В математике и физике , то спектральная асимметрия является асимметрия в распределении спектра из собственных значений в качестве оператора . В математике спектральная асимметрия возникает при изучении эллиптических операторов на компактных многообразиях и получает глубокий смысл в теореме Атьи-Зингера об индексе . В физике он имеет множество приложений, обычно приводящих к дробному заряду из-за асимметрии спектра оператора Дирака . Например, среднее значение вакуума от барионного числа дается спектральной асимметрией оператора Гамильтона . Спектральная асимметрия ограниченных кварковых полей - важное свойство модели кирального мешка . Для фермионов он известен как индекс Виттена , и его можно понимать как описывающий эффект Казимира для фермионов.
Определение [ править ] Для оператора с собственными значениями , равное количество которых являются положительными и отрицательными, спектральная асимметрия может быть определена как сумма ω п {\ displaystyle \ omega _ {n}}
B знак равно Lim т → 0 1 2 ∑ п sgn ( ω п ) exp ( - т | ω п | ) {\ displaystyle B = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n} \ operatorname {sgn} (\ omega _ {n}) \ exp (-t | \ омега _ {n} |)} где - знаковая функция . Могут использоваться другие регуляторы , такие как регулятор дзета-функции . sgn ( Икс ) {\ displaystyle \ operatorname {sgn} (x)}
Необходимость как положительного, так и отрицательного спектра в определении - вот почему спектральная асимметрия обычно возникает при изучении операторов Дирака .
В качестве примера рассмотрим оператор со спектром
ω п знак равно п + α {\ Displaystyle \ omega _ {п} = п + \ альфа} где n - целое число, охватывающее все положительные и отрицательные значения. Можно прямо показать, что в этом случае подчиняется для любого целого числа , а это - для нас . Таким образом, график представляет собой периодическую пилообразную кривую. B ( α ) {\ Displaystyle В (\ альфа)} B ( α ) знак равно B ( α + м ) {\ Displaystyle В (\ альфа) = В (\ альфа + м)} м {\ displaystyle m} 0 < α < 1 {\ Displaystyle 0 <\ альфа <1} B ( α ) знак равно 1 / 2 - α {\ Displaystyle В (\ альфа) = 1/2- \ альфа} B ( α ) {\ Displaystyle В (\ альфа)}
Обсуждение [ править ] Спектральная асимметрия связана с вакуумным математическим ожиданием энергии, связанной с оператором, энергией Казимира , которая определяется выражением
E знак равно Lim т → 0 1 2 ∑ п | ω п | exp ( - т | ω п | ) {\ displaystyle E = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n} | \ omega _ {n} | \ exp (-t | \ omega _ {n} |)} Эта сумма формально расходится, и расхождения необходимо учитывать и устранять с помощью стандартных методов регуляризации.
MF Atiyah, VK Patodi и IM Singer, Спектральная асимметрия и риманова геометрия I , Proc. Camb. Фил. Soc., 77 (1975), 43-69. Линас Вепстас, А.Д. Джексон, А.С. Гольдхабер, Двухфазные модели барионов и киральный эффект Казимира , Physics Letters B140 (1984) с. 280-284. Линас Вепстас, А.Д. Джексон, Обоснование хирального мешка , Physics Reports, 187 (1990) с. 109-143.
Хан-Банах закрытый график принцип равномерной ограниченности Фиксированная точка Какутани Крейн – Мильман мин Макс Гельфанд – Наймарк Банах – Алаоглу прилегающий ограниченный компактный Гильберта-Шмидта нормальный ядерный класс трассировки неограниченный унитарный Банахова алгебра C * -алгебра спектр C * -алгебры операторная алгебра групповая алгебра локально компактной группы алгебра фон Неймана проблема инвариантного подпространства Гипотеза Малера Харди космос спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений тепловое ядро теорема об индексе вариационное исчисление функциональное исчисление интегральный оператор Многочлен Джонса топологическая квантовая теория поля некоммутативная геометрия Гипотеза Римана распределение (или обобщенные функции ) свойство аппроксимации сбалансированный набор слабая топология Расстояние Банаха – Мазура Теория Томиты – Такесаки
Инволюция / * - алгебра Банахова алгебра B * -алгебра C * -алгебра Некоммутативная топология Прогнозно-оценочная мера Спектр Спектр C * -алгебры Спектральный радиус Операторское пространство Теорема Гельфанда – Мазура. Теорема Гельфанда – Наймарка. Представительство Гельфанда Полярное разложение Разложение по сингулярным числам Спектральная теорема Спектральная теория нормальных C * -алгебр Изоспектральный Нормальный оператор Эрмитов / самосопряженный оператор Унитарный оператор Единица измерения Теорема Крейна – Рутмана. Нормальное собственное значение Спектр C * -алгебры Спектральный радиус Спектральная асимметрия Спектральный промежуток ( Непрерывный Точка Остаточный ) Примерная точка Сжатие Дискретный Спектральная абсцисса Функциональное исчисление Бореля Теорема мин-макс Прогнозно-оценочная мера Проектор Рисса Оснащенное гильбертово пространство Спектральная теорема Спектральная теория компактных операторов Спектральная теория нормальных C * -алгебр Аменабельная банахова алгебра С приблизительной идентичностью Банахова функциональная алгебра Дисковая алгебра Равномерная алгебра Граница Алон – Боппана Теорема Бауэра – Фике. Числовой диапазон Теорема Шура – Хорна Спектр Дирака Основной спектр Псевдоспектр Структурное пространство ( граница Шилова ) Абстрактная индексная группа Когомологии банаховой алгебры Теорема факторизации Коэна – Хьюитта Расширения симметричных операторов Принцип ограничения поглощения Неограниченный оператор Оператор почти Матье Теорема короны Слушание формы барабана ( собственное значение Дирихле ) Тепловое ядро Формула следа Кузнецова Слабая пара Функция прото-значения График Рамануджана Неравенство Рэлея – Фабера – Крана. Спектральная геометрия Спектральный метод Спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений Теория Штурма – Лиувилля Сверхсильное приближение Оператор трансфера Теория трансформации Закон Вейля