Парадокс Банаха – Тарского - это книга по математике, посвященная парадоксу Банаха – Тарского , тому факту, что единичный шар можно разделить на конечное число подмножеств и собрать два единичных шара. Он был написан Стэном Вэгоном и опубликован в 1985 году издательством Cambridge University Press в качестве 24 тома их серии книг «Энциклопедия математики и ее приложений». [1] [2] [3] [4] [5] Вторая печать в 1986 году добавила две страницы в качестве дополнения, а в 1993 году в мягкой обложке было добавлено новое предисловие. [6] В 2016 году издательство Cambridge University Press опубликовало второе издание, добавив в качестве соавтора Гжегожа Томковича, 163 том из той же серии. [7][8] Комитет по списку базовых библиотек Математической ассоциации Америки рекомендовал включить ее в математические библиотеки для студентов бакалавриата. [8]
Темы
Парадокс Банаха-Тарского, доказанный Стефаном Банахом и Альфредом Тарским в 1924 году, гласит, что можно разделить трехмерный единичный шар на конечное число частей и собрать их в два единичных шара, один шар большей или меньшей площади, или любое другое ограниченное множество с непустой внутренней частью . Хотя это математическая теорема, ее называют парадоксом, потому что она настолько противоречит интуиции; В предисловии к книге Ян Мыцельски назвал это самым неожиданным результатом в математике. Он тесно связан с теорией меры и отсутствием меры на всех подмножествах трехмерного пространства, инвариантной относительно всех конгруэнций пространства, а также с теорией парадоксальных множеств в свободных группах и представлением этих групп трехмерными пространствами. размерные вращения , используемые в доказательстве парадокса. Тема книги - парадокс Банаха – Тарского, его доказательство и многие связанные с ним результаты, которые с тех пор стали известны. [3] [5]
Книга разделена на две части: первая посвящена существованию парадоксальных разложений, а вторая - условиям, препятствующим их существованию. [1] [7] После двух глав справочного материала первая часть доказывает сам парадокс Банаха – Тарского, рассматривает многомерные пространства и неевклидову геометрию , изучает количество частей, необходимых для парадоксального разложения, и находит аналогичные результаты. парадоксу Банаха – Тарского для одномерных и двумерных множеств. Вторая часть включает родственную теорему Тарского о том, что конгруэнтно-инвариантные конечно-аддитивные меры предотвращают существование парадоксальных разложений, теорему о том, что мера Лебега является единственной такой мерой на измеримых по Лебегу множествах, материал об аменабельных группах , связь с аксиомой выбор и теорема Хана – Банаха . [3] [7] В трех приложениях описываются евклидовы группы , жорданова мера и набор открытых проблем. [1]
Второе издание добавляет материал по нескольким недавним результатам в этой области, во многих случаях вдохновленный первым изданием книги. Тревор Уилсон доказал существование непрерывного движения от узла с одним шаром к узлу с двумя шарами, сохраняя при этом все наборы перегородки непересекающимися; этот вопрос был поставлен де Гроотом в первом издании книги. [7] [9] Миклош Лацкович решил задачу Тарского о квадрате круга , попросив разрезать диск на квадрат той же площади, в 1990 году. [7] [8] [10] И Эдвард Марчевский спросил в 1930 году, есть ли парадокс Банаха – Тарского может быть достигнут только с использованием множеств Бэра ; положительный ответ был найден в 1994 году Рэндаллом Догерти и Мэтью Форманом . [8] [11]
Аудитория и прием
Книга написана на уровне, доступном для аспирантов-математиков, но содержит обзор исследований в этой области, которые также должны быть полезны более продвинутым исследователям. [3] Начальные части книги, включая доказательство парадокса Банаха – Тарского, также должны быть доступны для чтения студентам-математикам. [4]
Рецензент Влодзимеж Бзыл пишет, что «эта красивая книга написана с осторожностью и, безусловно, ее стоит прочитать». [2] Рецензент Джон Дж. Уоткинс пишет, что первое издание книги «стало классическим текстом по парадоксальной математике», а второе издание «превосходит все возможные ожидания, которые я мог иметь для расширения книги, которую я уже глубоко ценил». [8]
Смотрите также
- Список парадоксов
- История математики
Рекомендации
- ^ a b c Люксембург, WAJ , «Обзор парадокса Банаха – Тарского (1-е изд.)», zbMATH , Zbl 0569.43001 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- ^ а б Бзыль, Влодзимеж (1987), «Обзор парадокса Банаха – Тарского (1-е изд.)», Mathematical Reviews , MR 0803509
- ^ а б в г Гарднер, RJ (март 1986), "Обзор Банаха-Тарского Paradox (1 - е изд.)", Бюллетень Лондонского математического общества , 18 (2): 207-208, DOI : 10,1112 / БЛМ / 18.2.207
- ^ а б Хенсон, К. Уорд (июль – август 1987 г.), американский ученый , 75 (4): 436, JSTOR 27854763CS1 maint: журнал без названия ( ссылка )
- ^ а б Мычильский Ян (август-сентябрь 1987), American Mathematical Monthly , 94 (7): 698-700, DOI : 10,2307 / 2322243 , JSTOR 2322243 CS1 maint: не рекомендуется параметр ( ссылка ) CS1 maint: без названия периодическое издание ( ссылка )
- ^ Форман, Мэтью (июнь 1995), "Обзор Банаха-Тарского Paradox (1993 мягкая обложка ред.)", Журнал символической логики , 60 (2): 698, DOI : 10,2307 / 2275867 , JSTOR 2275867 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- ^ а б в г д Харт, Клаас Питер, "Обзор парадокса Банаха-Тарского (2-е изд.)", Mathematical Reviews , MR 3616119
- ^ а б в г д Уоткинс, Джон Дж. (Июль 2017 г.), «Обзор парадокса Банаха – Тарского (2-е изд.)» , Обзоры МАА , Математическая ассоциация Америки
- ^ Уилсон, Тревор М. (2005), «Непрерывный вариант движение Банаха-Тарского парадокс: решение проблемы де Гроот в» , журнал символической логики , 70 (3): 946-952, DOI : 10.2178 / JSL / 1122038921 , Руководство по ремонту 2155273
- ^ Laczkovich, М. (1990), "равносоставленности и противоречивость; раствор Квадратура круга Тарского", Журнал für умереть Reine унд Angewandte Mathematik , 1990 (404): 77-117, DOI : 10,1515 / crll.1990.404.77 , Руководство по ремонту 1037431 , S2CID 117762563 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- ^ Догерти, Рэндалл ; Форман, Мэтью (1994), "Банаха-Тарского разложения с использованием наборов со свойством Бэра", журнал Американского математического общества , 7 (1): 75-124, DOI : 10,2307 / 2152721 , JSTOR 2152721 , MR 1227475