В геометрии , как обычные косые многогранники являются обобщение на множество правильных многогранников , которые включают возможность неплоских граней или фигур вершин . Кокстер смотрел на скошенные вершинные фигуры, которые создавали новые четырехмерные правильные многогранники, а гораздо позже Бранко Грюнбаум смотрел на правильные скошенные грани. [1]
Бесконечные правильные косые многогранники, охватывающие 3- мерное пространство или выше, называются правильными косыми апейроэдрами .
История
Согласно Кокстеру , в 1926 году Джон Флиндерс Петри обобщил концепцию правильных косых многоугольников (неплоских многоугольников) на правильные косые многогранники .
Кокстер предложил модифицированный символ Шлефли {l, m | n} для этих фигур, где {l, m} подразумевает фигуру вершины , m l-угольников вокруг вершины и n -угольные отверстия. Их фигуры вершин представляют собой косые многоугольники , зигзагообразные между двумя плоскостями.
Правильные косые многогранники, представленные как {l, m | n}, подчиняются этому уравнению:
- 2 * cos (π / l) * cos (π / m) = cos (π / n)
Первый набор {l, m | n}, повторяет пять выпуклых тел Платона и одно невыпуклое тело Кеплера-Пуансо :
{l, m | n} | Лица | Края | Вершины | п | Многогранник | Порядок симметрии |
---|---|---|---|---|---|---|
{3,3 | 3} = {3,3} | 4 | 6 | 4 | 0 | Тетраэдр | 12 |
{3,4 | 4} = {3,4} | 8 | 12 | 6 | 0 | Октаэдр | 24 |
{4,3 | 4} = {4,3} | 6 | 12 | 8 | 0 | Куб | 24 |
{3,5 | 5} = {3,5} | 20 | 30 | 12 | 0 | Икосаэдр | 60 |
{5,3 | 5} = {5,3} | 12 | 30 | 20 | 0 | Додекаэдр | 60 |
{5,5 | 3} = {5,5 / 2} | 12 | 30 | 12 | 4 | Большой додекаэдр | 60 |
Конечные правильные косые многогранники четырехмерного пространства
Проекции плоскости Кокстера A4 | |
---|---|
{4, 6 | 3} | {6, 4 | 3} |
Бугристый 5-элементный (20 вершин, 60 ребер) | Бит-усеченная 5-ячеечная (30 вершин, 60 ребер) |
Проекции плоскости Кокстера F4 | |
{4, 8 | 3} | {8, 4 | 3} |
Круглый 24-элементный (144 вершины, 576 ребер) | 24 ячейки с усеченным битом (288 вершин, 576 ребер) |
{3,8 |, 4} = {3,8} 8 | {4,6 |, 3} = {4,6} 6 |
42 вершины, 168 ребер | 56 вершин, 168 ребер |
Некоторые из 4-мерных правильных косых многогранников помещаются внутри однородной полихоры, как показано на верхних 4 проекциях. |
Кокстер также перечислил более широкий набор конечных правильных многогранников в своей статье «Правильные косые многогранники в трех и четырех измерениях и их топологические аналоги».
Точно так же, как бесконечные косые многогранники представляют собой поверхности многообразия между ячейками выпуклых однородных сот , все конечные формы представляют поверхности многообразий внутри ячеек однородных 4-многогранников .
Многогранники вида {2p, 2q | r} связаны с симметрией группы Кокстера [(p, r, q, r)], которая сводится к линейной [r, p, r], когда q равно 2. Кокстер дает эту симметрию как [[( p , r , q , r )] + ], которая, по его словам, изоморфна его абстрактной группе (2 p , 2 q | 2, r ). Соответствующие соты имеют расширенную симметрию [[( p , r , q , r )]]. [2]
{2p, 4 | r} представлен гранями {2p} усеченного битами однородного 4-многогранника {r, p, r} , а {4,2p | r} представлен квадратными гранями развернутого {r, p ,р}.
{4,4 | n} создает двойную призму n - n , и, в частности, {4,4 | 4} помещается внутри тессеракта {4} x {4} .
