Производная алгебраическая геометрия - это раздел математики, который обобщает алгебраическую геометрию на ситуацию, когда коммутативные кольца , обеспечивающие локальные карты, заменяются либо дифференциальными градуированными алгебрами (над), симплициальные коммутативные кольца или-колец спектров из алгебраической топологии , высшие гомотопические группы которых объясняют недискретность (например, Tor) структурного пучка. Теория схем Гротендика позволяет структурному пучку нести нильпотентные элементы . Производная алгебраическая геометрия может рассматриваться как расширение этой идеи и обеспечивает естественные условия для теории пересечений (или теории мотивационной гомотопии [1] ) сингулярных алгебраических многообразий и кокасательных комплексов в теории деформаций (см. Дж. Фрэнсис), среди прочего другие приложения.
Вступление
Основными объектами исследования в данной области являются производные схемы и производные стеки . Часто цитируемая мотивация - это формула пересечений Серра . [2] В обычной формулировке формула включает функтор Tor и, таким образом, если верхний Tor не обращается в нуль, теоретико-схемное пересечение (то есть послойное произведение погружений) не дает правильного числа пересечения . В производном контексте берется производное тензорное произведение , чья высшая гомотопия выше Tor, Spec которого является не схемой, а производной схемой . Следовательно, "производное" волокно дает правильное число пересечения. (В настоящее время это гипотетически; производная теория пересечений еще не разработана.)
Термин «производный» используется так же, как производный функтор или производная категория , в том смысле, что категория коммутативных колец заменяется ∞-категорией «производных колец». В классической алгебраической геометрии производная категория квазикогерентных пучков рассматривается как триангулированная категория , но имеет естественное расширение до стабильной ∞-категории , которую можно рассматривать как ∞-категориальный аналог абелевой категории .
Определения
Производная алгебраическая геометрия - это фундаментальное изучение геометрических объектов с помощью гомологической алгебры и гомотопии. Поскольку объекты в этом поле должны кодировать гомологическую и гомотопическую информацию, существуют различные представления о том, что инкапсулируют производные пространства. Основными объектами изучения производной алгебраической геометрии являются производные схемы и, в более общем смысле, производные стеки. Эвристически производные схемы должны быть функторами из некоторой категории производных колец в категорию множеств
которые могут быть далее обобщены, чтобы иметь целью более высокие группоиды (которые, как ожидается, будут моделироваться гомотопическими типами). Эти производные стеки являются подходящими функторами вида
Многие авторы моделируют такие функторы как функторы со значениями в симплициальных множествах, поскольку они моделируют гомотопические типы и хорошо изучены. Различные определения этих производных пространств зависят от выбора производных колец и от того, как должны выглядеть гомотопические типы. Некоторые примеры производных колец включают коммутативные дифференциальные градуированные алгебры, симплициальные кольца и-кольца.
Полученная геометрия над характеристикой 0
По характеристике 0 многие производные геометрии совпадают, поскольку производные кольца одинаковы. алгебры - это просто коммутативные дифференциальные градуированные алгебры над нулевой характеристикой. Затем мы можем определить производные схемы аналогично схемам в алгебраической геометрии. Подобно алгебраической геометрии, мы могли бы также рассматривать эти объекты как пару которое является топологическим пространством с пучком коммутативных дифференциальных градуированных алгебр. Иногда авторы считают, что им выставляют отрицательную оценку, поэтому для . Состояние связки также можно было ослабить так, чтобы для крышки из , связки приклеил бы внахлест только квазиизоморфизмом.
К сожалению, над характеристикой p дифференциальные градуированные алгебры плохо подходят для теории гомотопий из-за того, что [1] . Это можно преодолеть с помощью симплициальных алгебр.
Полученная геометрия по произвольной характеристике
Производные кольца над произвольной характеристикой считаются симплициальными коммутативными кольцами из-за их хороших категориальных свойств. В частности, категория симплициальных колец симплициально обогащена, что означает, что гом-множества сами являются симплициальными множествами. Также существует каноническая модельная структура на симплициальных коммутативных кольцах, происходящая из симплициальных множеств. [3] Фактически, это теорема Квиллена о том, что модельная структура на симплициальных множествах может быть перенесена на симплициальные коммутативные кольца.
Высшие стеки
Предполагается, что существует окончательная теория высших стеков, которая моделирует гомотопические типы . Гротендик предположил, что они будут моделироваться глобулярными группоидами или слабой формой их определения. Симпсон [4] дает полезное определение в духе идей Гротендика. Напомним, что алгебраический стек (здесь 1-стек) называется представимым, если послойное произведение любых двух схем изоморфно схеме. [5] Если мы возьмем анзац, что 0-стек - это просто алгебраическое пространство, а 1-стек - это просто стек, мы можем рекурсивно определить n-стек как объект, так что волокнистое произведение по любым двум схемам является (n-1) -стог. Если мы вернемся к определению алгебраического стека, это новое определение согласуется.
Спектральные схемы
Другая теория производной алгебраической геометрии заключена в теорию спектральных схем. Для их определения требуется изрядное количество технологий, чтобы точно сформулировать. [6] Но, вкратце, спектральные схемы задаются спектрально окольцованными -topos вместе с пачкой -кольца на нем при соблюдении некоторых условий локальности, аналогичных определению аффинных схем. В частности
- должен быть эквивалентен -топос некоторого топологического пространства
- Должна существовать крышка из такие, что индуцированные топосы эквивалентен спектрально окольцованному топосу для некоторых -звенеть
Кроме того, спектральная схема называется несвязным, если для .
