В математике , операда касается прототипических алгебр , что свойства модели , такие как коммутативности или антикоммутативности , а также различные количества ассоциативности . Операды обобщают различные свойства ассоциативности, уже наблюдаемые в алгебрах и коалгебрах, таких как алгебры Ли или алгебры Пуассона, путем моделирования вычислительных деревьев внутри алгебры. Алгебры относятся к операдам так же, как представления групп относятся к группам . Операду можно рассматривать как набор операций, каждый из которых имеет фиксированное конечное число входов (аргументов) и один выход, которые могут быть объединены друг с другом. Они образуют теоретико-категориальный аналог универсальной алгебры . [ сомнительно ]
История
Операды происходят в алгебраической топологии при изучении итерированных пространств петель по J. Michael Бордман и Райнер М. Вогт , [1] [2] и J. Peter May . [3] Слово «операда» было придумано Маем как набор слов «операции» и « монада » (а также потому, что его мать была оперной певицей). [4] Интерес к операдами был значительно обновлен в начале 90 - х годов , когда, основываясь на ранних прозрений Концевич , Виктор Гинзбург и Михаил Капранов обнаружил , что некоторые двойственные явления в рациональной теории гомотопий можно объяснить , используя Кошуля двойственность операд. [5] [6] Операды с тех пор нашла много применений, например, в деформационного квантования на многообразиях Пуассона , то гипотеза Делинь , [7] или граф гомологии в работе Концевич и Томаса Willwacher .
Определение
Несимметричная операда
Несимметричный операд (иногда называемый операдом без перестановок , или не-или простая операда) состоит из следующего:
- последовательность наборов, элементы которых называются -опарные операции ,
- элемент в называется личность ,
- для всех положительных целых чисел , , композиционная функция
удовлетворяющие следующим аксиомам когерентности:
- личность :
- ассоциативность :
(количество аргументов соответствует арности операций).
Симметричная операда
Симметричная операда (часто называемая просто операдой ) - это несимметричная операда.как и выше, вместе с правым действием симметрической группы на , удовлетворяющие указанным выше аксиомам ассоциации и тождества, а также
- эквивариантность : данные перестановки,
(где из-за злоупотребления обозначениями , в правой части первого отношения эквивариантности находится элемент что действует на множестве разбив это на блоки, первые по размеру , второй по размеру , сквозь й блок размера , а затем переставляет эти блоки по ).
Действия перестановки в этом определении жизненно важны для большинства приложений, включая исходное приложение для пространств циклов.
Морфизмы
Морфизм опер состоит из последовательности
что:
- сохраняет идентичность:
- сохраняет композицию: для каждой n -арной операции и операции ,
- сохраняет действия перестановки: .
Таким образом, операды образуют категорию, обозначаемую.
В других категориях
До сих пор операды рассматривались только в категории наборов. Фактически можно определить операды в любой симметричной моноидальной категории (или, для несимметричных операд, в любой моноидальной категории ).
Типичным примером может служить категория топологических пространств , где моноидальное произведение задается декартовым произведением . В этом случае топологическая операда задается последовательностью пространств (вместо множеств). Структурные карты операды (состав и действия симметрических групп) должны тогда считаться непрерывными. Результат называется топологической операдой . Точно так же при определении морфизма необходимо предположить, что задействованные отображения непрерывны.
Другие общие настройки для определения операд включают, например, модуль над кольцом , цепные комплексы , группоиды (или даже саму категорию категорий), коалгебры и т. Д.
Определение алгебраиста
По определению ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом R является моноидным объектом в моноидальной категориимодулей над R . Это определение может быть расширено, чтобы дать определение операды: а именно, операда над R является моноидным объектом.в моноидальной категории эндофункторов на(это монада ), удовлетворяющая некоторому условию конечности. [примечание 1]
Например, моноидный объект в категории полиномиальных функторов - это операда. [7] Точно так же симметричная операда может быть определена как моноидный объект в категории S {\ Displaystyle \ mathbb {S}} -объекты . [8] Моноидный объект в категории комбинаторных видов - это операда в конечных множествах.
