Куб (алгебра)

y = x 3

для значений

1 \leq x \leq 25

.

В арифметическом и алгебры , в кубе ряда $п$ является его третья сила , то есть, результат умножения трех экземпляров $п$ вместе. Куб числа или любого другого математического выражения обозначается надстрочным индексом 3, например 2 ³ = 8 или $(x + 1) 3$ .

Куб - это также число, умноженное на его квадрат :

n 3 = n \times n 2 = n \times n \times n

.

Функция куба - это функция $x \mapsto x 3$ (часто обозначаемая $y = x 3$ ), которая отображает число в свой куб. Это странная функция , так как

(- п) 3 = - (п 3)

.

Объем из геометрического куба является куб боковой длиной, что приводит к имени. Обратная операция , которая заключается в нахождении ряда , чей куб $п$ называется экстракцией кубического корня из $п$ . Он определяет сторону куба данного объема. Оно также возведено в степень $n$ в одну треть.

График функции кубы известен как кубическая парабола . Поскольку функция куба является нечетной функцией, эта кривая имеет центр симметрии в начале координат, но не имеет оси симметрии .

В целых числах

Номер куба , или идеальный куб , или иногда просто куб , это число , которое является куб из целого числа . Идеальные кубики до 60 ³ (последовательность A000578 в OEIS ):

0 ³ =	0
1 ³ =	1	11 ³ =	1331	21 ³ =	9261	31 ³ =	29 791	41 ³ =	68 921	51 ³ =	132 651
2 ³ =	8	12 ³ =	1728	22 ³ =	10 648	32 ³ =	32 768	42 ³ =	74 088	52 ³ =	140 608
3 ³ =	27	13 ³ =	2197	23 ³ =	12 167	33 ³ =	35 937	43 ³ =	79 507	53 ³ =	148 877
4 ³ =	64	14 ³ =	2744	24 ³ =	13 824	34 ³ =	39 304	44 ³ =	85 184	54 ³ =	157 464
5 ³ =	125	15 ³ =	3375	25 ³ =	15 625	35 ³ =	42 875	45 ³ =	91 125	55 ³ =	166 375
6 ³ =	216	16 ³ =	4096	26 ³ =	17 576	36 ³ =	46 656	46 ³ =	97 336	56 ³ =	175 616
7 ³ =	343	17 ³ =	4913	27 ³ =	19 683	37 ³ =	50 653	47 ³ =	103 823	57 ³ =	185 193
8 ³ =	512	18 ³ =	5832	28 ³ =	21 952	38 ³ =	54 872	48 ³ =	110 592	58 ³ =	195 112
9 ³ =	729	19 ³ =	6859	29 ³ =	24 389	39 ³ =	59 319	49 ³ =	117 649	59 ³ =	205 379
10 ³ =	1000	20 ³ =	8000	30 ³ =	27 000	40 ³ =	64 000	50 ³ =	125 000	60 ³ =	216 000

С геометрической точки зрения положительное целое число $m$ является идеальным кубом тогда и только тогда, когда можно расположить $m$ единичных твердых кубов в более крупный твердый куб. Например, 27 маленьких кубиков можно сложить в один больший, имеющий вид кубика Рубика , так как 3 × 3 × 3 = 27 .

Разницу между кубиками последовательных целых чисел можно выразить следующим образом:

п 3 - (п - 1) 3 = 3 (п - 1) п + 1

.

или

(п + 1) 3 - п 3 = 3 (п + 1) п + 1

.

Минимального идеального куба не существует, поскольку куб с отрицательным целым числом отрицателен. Например, (−4) × (−4) × (−4) = −64 .

