. перепечатаны в van Heijenoort, Jean (1967, третье издание 1976 г.), From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 , Harvard University Press, Cambridge MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk) Краткое изложение истории, написанное ван Хейенуртом, можно найти в комментариях, предшествующих статье фон Неймана 1925 года.
Рекомендации
- ^ Kunen 1980 , стр. xi: «Теория множеств - основа математики. Все математические концепции определены в терминах примитивных понятий множества и принадлежности. В аксиоматической теории множеств мы формулируем несколько простых аксиом об этих примитивных понятиях в попытке охватить основные», очевидно, истинные «теоретико-множественные принципы. Из таких аксиом может быть выведена вся известная математика».
- ^ Кантор, Георг (1874), "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes Aller reellen algebraischen Zahlen" , Journal für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке), 1874 (77): 258–262, doi : 10.1515 / crll.1874.77.258 , S2CID 199545885
- ^ Джонсон, Филип (1972), История теории множеств , Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-154-6
- ^ Bolzano, Bernard (1975), Berg, Jan (ed.), Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre , Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe, под редакцией Эдуарда Винтера и др., Vol. II, A, 7, Штутгарт, Бад-Каннштатт: Фридрих Фромманн Верлаг, стр. 152, ISBN 3-7728-0466-7
|volume=
имеет дополнительный текст ( справка ) - ^ Добен, Джозеф (1979), Георг Кантор: его математика и философия бесконечности , Harvard University Press, стр. 30–54, ISBN 0-674-34871-0.
- ^ Янг, Уильям ; Янг, Грейс Чизхолм (1906), Теория множеств точек , Cambridge University Press
- ^ Б с д е е г «Исчерпывающий список символов теории множеств» . Математическое хранилище . 2020-04-11 . Проверено 20 августа 2020 .
- ^ «Введение в наборы» . www.mathsisfun.com . Проверено 20 августа 2020 .
- ^ Колмогоров, АН ; Фомин, С.В. (1970), Введение в реальный анализ (Rev. English ed.), Нью-Йорк: Dover Publications, стр. 2–3 , ISBN 0486612260, OCLC 1527264
- ^ «Теория множеств | Основы, примеры и формулы» . Британская энциклопедия . Проверено 20 августа 2020 .
- ^ Багария, Джоан (2020), «Теория множеств» , в Залте, Эдвард Н. (редактор), Стэнфордская энциклопедия философии (издание весна 2020 года), Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет , получено 20 августа 2020 г.
- ^ Jech, Thomas (2003), Теория множеств , Монографии Springer по математике (изд. Третьего тысячелетия), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 642, ISBN 978-3-540-44085-7, Zbl 1007,03002
- ^ Бишоп, Эрретт (1967), Основы конструктивного анализа , Нью-Йорк: Academic Press, ISBN 4-87187-714-0
- ^ Феферман, Соломон (1998), В свете логики , Нью-Йорк: Oxford University Press, стр. 280–283, 293–294, ISBN 0195080300
- ^ Родыч, Виктор (31 янв.2018 г.). "Философия математики Витгенштейна" . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (издание весна 2018 г.).CS1 maint: ref дублирует значение по умолчанию ( ссылка )
- ^ Витгенштейн, Людвиг (1975), Философские замечания, §129, §174 , Оксфорд: Бэзил Блэквелл, ISBN 0631191305
- ^ Rodych 2018 , п.2.1:. «Когда мы доказываем теорему или решить предложение, мы работаем в чисто формальной, синтаксической манере При этом математики, мы не открываем уже существующие истиныкоторые были„там уже не один знающим“( PG 481) - мы изобретаем математику постепенно ». Заметим, однако, что Витгенштейн не отождествляет такую дедукцию с философской логикой ; ср Родыч § 1, пп. 7-12.
- ^ Rodych 2018 , §3.4: «Учитываячто математика является„ пестрый методов доказательства“(RFM III, §46), он не требует фундамента (RFM VII, § 16)и это не может быть дано самоочевидной фундамент (PR §160; WVC 34 & 62; RFM IV, §3). Поскольку теория множеств была изобретена, чтобы дать математике основу, в ней, как минимум, нет необходимости ».
- ^ Rodych 2018 , §2.2: «Выражение, выражающее количественную оценку в бесконечной области, никогда не является значимым предложением, даже когда мы доказали, например, что конкретное число n обладает определенным свойством».
- ^ Rodych 2018 , §3.6.
- ^ Ферро, Альфредо; Omodeo, Eugenio G .; Шварц, Джейкоб Т. (сентябрь 1980), "Decision Процедура элементарных подъязыков теории множества I. Multi-Level силлогистического и некоторые обобщения." Коммуникация по чистой и прикладной математике , 33 (5): 599-608, DOI : 10.1002 /cpa.3160330503
- ^ Кантоне, Доменико; Ферро, Альфредо; Омодео, Эухенио Г. (1989), Теория вычислимых множеств , Международная серия монографий по компьютерным наукам, Oxford Science Publications, Оксфорд, Великобритания: Clarendon Press , стр. Xii, 347 , ISBN 0-19-853807-3
- ^ Мак-Лейн, Сондерс ; Moerdijk, leke (1992), Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию Топоса , Springer-Verlag, ISBN 9780387977102
- ^ теория гомотопических типов в nLab
- ^ Теория гомотопического типа: однолистные основы математики . Программа Univalent Foundation. Институт перспективных исследований .
- ^ Фрэнк Руда (6 октября 2011 г.). Чернь Гегеля: исследование философии права Гегеля . Bloomsbury Publishing. п. 151. ISBN. 978-1-4411-7413-0.
дальнейшее чтение
- Девлин, Кейт (1993), Радость множеств (2-е изд.), Springer Verlag, ISBN 0-387-94094-4
- Феррейрос, Хосе (2007), Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в современной математике , Базель: Биркхойзер, ISBN 978-3-7643-8349-7
- Джонсон, Филип (1972), История теории множеств , Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-154-6
- Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: Введение в доказательства независимости , Северная Голландия, ISBN 0-444-85401-0
- Поттер, Майкл (2004), Теория множеств и ее философия: критическое введение , Oxford University Press
- Плитка, Мэри (2004), Философия теории множеств: историческое введение в рай Кантора , Dover Publications , ISBN 978-0-486-43520-6
- Смуллян, Раймонд М .; Фиттинг, Мелвин (2010), теория множеств и проблема континуума , Dover Publications , ISBN 978-0-486-47484-7
- Монк, Дж. Дональд (1969), Введение в теорию множеств , McGraw-Hill Book Company, ISBN 978-0898740066
Внешние ссылки
- Дэниел Каннингем, статья по теории множеств в Интернет-энциклопедии философии .
- Хосе Феррейрос, статья «Раннее развитие теории множеств» в Стэнфордской энциклопедии философии .
- Форман, Мэтью , Акихиро Канамори , ред. Справочник по теории множеств. 3 тома, 2010. В каждой главе рассматриваются некоторые аспекты современных исследований в области теории множеств. Не распространяется на установленную элементарную теорию множеств, о которой см. Devlin (1993).
- "Аксиоматическая теория множеств" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- "Теория множеств" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Schoenflies, Артур (1898). Mengenlehre в энциклопедии Кляйна .
- Интернет-книги и библиотечные ресурсы в вашей и других библиотеках по теории множеств
- Рудин, Вальтер Б. (6 апреля 1990 г.). «Теория множеств: порождение анализа» . Марден Лекция по математике . Университет Висконсин-Милуоки - через YouTube .