В геометрии дельтовидная кривая , также известная как трикуспоидная кривая или кривая Штейнера , представляет собой гипоциклоиду из трех выступов . Другими словами, это рулетка , созданная точкой на окружности круга, когда она катится без скольжения по внутренней части круга с радиусом в три или полтора раза больше его. Он назван в честь греческой буквы « дельта» , на которую он похож.
В более широком смысле, дельтоид может относиться к любой замкнутой фигуре с тремя вершинами, соединенными кривыми, вогнутыми с внешней стороны, что делает внутренние точки невыпуклым множеством. [1]
Дельтовид может быть представлен (с точностью до вращения и перемещения) следующими параметрическими уравнениями
где a - радиус катящегося круга, b - радиус круга, внутри которого катится вышеупомянутый круг. (На рисунке выше b = 3a .)
В комплексных координатах это становится
Переменную t можно исключить из этих уравнений, чтобы получить декартово уравнение
так что дельтовид - это плоская алгебраическая кривая четвертой степени. В полярных координатах это становится
Кривая имеет три особенности, которым соответствуют точки возврата . Приведенная выше параметризация подразумевает, что кривая рациональна, что означает, что она имеет нулевой род .
Сегмент линии может скользить каждым концом по дельтовидной мышце и оставаться касательной к дельтовидной. Точка касания проходит вокруг дельтовидной мышцы дважды, в то время как каждый конец проходит вокруг нее один раз.
Двойная кривая дельтовидной мышцы - это
который имеет двойную точку в начале координат, которую можно сделать видимой для построения воображаемого поворота y ↦ iy, давая кривую
с двойной точкой в начале реальной плоскости.
Область дельтовидной находится где снова радиус подвижного круга; таким образом, площадь дельтовидной мышцы вдвое больше, чем у катящегося круга. [2]
Периметр (общая длина дуги) дельтовидной мышцы - 16 а . [2]
Обычные циклоиды изучали Галилео Галилей и Марин Мерсенн еще в 1599 году, но циклоидальные кривые впервые были придуманы Оле Рёмером в 1674 году при изучении наилучшей формы зубьев шестерен. Леонард Эйлер впервые рассматривает настоящую дельтовидную мышцу в 1745 году в связи с оптической проблемой.
Дельтоиды возникают в нескольких областях математики. Например: