В геометрии , A перекос apeirohedron является бесконечной перекос полиэдр , состоящей из неплоских граней или неплоских фигур вершин , что позволяет расширить фигуру неопределенно долго без складывания круглого, образуя замкнутую поверхность.
Косые апейроэдры также получили название многогранных губок .
Многие из них напрямую связаны с выпуклыми однородными сотами , представляющими собой многоугольную поверхность сот с удаленными некоторыми ячейками . Характерно, что бесконечный косой многогранник делит трехмерное пространство на две половины. Если одна половина считается твердой, фигуру иногда называют частичными сотами .
Правильные косые апейроэдры [ править ]
Согласно Кокстеру , в 1926 году Джон Флиндерс Петри обобщил концепцию правильных косых многоугольников (неплоских многоугольников) на правильные косые многогранники (апейроэдры). [1]
Коксетер и Петри нашли три из них, которые заполнили 3-пространство:
| Правильные косые апейроэдры | ||
|---|---|---|
 {4,6 | 4} слизистая оболочка |  {6,4 | 4} муоктаэдр |  {6,6 | 3} мутетраэдр |
Также существуют киральные косые апейроэдры типов {4,6}, {6,4} и {6,6}. Эти косые apeirohedra являются вершиной-симметрический , ребра транзитивен и лицом транзитивен , но не зеркально симметричны ( Шульте 2004 ).
Помимо евклидова трехмерного пространства, в 1967 году К.В.Л. Гарнер опубликовал набор из 31 правильного косого многогранника в трехмерном гиперболическом пространстве. [2]
Правильные псевдополиэдры Готта [ править ]
Дж. Ричард Готт в 1967 г. опубликовал более крупный набор из семи бесконечных косых многогранников, которые он назвал правильными псевдополиэдрами , включая три из Кокстера как {4,6}, {6,4} и {6,6} и четыре новых: {5,5}, {4,5}, {3,8}, {3,10}. [3] [4]
Готт смягчил определение регулярности, чтобы допустить его новые цифры. Если Кокстер и Петри требовали, чтобы вершины были симметричными, Готт требовал только, чтобы они были конгруэнтными. Таким образом, новые примеры Готта не являются регулярными по определению Кокстера и Петри.
Готт называется полным набор правильных многогранников , регулярных разбиений и регулярного pseudopolyhedra как регулярные обобщенных многогранники , представимых {р, д} символ Шлефл , с помощью р-угольных граней, кв вокруг каждой вершины. Однако ни термин «псевдополиэдр», ни определение регулярности Готта не получили широкого распространения.
Кристаллограф А.Ф. Уэллс в 1960-х также опубликовал список косых апейроэдров. Мелинда Грин опубликовала еще много в 1998 году.
| {p, q} | Ячейки вокруг вершины | Вершинные грани | Более крупный узор | Космическая группа | Связанные обозначения орбифолда H 2 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Кубическая пространственная группа | Обозначение Кокстера | Обозначение фибрифолда | |||||
| {4,5} | 3 кубика |  | Я 3 м | [[4,3,4]] | 8 °: 2 | * 4222 | |
| {4,5} | 1 усеченный октаэдр 2 гексагональные призмы | Я 3 | [[4,3 + , 4]] | 8 °: 2 | 2 * 42 | ||
| {3,7} | 1 октаэдр 1 икосаэдр | Fd 3 | [[3 [4] ]] + | 2 ° - | 3222 | ||
| {3,8} | 2 плоских кубика | FM 3 м | [4, (3,4) + ] | 2 −− | 32 * | ||
| {3,9} | 1 тетраэдр 3 октаэдра | Ж / д 3 м | [[3 [4] ]] | 2 + : 2 | 2 * 32 | ||
| {3,9} | 1 икосаэдр 2 октаэдра | Я 3 | [[4,3 + , 4]] | 8 °: 2 | 22 * 2 | ||
| {3,12} | 5 октаэдров | Я 3 м | [[4,3,4]] | 8 °: 2 | 2 * 32 | ||
Призматические формы [ править ]
Призматическая форма: {4,5} |
Есть две призматические формы:
- {4,5}: 5 квадратов на вершине (две параллельные квадратные мозаики, соединенные кубическими отверстиями).
- {3,8}: 8 треугольников на вершине (два параллельных треугольника, соединенных октаэдрическими отверстиями).
Другие формы [ править ]
{3,10} также образован из параллельных плоскостей треугольных плиток с чередующимися октаэдрическими отверстиями в обоих направлениях.
