В математике, а точнее в теории матриц , разброс матрицы - это наибольшее расстояние в комплексной плоскости между любыми двумя собственными значениями матрицы.
Определение
Позволять быть квадратная матрица с собственными значениями. То есть эти значениятакие комплексные числа , что существует вектор на котором действует скалярным умножением :
Тогда распространение вявляется неотрицательным числом
Примеры
- Для нулевой матрицы и единичной матрицы разброс равен нулю. Нулевая матрица имеет только ноль в качестве собственных значений, а единичная матрица имеет только одно в качестве собственных значений. В обоих случаях все собственные значения равны, поэтому никакие два собственных значения не могут находиться на ненулевом расстоянии друг от друга.
- Для проекции единственными собственными значениями являются ноль и единица. Матрица проекции , следовательно , имеет разброс , который либо (если все собственные значения равны) или (если есть два разных собственных значения).
- Все собственные значения унитарной матрицы лежать на единичном круге . Следовательно, в этом случае разброс не более чем равен диаметру круга, равному числу 2.
- Разброс матрицы зависит только от спектра матрицы (ее мультимножества собственных значений). Если вторая матрицатого же размера обратима , то имеет тот же спектр, что и . Следовательно, он также имеет такой же разброс, как.
Смотрите также
Рекомендации
- Марвин Маркус и Хенрик Минк, Обзор теории матриц и матричных неравенств , Dover Publications , 1992, ISBN 0-486-67102-X . Глава III.4.