Операда в указанном выше смысле иногда рассматривается как обобщенное кольцо . Например, Николай Дуров определяет свое обобщенное кольцо как моноидный объект в моноидальной категории эндофукторов, коммутирующий с фильтрованным копределом. [9] Это обобщение кольца, поскольку каждое обычное кольцо R определяет монадукоторый посылает множество X в свободной R - модуль р ( Икс ) {\ Displaystyle R ^ {(X)}} порожденный X .
Понимание аксиом
Аксиома ассоциативности
«Ассоциативность» означает, что композиция операций ассоциативна (функция ассоциативно), аналогично аксиоме теории категорий о том, что ; это не означает, что сами операции ассоциативны как операции. Сравните с ассоциативной операдой ниже.
Ассоциативность в теории операд означает, что выражения могут быть написаны с участием операций без двусмысленности из пропущенных композиций, так же как ассоциативность для операций позволяет писать продукты без двусмысленности из опущенных скобок.
Например, если это бинарная операция, которая записывается как или же . Чтобы может быть или не быть ассоциативным.
Тогда что обычно пишут Оперативно однозначно записывается как . Это отправляет к (применять на первых двух и тождество на третьем), а затем слева "умножается" от . Это становится яснее, когда изображено в виде дерева:
что дает 3-х стороннюю операцию:
Однако выражение является априори неоднозначно: оно может означать, если сначала исполняются внутренние композиции, или это может означать , если сначала выполняются внешние композиции (операции читаются справа налево). Письмо, это против . То есть в дереве отсутствуют «вертикальные скобки»:
Если первые две строки операций составляются первыми (ставит верхнюю круглую скобку в линия; сначала выполняет внутреннюю композицию), следующие результаты:
который затем однозначно вычисляется и дает 4-арную операцию. В виде аннотированного выражения:
Если две нижние строки операций составляются первыми (ставит нижнюю круглую скобку в линия; сначала делает внешнюю композицию), следующие результаты:
который затем однозначно вычисляется и дает 4-арную операцию:
Аксиома ассоциативности операд состоит в том, что они дают один и тот же результат , и поэтому выражение однозначно.
Аксиома идентичности
Аксиому тождества (для бинарной операции) можно представить в виде дерева как:
Это означает, что три полученные операции равны: до или после создания идентичности не имеет значения. Что касается категорий, является следствием аксиомы тождества.
Примеры
Операда эндоморфизма
Пусть V - конечномерное векторное пространство над полем k . Тогда операда эндоморфизма из V состоит из [10]
- = пространство линейных отображений ,
- (состав) ,
- (личность)
- (действие симметричной группы)
Если это еще одна операда, морфизм каждой операды называется алгеброй операд (заметьте, это аналогично тому факту, что каждая структура R -модуля на абелевой группе M представляет собой гомоморфизм колец.)
В зависимости от приложений возможны варианты вышеупомянутого: например, в алгебраической топологии вместо векторных пространств и тензорных произведений между ними используются (разумные) топологические пространства и декартовы произведения между ними.
Операды "Кое-что"
А маленькие диски операд или маленькие шарики операда или, более конкретно, маленькие п-диски операд является топологическим операд определены в терминах конфигураций непересекающегося п - мерных диски внутри блока п -дисков с центром в происхождении из R н . Операдическая композиция для маленьких двухдисков представлена на рисунке. [11] [ требуется пояснение ]
Первоначально операда из n-кубов или операда с небольшими интервалами (первоначально называемая маленькими n- кубами PROP ) была определена Майклом Бордманом и Райнером Фогтом аналогичным образом в терминах конфигураций непересекающихся выровненных по оси n -мерных гиперкубов (n- размерные интервалы ) внутри единичного гиперкуба . [12] Позже Май [13] обобщил это понятие на маленькие выпуклые тела , а «маленькие диски» - это случай «фольклора», происходящего от «маленьких выпуклых тел». [14]
Операда с сыром
Операда « швейцарский сыр» - это двухцветная топологическая операда, определенная в терминах конфигураций непересекающихся n -мерных дисков внутри единичного n- полудиска и n -мерных полудисков, центрированных в основании полудиска и находящихся внутри единичного полудиска. Операционная композиция происходит из склеивания конфигураций «маленьких» дисков внутри единичного диска с «маленькими» дисками в другом блочном полудиске и конфигураций «маленьких» дисков и полудисков внутри единичного полудиска на другом блочном полудиске.