Основание десять

В отличие от полных квадратов , у совершенных кубов нет небольшого числа возможностей для последних двух цифр. За исключением кубов, делящихся на 5, где только 25 , 75 и 00 могут быть двумя последними цифрами, любая пара цифр с нечетной последней цифрой может быть последней цифрой идеального куба. Для четных кубов существует значительное ограничение, поскольку только 00 , $o$ 2 , $e$ 4 , $o$ 6 и $e$ 8 могут быть двумя последними цифрами идеального куба (где $o$ обозначает любую нечетную цифру, а $e$ для любой четной цифры). Некоторые числа куба также являются квадратными числами; например, 64 - это квадратное число (8 × 8) и кубическое число (4 × 4 × 4) . Это происходит тогда и только тогда, когда число является точной шестой степенью (в данном случае 2 ⁶ ).

Последние цифры каждой третьей степени:

0

1

8

7

4

5

6

3

2

9

Однако легко показать, что большинство чисел не являются совершенными кубами, потому что все совершенные кубы должны иметь цифровой корень 1 , 8 или 9 . То есть их значения по модулю 9 могут быть только -1, 1 и 0. Более того, цифровой корень куба любого числа можно определить по остатку, полученному при делении числа на 3:

Если число x делится на 3, его куб имеет цифровой корень 9; это,
${\ displaystyle {\ text {if}} \ quad x \ Equiv 0 {\ pmod {3}} \ quad {\ text {then}} \ quad x ^ {3} \ Equiv 0 {\ pmod {9}} { \ text {(фактически}} \ quad 0 {\ pmod {27}} {\ text {)}};}$
Если при делении на 3 остаток равен 1, его куб имеет цифровой корень 1; это,
${\ displaystyle {\ text {if}} \ quad x \ Equiv 1 {\ pmod {3}} \ quad {\ text {then}} \ quad x ^ {3} \ Equiv 1 {\ pmod {9}}; }$
Если при делении на 3 остаток равен 2, его куб имеет цифровой корень 8; это,
${\ displaystyle {\ text {if}} \ quad x \ Equiv -1 {\ pmod {3}} \ quad {\ text {then}} \ quad x ^ {3} \ Equiv -1 {\ pmod {9} }.}$

Проблема Варинга для кубиков

Каждое положительное целое число можно записать как сумму девяти (или меньше) положительных кубиков. Этот верхний предел в девять кубиков не может быть уменьшен, потому что, например, 23 не может быть записано как сумма менее девяти положительных кубиков:

23 = 2 ³ + 2 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ .

Суммы трех кубиков

Предполагается, что любое целое число (положительное или отрицательное), не сравнимое с $\pm 4$ по модулю $9,$ может быть записано как сумма трех (положительных или отрицательных) кубов бесконечным числом способов. ^[1] Например, ${\ Displaystyle 6 = 2 ^ {3} + (- 1) ^ {3} + (- 1) ^ {3}}$ . Целые числа, сравнимые с $\pm 4$ по модулю $9$ , исключаются, поскольку они не могут быть записаны как сумма трех кубов.

Наименьшее такое целое число, для которого такая сумма неизвестна, - 114. В сентябре 2019 года было обнаружено, что предыдущее наименьшее такое целое число без известной суммы 3-кубов, 42, удовлетворяло этому уравнению: ^[2]^{[ необходим лучший источник ]}

{\ displaystyle 42 = (- 80538738812075974) ^ {3} + 80435758145817515 ^ {3} + 12602123297335631 ^ {3}.}

Одно решение ${\ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} = n}$ приведено в таблице ниже для $n \leq 78$ , и $n$ не конгруэнтно $4$ или $5$ по модулю $9$ . Выбранное решение является примитивным ( $gcd (x, y, z) = 1$ ), не имеет формы ${\ Displaystyle к ^ {3} + (- к) ^ {3} + п ^ {3} = п ^ {3}}$ или ${\ displaystyle (n + 6k ^ {3} n) ^ {3} + (n-6k ^ {3} n) ^ {3} + (- 6k ^ {2} n) ^ {3} = 2n ^ { 3}}$ (поскольку они являются бесконечными семействами решений), удовлетворяет $0 \leq | х | \leq | y | \leq | z |$ , и имеет минимальные значения для $| z |$ и $| y |$ (проверено в таком порядке). ^[3]^[4]^[5]