{l, m | n} | Лица | Края | Вершины | п | Состав | Симметрия | Заказ | Родственная униформа полихора |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{4,4 | 3} | 9 | 18 | 9 | 1 | D 3 XD 3 | [[3,2,3] + ] | 9 | 3-3 дуопризма |
{4,4 | 4} | 16 | 32 | 16 | 1 | Д 4 x Д 4 | [[4,2,4] + ] | 16 | 4-4 дуопризма или тессеракт |
{4,4 | 5} | 25 | 50 | 25 | 1 | D 5 x D 5 | [[5,2,5] + ] | 25 | 5-5 дуопризма |
{4,4 | 6} | 36 | 72 | 36 | 1 | Д 6 x Д 6 | [[6,2,6] + ] | 36 | 6-6 дуопризма |
{4,4 | n} | п 2 | 2н 2 | п 2 | 1 | D n xD n | [[n, 2, n] + ] | п 2 | nn дуопризма |
{4,6 | 3} | 30 | 60 | 20 | 6 | S5 | [[3,3,3] + ] | 60 | Ранцинированный 5-клеточный |
{6,4 | 3} | 20 | 60 | 30 | 6 | S5 | [[3,3,3] + ] | 60 | Bitruncated 5-элементный |
{4,8 | 3} | 288 | 576 | 144 | 73 | [[3,4,3] + ] | 576 | Ранцинированный 24-элементный | |
{8,4 | 3} | 144 | 576 | 288 | 73 | [[3,4,3] + ] | 576 | 24-ячеечная с обрезкой битов |
{l, m | n} | Лица | Края | Вершины | п | Состав | Симметрия | Заказ | Родственная униформа полихора |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{4,5 | 5} | 90 | 180 | 72 | 10 | A6 | [[5 / 2,5,5 / 2] + ] | 360 | Рунцинированная большая звездчатая 120-клеточная |
{5,4 | 5} | 72 | 180 | 90 | 10 | A6 | [[5 / 2,5,5 / 2] + ] | 360 | Bitruncated большая звездчатая 120- ячеечная |
{l, m | n} | Лица | Края | Вершины | п | Состав | Заказ |
---|---|---|---|---|---|---|
{4,5 | 4} | 40 | 80 | 32 | 5 | ? | 160 |
{5,4 | 4} | 32 | 80 | 40 | 5 | ? | 160 |
{4,7 | 3} | 42 | 84 | 24 | 10 | НЧ (2,7) | 168 |
{7,4 | 3} | 24 | 84 | 42 | 10 | НЧ (2,7) | 168 |
{5,5 | 4} | 72 | 180 | 72 | 19 | A6 | 360 |
{6,7 | 3} | 182 | 546 | 156 | 105 | НЧ (2,13) | 1092 |
{7,6 | 3} | 156 | 546 | 182 | 105 | НЧ (2,13) | 1092 |
{7,7 | 3} | 156 | 546 | 156 | 118 | НЧ (2,13) | 1092 |
{4,9 | 3} | 612 | 1224 | 272 | 171 | НЧ (2,17) | 2448 |
{9,4 | 3} | 272 | 1224 | 612 | 171 | НЧ (2,17) | 2448 |
{7,8 | 3} | 1536 | 5376 | 1344 | 1249 | ? | 10752 |
{8,7 | 3} | 1344 | 5376 | 1536 | 1249 | ? | 10752 |
Окончательный набор основан на дальнейшей расширенной форме Кокстера {q1, m | q2, q3 ...} или с неопределенным q2: {l, m |, q}. Они также могут быть представлены регулярным конечным отображением или { l , m } 2 q , и группой G l , m , q . [3]
{ l , m |, q } или { l , m } 2 q | Лица | Края | Вершины | п | Состав | Заказ | Заметки |
---|---|---|---|---|---|---|---|
{3,6 |, q } = {3,6} 2 q | 2 кв 2 | 3 кв 2 | q 2 | 1 | G 3,6,2 q | 2 кв 2 | |
{3,2 q |, 3} = {3,2 q } 6 | 2кв 2 | 3кв 2 | 3кв. | ( д -1) * ( д -2) / 2 | G 3,6,2 q | 2 кв 2 | |
{3,7 |, 4} = {3,7} 8 | 56 | 84 | 24 | 3 | НЧ (2,7) | 168 | |
{3,8 |, 4} = {3,8} 8 | 112 | 168 | 42 | 8 | PGL (2,7) | 336 | Относится к сложному многограннику (1 1 1 1 4 ) 4 , |
{4,6 |, 3} = {4,6} 6 | 84 | 168 | 56 | 15 | PGL (2,7) | 336 | Относится к сложному многограннику (1 4 1 4 1 1 ) (3) , |