Операда «Швейцарский сыр» была определена Александром А. Вороновым . [15] Он был использован Максимом Концевичем для формулировки «швейцарской» версии гипотезы Делиня о когомологиях Хохшильда. [16] Гипотеза Концевича была частично доказана По Ху , Игорем Кризом и Александром А. Вороновым [17], а затем полностью Джастином Томасом . [18]
Ассоциативная операда
Другой класс примеров операд - это те, которые захватывают структуры алгебраических структур, таких как ассоциативные алгебры, коммутативные алгебры и алгебры Ли. Каждый из них может быть представлен как конечно представленная операда, в каждой из этих трех, генерируемых двоичными операциями.
Таким образом, ассоциативная операда генерируется бинарной операцией при условии, что
Это условие действительно соответствует ассоциативности бинарной операции; письмо мультипликативно, вышеуказанное условие . Эту ассоциативность операции не следует путать с ассоциативностью композиции ; см. аксиому ассоциативности выше.
Эта операда является терминальной в категории несимметричных операд, поскольку в ней есть ровно одна n- мерная операция для каждого n, соответствующая однозначному произведению n терминов:. По этой причине теоретики категорий иногда записывают его как 1 (по аналогии с одноточечным множеством, которое является терминальным в категории множеств).
Терминальная симметричная операда
Терминальная симметрическая операда - это операда, алгебры которой являются коммутативными моноидами, которая также имеет одну n -арную операцию для каждого n , причем каждаядействуя банально; эта тривиальность соответствует коммутативности, и чья n -арная операция является однозначным произведением n -термов, где порядок не имеет значения:
для любой перестановки .
Операды из симметрической группы и группы кос
Есть операда, для которой каждый задается симметрической группой . Составной переставляет свои входы в блоки в соответствии с , а внутри блоков согласно соответствующему . Точно так же есть не- операда, для которой каждый дается группой кос Артина . Более того, это не- Операда имеет структуру плетеной операды, которая обобщает понятие операды от симметричных групп кос.
Линейная алгебра
В линейной алгебре векторные пространства можно рассматривать как алгебры над операдой(бесконечная прямая сумма , поэтому только конечное число членов не равны нулю; это соответствует только взятию конечных сумм), которая параметризует линейные комбинации : вектор например соответствует линейной комбинации
Точно так же аффинные комбинации , конические комбинации и выпуклые комбинации могут рассматриваться как соответствующие подоперадам, где сумма членов равна 1, все члены неотрицательны или и то, и другое, соответственно. Графически это бесконечная аффинная гиперплоскость, бесконечный гипероктант и бесконечный симплекс. Это формализует то, что подразумевается подили стандартный симплекс является модельным пространством, и такие наблюдения, как то, что каждый ограниченный выпуклый многогранник является образом симплекса. Здесь подоперации соответствуют более ограниченным операциям и, следовательно, более общим теориям.
Эта точка зрения формализует представление о том, что линейные комбинации являются наиболее общим видом операций в векторном пространстве: утверждение, что векторное пространство является алгеброй над операдой линейных комбинаций, является в точности утверждением, что все возможные алгебраические операции в векторном пространстве являются линейные комбинации. Базовые операции сложения векторов и скалярного умножения являются порождающим набором для операды всех линейных комбинаций, в то время как операда линейных комбинаций канонически кодирует все возможные операции в векторном пространстве.
Операда коммутативного кольца
Коммутативное кольцо операд является операдой которых алгебры коммутативных кольца (возможно над некоторым основным полем). Кош двойственно этого является операдом Ли и наоборот.