Выбираются только примитивные решения, поскольку непримитивные решения можно тривиально вывести из решений для меньшего значения $n$ . Например, для $n = 24$ решение ${\ displaystyle 2 ^ {3} + 2 ^ {3} + 2 ^ {3} = 24}$ результаты из решения ${\ displaystyle 1 ^ {3} + 1 ^ {3} + 1 ^ {3} = 3}$ умножив все на ${\ displaystyle 8 = 2 ^ {3}.}$ Поэтому было выбрано другое решение. Аналогично, для $n = 48$ исключается решение $(x, y, z) = (-2, -2, 4)$ , и это решение $(x, y, z) = (-23, -26, 31 ),$ который выбран.

Единственными оставшимися нерешенными делами до 1000 являются 114, 390, 627, 633, 732, 921 и 975, и нет никаких известных примитивных решений (т. Е. ${\ Displaystyle \ НОД (х, у, z) = 1}$ ) для 192, 375, 600 ^[6]

Обратите внимание, что существует только одно известное решение для 3, кроме (1, 1, 1) и (−4, −4, 5):

{\ Displaystyle 3 = 569 \ 936 \ 821 \ 221 \ 962 \ 380 \ 720 ^ {3} + (- 569 \ 936 \ 821 \ 113 \ 563 \ 493 \ 509) ^ {3} + (- 472 \ 715 \ 493 \ 453 \ 327 \ 032) ^ {3}.}

п	Икс	у	z	п	Икс	у	z
1	9	10	−12	39	117367	134476	−159380
2	1214928	3480205	−3528875	42	12602123297335631	80435758145817515	−80538738812075974
3	1	1	1	43 год	2	2	3
6	−1	−1	2	44	−5	−7	8
7	0	−1	2	45	2	−3	4
8	9	15	−16	46	−2	3	3
9	0	1	2	47	6	7	−8
10	1	1	2	48	−23	−26	31 год
11	−2	−2	3	51	602	659	−796
12	7	10	−11	52	23961292454	60702901317	−61922712865
15	−1	2	2	53	−1	3	3
16	−511	−1609	1626	54	−7	−11	12
17	1	2	2	55	1	3	3
18	−1	−2	3	56	−11	−21	22
19	0	−2	3	57 год	1	−2	4
20	1	−2	3	60	−1	−4	5
21 год	−11	−14	16	61	0	−4	5
24	−2901096694	−15550555555	15584139827	62	2	3	3
25	−1	−1	3	63	0	−1	4
26 год	0	−1	3	64	−3	−5	6
27	−4	−5	6	65	0	1	4
28 год	0	1	3	66	1	1	4
29	1	1	3	69	2	−4	5
30	−283059965	−2218888517	2220422932	70	11	20	−21
33	−2736111468807040	−8778405442862239	8866128975287528	71	−1	2	4
34	−1	2	3	72	7	9	−10
35 год	0	2	3	73	1	2	4
36	1	2	3	74	66229832190556	283450105697727	−284650292555885
37	0	−3	4	75	4381159	435203083	−435203231
38	1	−3	4	78	26 год	53	−55

Последняя теорема Ферма для кубов

Уравнение $x 3 + y 3 = z 3$ не имеет нетривиальных (т.е. $xyz \neq 0$ ) решений в целых числах. Фактически, в целых числах Эйзенштейна его нет . ^[7]

Оба эти утверждения также верны для уравнения ^[8] $x 3 + y 3 = nz 3$ для n = 3, 4, 5, 10, 11, 14, 18, 21, 23, 24, 25, 29, 32, 36, 38, 39, 40, 41, 44, 45, 46, 47, 52, 55, 57, 59, 60, 66, 73, 74, 76, 77, 80, 81, 82, 83, 88, 93, 95, 99, 100,… (последовательность A185345 в OEIS ), также для n = k ³ и 2 k ³ , нетривиальных решений, т.е. решений, отличных от 0 ³ + ( kx ) ³ = ( k ³ ) x ³и ( kx ) ³ + ( kx ) ³ = (2 k ³ ) x ³ , для всех других положительных целых значений k существует бесконечно много примитивных решений.