{3,7 |, 6} = {3,7} 12 | 364 | 546 | 156 | 14 | НЧ (2,13) | 1092 | |
{3,7 |, 7} = {3,7} 14 | 364 | 546 | 156 | 14 | НЧ (2,13) | 1092 | |
{3,8 |, 5} = {3,8} 10 | 720 | 1080 | 270 | 46 | G 3,8,10 | 2160 | Относится к сложному многограннику (1 1 1 1 4 ) 5 , |
{3,10 |, 4} = {3,10} 8 | 720 | 1080 | 216 | 73 | G 3,8,10 | 2160 | Относится к сложному многограннику (1 1 1 1 5 ) 4 , |
{4,6 |, 2} = {4,6} 4 | 12 | 24 | 8 | 3 | S4 × S2 | 48 | |
{5,6 |, 2} = {5,6} 4 | 24 | 60 | 20 | 9 | A5 × S2 | 120 | |
{3,11 |, 4} = {3,11} 8 | 2024 г. | 3036 | 552 | 231 | НЧ (2,23) | 6072 | |
{3,7 |, 8} = {3,7} 16 | 3584 | 5376 | 1536 | 129 | G 3,7,17 | 10752 | |
{3,9 |, 5} = {3,9} 10 | 12180 | 18270 | 4060 | 1016 | LF (2,29) × A3 | 36540 |
Высшие измерения
Правильные косые многогранники также могут быть построены в размерностях больше 4 как вложения в правильные многогранники или соты. Например, правильный икосаэдр можно вложить в вершины 6-полукуба ; это был назван регулярным перекос икосаэдр по Коксетер . Аналогичным образом додекаэдр может быть встроен в 10-полукуб . [4]
Смотрите также
- Наклон многоугольника
- Бесконечный косой многогранник
Заметки
- ↑ Абстрактные правильные многогранники, стр.7, стр.17
- ^ Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II 2.34)
- ^ Кокстер и Мозер, Генераторы и отношения для дискретных групп, Раздел 8.6 Карты, имеющие заданные многоугольники Петри. п. 110
- ^ Деза, Майкл; Штогрин, Михаил (1998). «Вложение графов регулярных мозаик и звездных сот в графы гиперкубов и кубических решеток» . Углубленные исследования чистой математики . Аранжировки - Токио 1998: 77. doi : 10.2969 / aspm / 02710073 . ISBN 978-4-931469-77-8. Проверено 4 апреля 2020 года .
Рекомендации
- Питер МакМаллен, Четырехмерные правильные многогранники , Дискретная и вычислительная геометрия, сентябрь 2007 г., том 38, выпуск 2, стр. 355–387
- Коксетер , Регулярные многогранники , Третье издание, (1973), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Бумага 2) HSM Coxeter, "Правильные губки или косые многогранники", Scripta Mathematica 6 (1939) 240-244.
- (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- Кокстер , Красота геометрии: Двенадцать эссе , Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8 (Глава 5: Правильные косые многогранники в трех и четырех измерениях и их топологические аналоги, Proceedings of the London Mathematics Society, Ser. 2, Vol 43, 1937.)
- Кокстер, Правильные косые многогранники HSM в трех и четырех измерениях. Proc. Лондонская математика. Soc. 43, 33-62, 1937.
- Гарнер, CWL Правильные косые многогранники в трехмерном гиперболическом пространстве. Может. J. Math. 19, 1179-1186, 1967.
- Э. Шульте, Дж. М. Уиллс О правильных косых многогранниках Кокстера , Дискретная математика, том 60, июнь – июль 1986 г., страницы 253–262