Конструкции
Типичные алгебраические конструкции (например, построение свободной алгебры) могут быть расширены до операд. Пусть C обозначает категорию модуля, используемую в определении операды; например, это может быть категория-модули для симметричных операд.
Бесплатная операда
Есть забывчивый функтор . Функтор свободной операдыопределяется как левый, сопряженный к функтору забывания (это обычное определение свободного функтора ). Подобно группе или кольцу, свободная конструкция позволяет выразить операду в терминах образующих и отношений. По свободному представлению операды, мы имеем в виду письмо как частное от свободной операды порожденный модулем E : тогда E является генератором и ядро это отношение.
Операда (симметричная) называется квадратичным, если оно имеет такое свободное представление, что является генератором, и соотношение содержится в . [19]
Операды в теории гомотопий
В Stasheff (2004) [ полная ссылка ] , Сташефф пишет:
- Операды особенно важны и полезны в категориях с хорошим понятием «гомотопия», где они играют ключевую роль в организации иерархий высших гомотопий.
Смотрите также
- PRO (теория категорий)
- Алгебра над операдой
- Операда высшего порядка
- E∞-операда
- Псевдоалгебра
- Мультикатегория
Заметки
- ^ "Конечность" относится к тому факту, что в определении операды допускается только конечное число входов. Например, условие выполняется, если можно написать
- ,
- .
Цитаты
- ^ Бордман, JM ; Фогт, RM (1 ноября 1968 г.). «$ H $ -пространства гомотопии всего» . Бюллетень Американского математического общества . 74 (6): 1117–1123. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1968-12070-1 . ISSN 0002-9904 .
- ^ Бордман, JM ; Фогт, RM (1973). Гомотопически инвариантные алгебраические структуры на топологических пространствах . Конспект лекций по математике. 347 . DOI : 10.1007 / bfb0068547 . ISBN 978-3-540-06479-4. ISSN 0075-8434 .
- ^ Мэй, JP (1972). Геометрия итерированных петлевых пространств . Конспект лекций по математике. 271 . CiteSeerX 10.1.1.146.3172 . DOI : 10.1007 / bfb0067491 . ISBN 978-3-540-05904-2. ISSN 0075-8434 .
- ^ Мэй, Дж. Питер . «Операды, алгебры и модули» (PDF) . math.uchicago.edu . п. 2 . Проверено 28 сентября 2018 года .
- ^ Гинзбург, Виктор ; Капранов, Михаил (1994). «Кошулевская двойственность для опер» . Математический журнал герцога . 76 (1): 203–272. DOI : 10.1215 / S0012-7094-94-07608-4 . ISSN 0012-7094 . Руководство по ремонту 1301191 . S2CID 115166937 . Zbl 0855.18006 - через Project Euclid .
- ^ Лодей, Жан-Луи (1996). "Возрождение оперы" . www.numdam.org . Séminaire Николя Бурбаки . Руководство по ремонту 1423619 . Zbl 0866.18007 . Проверено 27 сентября 2018 года .
- ^ а б Концевич, Максим; Сойбельман, Ян (26 января 2000 г.). «Деформации алгебр над операдами и гипотеза Делиня». arXiv : математика / 0001151 .
- ^ Джонс, JDS; Гетцлер, Эзра (8 марта 1994 г.). «Операды, гомотопическая алгебра и повторные интегралы для пространств двойных петель». arXiv : hep-th / 9403055 .
- ^ Н. Дуров, Новый подход к геометрии Аракелова, Боннский университет, докторская диссертация, 2007; arXiv: 0704.2030 .
- ^ Маркл, Мартин (2006). «Операды и ПРОПы». Справочник по алгебре . 5 (1): 87–140. DOI : 10.1016 / S1570-7954 (07) 05002-4 . ISBN 9780444531018. S2CID 3239126 .Пример 2
- ^ Джованни Джакетта, Луиджи Манджиаротти, Геннадий Сарданашвили (2005) Геометрические и алгебраические топологические методы в квантовой механике,ISBN 981-256-129-3 , стр. 474 475
- ^ Гринлис, JPC (2002). Аксиоматическая, обогащенная и мотивационная теория гомотопий . Труды Института перспективных исследований НАТО по теории аксиоматической, обогащенной и мотивационной гомотопии. Кембридж, Соединенное Королевство : Springer Science & Business Media. С. 154–156. ISBN 978-1-4020-1834-3.