Сумма первых n кубиков

Сумма первых $n$ кубиков равна квадрату $n-$ го числа треугольника :

{\ displaystyle 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + \ dots + n ^ {3} = (1 + 2 + \ dots + n) ^ {2} = \ left ({\ frac {n (n + 1)} {2}} \ right) ^ {2}.}

Наглядное доказательство того, что 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + 4 ³ + 5 ³ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) ² .

Доказательства. Чарльз Уитстон ( 1854 ) дает особенно простой вывод, расширяя каждый куб в сумме до набора последовательных нечетных чисел. Он начинает с того, что дает личность

{\ displaystyle n ^ {3} = \ underbrace {\ left (n ^ {2} -n + 1 \ right) + \ left (n ^ {2} -n + 1 + 2 \ right) + \ left (n ^ {2} -n + 1 + 4 \ right) + \ cdots + \ left (n ^ {2} + n-1 \ right)} _ {n {\ text {последовательные нечетные числа}}}.}

Эта идентичность связана с треугольными числами. ${\ displaystyle T_ {n}}$ следующим образом:

{\ displaystyle n ^ {3} = \ sum _ {k = T_ {n-1} +1} ^ {T_ {n}} (2k-1),}

и, таким образом, слагаемые, образующие ${\ Displaystyle п ^ {3}}$ начинаются сразу после тех, которые формируют все предыдущие значения ${\ displaystyle 1 ^ {3}}$ вплоть до ${\ Displaystyle (п-1) ^ {3}}$ . Применение этого свойства вместе с другим хорошо известным идентификатором:

{\ displaystyle n ^ {2} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} (2k-1),}

получаем следующий вывод:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {3} & = 1 + 8 + 27 + 64 + \ cdots + n ^ {3} \\ & = \ underbrace {1} _ {1 ^ {3}} + \ underbrace {3 + 5} _ {2 ^ {3}} + \ underbrace {7 + 9 + 11} _ {3 ^ {3}} + \ underbrace {13 + 15 + 17 + 19} _ {4 ^ {3}} + \ cdots + \ underbrace {\ left (n ^ {2} -n + 1 \ right) + \ cdots + \ left (n ^ {2} + n-1 \ right)} _ {n ^ {3}} \\ & = \ underbrace {\ underbrace {\ underbrace {\ underbrace {1} _ {1 ^ {2}} + 3} _ {2 ^ {2 }} + 5} _ {3 ^ {2}} + \ cdots + \ left (n ^ {2} + n-1 \ right)} _ {\ left ({\ frac {n ^ {2} + n} {2}} \ right) ^ {2}} \\ & = (1 + 2 + \ cdots + n) ^ {2} \\ & = {\ bigg (} \ sum _ {k = 1} ^ {n } k {\ bigg)} ^ {2}. \ end {align}}}

Наглядная демонстрация того, что квадрат треугольного числа равен сумме кубиков.

В более поздней математической литературе Stein (1971) использует интерпретацию этих чисел с помощью подсчета прямоугольников, чтобы сформировать геометрическое доказательство тождества (см. Также Benjamin, Quinn & Wurtz 2006 ); он отмечает, что это можно также легко (но малоинформативно) доказать с помощью индукции, и заявляет, что Теплиц (1963) дает «интересное старое арабское доказательство». Каним (2004) предоставляет чисто визуальное доказательство, Бенджамин и Оррисон (2002) предоставляют два дополнительных доказательства, а Нельсен (1993) дает семь геометрических доказательств.