Примеры
Напомним, что топос точки эквивалентна категории множеств. Затем в-topos, мы вместо этого рассматриваем -пучки -группоиды (которые -категории с одним объектом), обозначенные , давая аналог точечных топосов в -topos установка. Тогда структуру спектрально окольцованного пространства можно задать, добавив-звенеть . Обратите внимание, что это означает, что спектрально окольцованные пространства обобщаюткольца, так как каждый -кольцо может быть связано со спектрально окольцованным участком.
Этот спектрально окольцованный топос может быть спектральной схемой, если спектр этого кольца дает эквивалент -topos, поэтому его базовое пространство является точкой. Например, это может быть кольцевой спектр, называемый спектром Эйленберга-Маклейна, построенный из пространств Эйленберга-Маклейна .
Приложения
- Производная алгебраическая геометрия была использована Керцем, Странком и Тамме (2018) для доказательства гипотезы Вейбеля об исчезновении отрицательной K-теории .
- Формулировка геометрической гипотезы Ленглендса Аринкина и Гайтсгори использует производную алгебраическую геометрию. [7]
Смотрите также
- Производная схема
- Погоня за стеками
- Некоммутативная алгебраическая геометрия
- Симплициальное коммутативное кольцо
- Дериватор
- Алгебра над операдой
- Кольцо
- Теория высших топосов
- ∞-топос
- этальный спектр
Заметки
- ^ Хан, Адиль А. (2019). «Дивная новая теория мотивационной гомотопии I». Геом. Тополь . 23 : 3647–3685. arXiv : 1610.06871 . DOI : 10,2140 / gt.2019.23.3647 .
- ^ Формула пересечения Серра и производная алгебраическая геометрия?
- ^ Мэтью, Ахил. "Симплициальные коммутативные кольца, I" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 16 июня 2019 года.
- ^ Симпсон, Карлос (1996-09-17). «Алгебраические (геометрические) $ n $ -стоги». arXiv : alg-geom / 9609014 .
- ^ Что можно проверить, посмотрев на диагональный морфизм и проверив, представим ли он сам. Посетите https://math.dartmouth.edu/~jvoight/notes/moduli-red-harvard.pdf для получения дополнительной информации.
- ^ Резк, Чарльз. «Спектральная алгебраическая геометрия» (PDF) . п. 23 (раздел 10.6). Архивировано (PDF) из оригинала 25 апреля 2020 г.
- ^ Аринкин, Дима; Гайцгори, Деннис (2015). «Сингулярный носитель когерентных пучков и геометрическая гипотеза Ленглендса». Selecta Math . 21 (1): 1–199. DOI : 10.1007 / s00029-014-0167-5 .
Рекомендации
Симплициальный DAG
- Тоен, Бертран (2014-01-06). «Производная алгебраическая геометрия». arXiv : 1401.1044 [ math.AG ].
- Тоен, Бертран ; Веццози, Габриэле (2004). «От HAG к DAG: производные стеки модулей». В Гринлисе, JPC (ред.). Аксиоматическая, обогащенная и мотивирующая теория гомотопии. Труды Института перспективных исследований НАТО, Кембридж, Великобритания, 9-20 сентября 2002 года . Наука НАТО II: математика, физика и химия. 131 . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. С. 173–216. ISBN 1-4020-1833-9. Zbl 1076.14002 .
- Веццози, Габриэле (2011). "Что такое ... производный стек?" (PDF) . Уведомления Am. Математика. Soc . 58 (7): 955–958. Zbl 1228.14004 .
E n и E ∞ -кольца
- Спектрально-алгебраическая геометрия - Резк
- Операды и когомологии пучков - JP May --кольца над характеристикой 0 и -структура когомологий пучков
- Касательная комплекса и Хохшильд когомология Е п -колец https://arxiv.org/abs/1104.0181
- Фрэнсис, Джон; Полученная алгебраическая геометрия над E п {\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {n}} -Кольца
Приложения
- Лоури, Паркер; Шюрг, Тимо. (2018). Гротендик-Риман-Рох для производных схем
- Чокан-Фонтанин, И., Капранов, М. (2007). Виртуальные фундаментальные классы через dg-многообразия
- Манн Э., Робало М. (2018). Теория Громова-Виттена с производной алгебраической геометрией
- Бен-Цви Д. , Фрэнсис Дж. И Д. Надлер. Интегральные преобразования и центры Дринфельда в производной алгебраической геометрии .
- Керц, Мориц; Странк, Флориан; Тамме, Георг (2018), "Алгебраическая K- теория и спуск для раздутий", Инвент. Математика. , 211 (2): 523–577, arXiv : 1611.08466 , Bibcode : 2018InMat.211..523K , doi : 10.1007 / s00222-017-0752-2 , MR 3748313
Квантовые теории поля
- Заметки о суперсимметричных и голоморфных теориях поля в размерностях 2 и 4
Внешние ссылки
- Домашняя страница Джейкоба Лурье
- Обзор спектральной алгебраической геометрии
- Группа чтения DAG (осень 2011 г.) в Гарварде
- http://ncatlab.org/nlab/show/dehibited+algebraic+geometry
- Учебный семинар по производной алгебраической геометрии по RTG в Мичигане , 2012 г.
- Производная алгебраическая геометрия: как достичь исследовательского уровня математики?
- Производная алгебраическая геометрия и мотивы колец / чау-чау
- Габриэле Веццози, Обзор производной алгебраической геометрии , октябрь 2013 г.