{5,5} состоит из 3 копланарных пятиугольников вокруг вершины и двух перпендикулярных пятиугольников, заполняющих зазор.
Готт также признал, что существуют и другие периодические формы регулярных плоских мозаик. И квадратная мозаика {4,4}, и треугольная мозаика {3,6} могут быть изогнуты, приближаясь к бесконечным цилиндрам в трехмерном пространстве.
Теоремы [ править ]
Он написал несколько теорем:
- Для любого правильного многогранника {p, q}: (p-2) * (q-2) <4. Для каждой обычной мозаики: (p-2) * (q-2) = 4. Для каждого правильного псевдополиэдра: (p-2) * (q-2)> 4.
- Количество граней, окружающих данную грань, равно p * (q-2) в любом правильном обобщенном многограннике.
- Каждый правильный псевдополиэдр аппроксимирует отрицательно искривленную поверхность.
- Семь правильных псевдополиэдров представляют собой повторяющиеся структуры.
Равномерные косые апейроэдры [ править ]
Есть много других однородных ( вершинно-транзитивных ) косых апейроэдров. Вахманн, Берт и Кляйнманн (1974) обнаружили множество примеров, но неизвестно, является ли их список полным.
Некоторые из них проиллюстрированы здесь. Их можно назвать по конфигурации вершин , хотя это не уникальное обозначение для скошенных форм.
| 4.4.6.6 | 6.6.8.8 | |
|---|---|---|
Относится к усеченным кубическим сотам ,    | Относится к руническим кубическим сотам , | |
| 4.4.4.6 | 4.8.4.8 | 3.3.3.3.3.3.3 |
| Относительно усеченных кубических сот : | ||
| 4.4.4.6 | 4.4.4.8 | 3.4.4.4.4 |
Относится к усеченным кубическим сотам . | ||
| 4.4.4.4.4 | 4.4.4.6 |
|---|---|
Относится к  | Относится к  |
Другие могут быть построены в виде дополненных цепочек многогранников:
| Равномерная спираль Бурдейка – Кокстера | Стеки кубиков |
|---|
См. Также [ править ]
- Многоугольник Петри
- Правильный косой многогранник
Ссылки [ править ]
- ^ Кокстер, HSM Правильные косые многогранники в трех и четырех измерениях. Proc. Лондонская математика. Soc. 43, 33-62, 1937.
- ^ Гарнер, CWL Правильные косые многогранники в трехмерном гиперболическом пространстве. Может. J. Math. 19, 1179-1186, 1967. [1]
- ↑ JR Gott, Псевдополиэдры, American Mathematical Monthly, том 74, стр. 497-504, 1967.
- ^ Симметрии вещей, Псевдоплатонические многогранники, стр.340-344
- Коксетер , Регулярные многогранники , третье издание, (1973), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Бумага 2) HSM Coxeter, "Правильные губки или косые многогранники", Scripta Mathematica 6 (1939) 240-244.
- Джон Х. Конвей , Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей , ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 23, Объекты с простой симметрией, псевдоплатоновые многогранники, стр. 340-344)
- Шульте, Эгон (2004), "Киральная многогранники в обычном пространстве Я", Дискретные и Вычислительная геометрия , 32 (1): 55-99, DOI : 10.1007 / s00454-004-0843-х , МР 2060817. [3]
- А.Ф. Уэллс, Трехмерные сети и многогранники , Wiley, 1977. [4]
- А. Вахманн, М. Берт, М. Клейнманн, Бесконечные многогранники , Технион, 1974. 2-е изд. 2005 г.
- Э. Шульте, Дж. М. Уиллс О правильных косых многогранниках Кокстера , Дискретная математика, том 60, июнь – июль 1986 г., страницы 253–262
Внешние ссылки [ править ]
- Вайсштейн, Эрик В. "Правильный косой многогранник" . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. "Соты и губки" . MathWorld .
- Ольшевский, Георгий. «Косой многогранник» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
- «Гиперболические» мозаики
- Бесконечные правильные многогранники [5]
- Бесконечные повторяющиеся многогранники - частичные соты в трехмерном пространстве
- 18 СИММЕТРИЯ ПОЛИГЭДРОВ И ПОЛИЭДРОВ, Эгон Шульте: 18.3 ОБЫЧНАЯ ПОЛИГИДРА СКУСА
- Бесконечные многогранники, Т. Е. Дорожинский.