Например, сумма первых 5 кубиков равна квадрату 5-го треугольного числа,

{\ displaystyle 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + 4 ^ {3} + 5 ^ {3} = 15 ^ {2}}

Аналогичный результат может быть получен для суммы первых $y$ нечетных кубов,

{\ Displaystyle 1 ^ {3} + 3 ^ {3} + \ точки + (2y-1) ^ {3} = (ху) ^ {2}}

но $x$ , $y$ должны удовлетворять отрицательному уравнению Пелла $x 2 - 2 y 2 = -1$ . Например, для $y = 5$ и $29$ тогда,

{\ displaystyle 1 ^ {3} + 3 ^ {3} + \ dots + 9 ^ {3} = (7 \ cdot 5) ^ {2}}

{\ displaystyle 1 ^ {3} + 3 ^ {3} + \ dots + 57 ^ {3} = (41 \ cdot 29) ^ {2}}

и так далее. Кроме того, каждое четное совершенное число , кроме самого младшего, является суммой первых $двух.р -1 / 2$ нечетные кубики ( p = 3, 5, 7, ...):

{\ displaystyle 28 = 2 ^ {2} (2 ^ {3} -1) = 1 ^ {3} + 3 ^ {3}}

{\ displaystyle 496 = 2 ^ {4} (2 ^ {5} -1) = 1 ^ {3} + 3 ^ {3} + 5 ^ {3} + 7 ^ {3}}

{\ displaystyle 8128 = 2 ^ {6} (2 ^ {7} -1) = 1 ^ {3} + 3 ^ {3} + 5 ^ {3} + 7 ^ {3} + 9 ^ {3} + 11 ^ {3} + 13 ^ {3} + 15 ^ {3}}

Сумма кубиков чисел в арифметической прогрессии

Одна интерпретация числа Платона, 3 ³ + 4 ³ + 5 ³ = 6 ³

Вот примеры кубов чисел в арифметической прогрессии , сумма которых является кубом:

{\ displaystyle 3 ^ {3} + 4 ^ {3} + 5 ^ {3} = 6 ^ {3}}

{\ displaystyle 11 ^ {3} + 12 ^ {3} + 13 ^ {3} + 14 ^ {3} = 20 ^ {3}}

{\ displaystyle 31 ^ {3} + 33 ^ {3} + 35 ^ {3} + 37 ^ {3} + 39 ^ {3} + 41 ^ {3} = 66 ^ {3}}

с первым, которое иногда называют загадочным числом Платона . Формула $F$ для нахождения суммы $n$ кубиков чисел в арифметической прогрессии с общей разностью $d$ и исходным кубом $a 3$ ,

{\ Displaystyle F (d, a, n) = a ^ {3} + (a + d) ^ {3} + (a + 2d) ^ {3} + \ cdots + (a + dn-d) ^ { 3}}

дан кем-то

{\ Displaystyle F (d, a, n) = (n / 4) (2a-d + dn) (2a ^ {2} -2ad + 2adn-d ^ {2} n + d ^ {2} n ^ { 2})}

Параметрическое решение

{\ Displaystyle F (д, а, п) = у ^ {3}}

известен для частного случая $d = 1$ или последовательных кубов, но известны только спорадические решения для целого числа $d > 1$ , например $d$ = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 37, 39 и т. д. ^{[ 9]}

Кубы как суммы последовательных нечетных целых чисел

В последовательности нечетных чисел 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ..., первый один представляет собой куб ( 1 = 1 ³ ); сумма следующих двух - следующий куб ( 3 + 5 = 2 ³ ); сумма следующих трех - следующий куб ( 7 + 9 + 11 = 3 ³ ); и так далее.

В рациональных числах

Каждое положительное рациональное число является суммой трех положительных рациональных кубов ^[10], и есть рациональные числа, которые не являются суммой двух рациональных кубов. ^[11]

Однако есть рациональные числа, которые не являются суммой двух рациональных кубов. ^[12] Для положительных целых чисел положительные целые числа, являющиеся суммой двух положительных нецелочисленных рациональных кубов (также положительное целое число, которое может быть записано как сумма двух рациональных кубов бесконечным числом различных способов) равны