- ^ Мэй, JP (1977). «Теория бесконечного пространства петель» . Бык. Амер. Математика. Soc . 83 (4): 456–494. DOI : 10,1090 / s0002-9904-1977-14318-8 .
- ^ Сташеф, Джим (1998). "Прививка вишневых деревьев Бордмана к квантовой теории поля". arXiv : math / 9803156 .
- ^ Воронов, Александр А. (1999). Операда со швейцарским сыром . Современная математика. Балтимор, Мэриленд, США : AMS. С. 365–373. ISBN 978-0-8218-7829-3.
- ^ Концевич, Максим (1999). «Операды и мотивы в квантовании деформации» . Lett. Математика. Phys . 48 : 35–72. arXiv : math / 9904055 . Bibcode : 1999math ...... 4055K . DOI : 10,1023 / A: 1007555725247 . S2CID 16838440 .
- ^ Ху, По; Криз, Игорь; Воронов, Александр А. (2006). "О гипотезе Концевича о когомологиях Хохшильда" . Compos. Математика . 142 (1): 143–168. DOI : 10.1112 / S0010437X05001521 .
- ^ Томас, Джастин (2016). «Гипотеза Концевича о швейцарском сыре» . Геом. Тополь . 20 (1): 1–48. arXiv : 1011.1635 . DOI : 10.2140 / gt.2016.20.1 . S2CID 119320246 .
- ^ Маркл, Мартин (2006). «Операды и ПРОПы». Справочник по алгебре . 5 : 87–140. DOI : 10.1016 / S1570-7954 (07) 05002-4 . ISBN 9780444531018. S2CID 3239126 . Определение 37
Рекомендации
- Том Ленстер (2004). Высшие операды, высшие категории . Издательство Кембриджского университета. arXiv : math / 0305049 . Bibcode : 2004hohc.book ..... L . ISBN 978-0-521-53215-0.
- Мартин Маркл, Стив Шнидер , Джим Сташефф (2002). Операды в алгебре, топологии и физике . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4362-8.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- Маркл, Мартин (июнь 2006 г.). «Операды и ПРОПы». arXiv : math / 0601129 .
- Сташев, Джим (июнь – июль 2004 г.). "Что такое ... операда?" (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 51 (6): 630–631 . Проверено 17 января 2008 года .
- Лодей, Жан-Луи ; Валлет, Бруно (2012), Алгебраические операды (PDF) , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 346 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-642-30361-6
- Zinbiel, Guillaume W. (2012), "Энциклопедия типов алгебр 2010", в Bai, Chengming; Го, Ли; Лодей, Жан-Луи (ред.), Операды и универсальная алгебра , Серия Нанкай в чистой, прикладной математике и теоретической физике, 9 , стр. 217–298, arXiv : 1101.0267 , Bibcode : 2011arXiv1101.0267Z , ISBN 9789814365116
- Фресс, Бенуа (17 мая 2017 г.), Гомотопия операд и групп Гротендика-Тейхмюллера , Математические обзоры и монографии, Американское математическое общество , ISBN 978-1-4704-3480-9, Руководство по ремонту 3643404 , Zbl 1373.55014
- Мигель А. Мендес (2015). Операды множества в комбинаторике и информатике . SpringerBriefs по математике. ISBN 978-3-319-11712-6 .
- Самуэле Жираудо (2018). Несимметричные операды в комбинаторике . Издательство Springer International. ISBN 978-3-030-02073-6 .
Внешние ссылки
- https://ncatlab.org/nlab/show/operad
- https://golem.ph.utexas.edu/category/2011/05/an_operadic_introduction_to_en.html