6, 7, 9, 12, 13, 15, 17, 19, 20, 22, 26, 28, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 42, 43, 48, 49, 50, 51, 53, 56, 58, 61, 62, 63, 65, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 75, 78, 79, 84, 85, 86, 87, 89, 90, 91, 92, 94, 96, 97, 98, 103, 104, 105, 106, 107, 110, 114, 115, 117, 120, 123, 124, 126, 127, 130, 132, 133, 134, 136, 139, 140, 141, 142, 143, 151, 152, 153, 156, 157, 159, 160, ... (последовательность A228499 в OEIS ) (также см. OEIS : A159843 и OEIS : A020898 )

Ниже приведен список целочисленных решений для ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {c}} \ right) ^ {3} + \ left ({\ frac {b} {c}} \ right) ^ {3} = n}$ (т.е. ${\ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = nc ^ {3}}$ ) с наименьшим c > 1. (пусть a < b )

п	а	б	c
6	17	37	21 год
7	4	5	3
9	415280564497	676702467503	348671682660
12	19	89	39
13	2	7	3
15	397	683	294
17	?	?	?
19	3	5	2
20	1	19	7
22	?	?	?
26 год	53	75	28 год
28 год	?	?	?
30	107	163	57 год
31 год	?	?	?
33	523	1853 г.	582
34	?	?	?
35 год	?	?	?
37	18	19	7

В вещественных числах, других полях и кольцах

y = x 3

на декартовой плоскости

В вещественных числах функция куба сохраняет порядок: чем больше числа, тем больше кубики. Другими словами, кубики (строго) монотонно увеличиваются . Кроме того, его область значений - это вся вещественная линия : функция $x \mapsto x 3 : R \to R$ является сюръекцией (принимает все возможные значения). Только три числа равны своим кубам: -1 , 0 и 1 . Если $-1 < x <0$ или $1 < x$ , то $x 3 > x$ . Если $x <-1$ или $0 < x <1$ , то $x 3 < x$ . Все вышеупомянутые свойства относятся также к любой более высокой нечетной степени ( $x 5$ , $x 7$ , ...) действительных чисел. Равенства и неравенства также верны в любом упорядоченном кольце .

Объемы подобных евклидовых тел связаны как кубы их линейных размеров.

В комплексных числах куб чисто мнимого числа тоже чисто мнимый. Например, $i 3 = - i$ .

Производная от $й 3$ равна $3 х 2$ .

Кубы иногда обладают сюръективным свойством в других полях , например, в $F p$ для такого простого $p,$ что $p \neq 1 (mod 3)$ , ^[13], но не обязательно: см. Контрпример с рациональными числами выше . Также в $F 7$ из семи элементов только три элемента 0, ± 1 являются совершенными кубами. −1, 0 и 1 - идеальные кубы в любом месте, и единственные элементы поля равны собственным кубам: $x 3 - x = x ( x - 1) ( x + 1)$ .

История

Определение кубиков больших чисел было очень распространено во многих древних цивилизациях . Математики из Месопотамии создали клинописные таблички с таблицами для вычисления кубов и кубических корней к древневавилонскому периоду (20-16 вв. До н.э.). ^[14]^[15] Кубические уравнения были известны древнегреческому математику Диофанту . ^[16] Герой Александрии разработал метод вычисления кубических корней в I веке нашей эры. ^[17] Методы решения кубических уравнений и извлечения кубических корней появляются в «Девяти главах о математическом искусстве» , китайском математическом издании.текст, составленный примерно во II веке до нашей эры и прокомментированный Лю Хуэем в III веке нашей эры. ^[18]

См. Также

Номер кабтакси
Кубическое уравнение
Удвоение куба
Гипотеза Эйлера о сумме степеней
Пятая степень (алгебра)
Четвертая власть
Законы движения планет Кеплера # Третий закон
Седло обезьяны
Идеальная мощность
Номер такси

Примечания

^ Huisman, Sander Г. (27 апреля 2016). «Новые суммы трех кубиков». arXiv : 1604.07746 [ math.NT ].
^ «НОВОСТИ: Тайна 42 разгадана - Numberphile» https://www.youtube.com/watch?v=zyG8Vlw5aAw
^ Последовательности A060465 , A060466 и A060467 в OEIS
^ Три кубика
^ п = х ^ 3 + у ^ 3 + г ^ 3
^ п = х ^ 3 + у ^ 3 + г ^ 3
^ Харди и Райт, Thm. 227
^ Харди и Райт, Thm. 232
^ "Коллекция алгебраических тождеств" .^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
^ Харди и Райт, Thm. 234
^ Харди и Райт, Thm. 233
^ Харди и Райт, Thm. 233
^ Мультипликативная группа из $F$ $р$ является циклической порядка $р$ $- 1$ , и если оно не делится на 3, то кубы определяют группы автоморфизмов .
↑ Кук, Роджер (8 ноября 2012 г.). История математики . Джон Вили и сыновья. п. 63. ISBN 978-1-118-46029-0.
^ Немет-Nejat, Карен Рея (1998). Повседневная жизнь в Древней Месопотамии . Издательская группа "Гринвуд". п. 306 . ISBN 978-0-313-29497-6.
^ Ван дер Варден, Геометрия и алгебра древних цивилизаций, глава 4, Цюрих 1983 ISBN 0-387-12159-5
^ Smyly, Дж Gilbart (1920). «Формула Герона для кубического корня». Герматена . Тринити-колледж Дублина. 19 (42): 64–67. JSTOR 23037103 .
^ Кроссли, Джон; ТУАЛЕТ. Лун, Энтони (1999). Девять глав по математическому искусству: компаньоны и комментарии . Издательство Оксфордского университета. С. 176, 213. ISBN 978-0-19-853936-0.

Ссылки

Харди, GH ; Райт, EM (1980). Введение в теорию чисел (пятое изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-853171-5.
Уитстон, К. (1854 г.), «Об образовании сил из арифметических прогрессий», Труды Лондонского королевского общества , 7 : 145–151, Bibcode : 1854RSPS .... 7..145W , doi : 10.1098 / rspl .1854.0036.

[1] Huisman, Sander Г. (27 апреля 2016). «Новые суммы трех кубиков». arXiv : 1604.07746 [ math.NT ].

[2] «НОВОСТИ: Тайна 42 разгадана - Numberphile» https://www.youtube.com/watch?v=zyG8Vlw5aAw

[3] Последовательности A060465 , A060466 и A060467 в OEIS

[4] Три кубика

[5] п = х ^ 3 + у ^ 3 + г ^ 3

[6] п = х ^ 3 + у ^ 3 + г ^ 3

[7] Харди и Райт, Thm. 227

[8] Харди и Райт, Thm. 232

[9] "Коллекция алгебраических тождеств" .^{[ постоянная мертвая ссылка ]}

[10] Харди и Райт, Thm. 234

[11] Харди и Райт, Thm. 233

[12] Харди и Райт, Thm. 233

[13] Мультипликативная группа из $F$ $р$ является циклической порядка $р$ $- 1$ , и если оно не делится на 3, то кубы определяют группы автоморфизмов .

[14] Кук, Роджер (8 ноября 2012 г.). История математики . Джон Вили и сыновья. п. 63. ISBN 978-1-118-46029-0.

[nen-15] Немет-Nejat, Карен Рея (1998). Повседневная жизнь в Древней Месопотамии . Издательская группа "Гринвуд". п. 306 . ISBN 978-0-313-29497-6.

[16] Ван дер Варден, Геометрия и алгебра древних цивилизаций, глава 4, Цюрих 1983 ISBN 0-387-12159-5

[17] Smyly, Дж Gilbart (1920). «Формула Герона для кубического корня». Герматена . Тринити-колледж Дублина. 19 (42): 64–67. JSTOR 23037103 .

[oxf-18] Кроссли, Джон; ТУАЛЕТ. Лун, Энтони (1999). Девять глав по математическому искусству: компаньоны и комментарии . Издательство Оксфордского университета. С. 176, 213. ISBN 978-0-19-853936-0.

[1]