В математике , в частности в алгебраической топологии , дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии , классы Черна являются характеристическими классами, связанными с комплексными векторными расслоениями . С тех пор они нашли применение в физике , Калаби-Яу , струнные , теория Черна-Simons , теория узлов , Громова-Виттена , топологическая квантовая теория поля , то Черна теорема и т.д.
Классы Черна были введены Шиинг-Шеном Черном ( 1946 ).
Геометрический подход
Основная идея и мотивация
Классы Черна являются характеристическими классами . Это топологические инварианты, ассоциированные с векторными расслоениями на гладком многообразии. На вопрос, являются ли два якобы разных векторных расслоения одним и тем же, может быть довольно сложно ответить. Классы Черна обеспечивают простой тест: если классы Черна пары векторных расслоений не совпадают, то векторные расслоения различны. Обратное, однако, неверно.
В топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии часто важно подсчитать, сколько линейно независимых секций имеет векторное расслоение. Черна классы предлагают некоторую информацию об этом через, например, теорема Римана-Роха и теорема об индексе Атьи-Зингера .
Классы Черна тоже можно рассчитать на практике. В дифференциальной геометрии (и некоторых типах алгебраической геометрии) классы Черна могут быть выражены как полиномы от коэффициентов формы кривизны .
Строительство
Существуют различные способы подхода к предмету, каждый из которых фокусируется на несколько ином оттенке класса Черна.
Первоначальный подход к классам Черна был через алгебраическую топологию: классы Черна возникают с помощью теории гомотопий, которая обеспечивает отображение, связанное с векторным расслоением, в классифицирующее пространство (бесконечный грассманиан в данном случае). Для любого комплексного векторного расслоения V над многообразием M существует отображение f из M в классифицирующее пространство такое, что расслоение V равно обратному образу универсального расслоения над классифицирующим пространством по f , а классы Черна Следовательно, V можно определить как возврат классов Черна универсального расслоения. В свою очередь, эти универсальные классы Черна могут быть явно записаны в терминах циклов Шуберта .
Можно показать, что для любых двух отображений f , g из M в классифицирующее пространство, обратные образы которых являются одним и тем же расслоением V , отображения должны быть гомотопными. Следовательно, возврат любого универсального класса Черна с помощью f или g к классу когомологий M должен быть тем же классом. Это показывает, что классы Черна V корректно определены.
В подходе Черна использовалась дифференциальная геометрия с использованием подхода кривизны, описанного преимущественно в этой статье. Он показал, что предыдущее определение фактически эквивалентно его. Получившаяся теория известна как теория Черна – Вейля .
Существует также подход Александра Гротендика, показывающий, что аксиоматически нужно только определить случай линейного расслоения.
Классы Черна естественным образом возникают в алгебраической геометрии . Обобщенные классы Черна в алгебраической геометрии могут быть определены для векторных расслоений (точнее, локально свободных пучков ) над любым неособым многообразием. Алгебро-геометрические классы Черна не требуют, чтобы базовое поле имело какие-либо особые свойства. В частности, векторные расслоения не обязательно должны быть сложными.
Независимо от конкретной парадигмы, интуитивный смысл класса Черна касается «требуемых нулей» части векторного расслоения: например, теорема о том, что нельзя расчесывать волосатый шарик до упора ( теорема о волосатом шарике ). Хотя это, строго говоря, вопрос о реальном векторном расслоении («волосы» на шаре на самом деле являются копиями действительной прямой), существуют обобщения, в которых волосы являются сложными (см. Пример комплексной теоремы о волосатом шаре ниже) , или для одномерных проективных пространств над многими другими полями.
См. Теорию Черна – Саймонса для дальнейшего обсуждения.
Класс Черна линейных расслоений
(Пусть Х топологическое пространство , имеющее гомотопический тип из в комплексе CW ) .
Важный частный случай возникает, когда V - линейный пучок . Тогда единственный нетривиальный класс Черна является первым классом Черен, который является элементом второй группы когомологий X . Поскольку это верхний класс Черна, он равен классу Эйлера расслоения.
Первый класс Черна оказывается полным инвариантом, с помощью которого можно классифицировать комплексные линейные расслоения, говоря топологически. То есть существует биекция между классами изоморфизма линейных расслоений над X и элементами, который ставит в соответствие линейному расслоению его первый класс Черна. Более того, эта биекция является гомоморфизмом групп (таким образом, изоморфизмом):
тензорное произведение комплексных линейных расслоений соответствует добавлению во второй группе когомологий. [1] [2]
В алгебраической геометрии эта классификация (классов изоморфизма) комплексных линейных расслоений по первому классу Черна является грубым приближением к классификации (классов изоморфизма) голоморфных линейных расслоений по классам линейной эквивалентности дивизоров .
Для сложных векторных расслоений размерности больше единицы классы Черна не являются полным инвариантом.
Конструкции
Через теорию Черна – Вейля.
Учитывая сложный эрмитово векторное расслоение V из сложного ранга п над гладким многообразием М , представитель каждого класса Черна (также называется Черна форма )матрицы V задаются как коэффициенты характеристического полинома вида кривизны из V .
Определитель находится над кольцом матрицы, элементы являются полиномами т с коэффициентами в коммутативной алгебре даже сложных дифференциальных форм на М . Форма кривизны из V определяется как
с со в форме соединения и d на внешнюю производной , или с помощью того же выражения , в котором ω является калибровочной формой для калибровочной группы из V . Скаляр t используется здесь только как неопределенное значение для генерации суммы из определителя, а I обозначает единичную матрицу размера n × n .
Сказать, что данное выражение является представителем класса Черна, означает, что «класс» здесь означает с точностью до добавления точной дифференциальной формы . То есть классы Черна являются классами когомологий в смысле когомологий де Рама . Можно показать , что классы когомологий Черна формы не зависят от выбора соединения в V .
Используя матричное тождество и серии Маклорена для, это выражение для формы Черна расширяется как
Через класс Эйлера
Можно определить класс Черна в терминах класса Эйлера. Это подход, описанный в книге Милнора и Сташефа, и подчеркивает роль ориентации векторного расслоения .
Основное наблюдение состоит в том, что сложное векторное расслоение имеет каноническую ориентацию, в конечном счете потому, чтоподключен. Следовательно, можно просто определить верхний класс Черна расслоения как его класс Эйлера (класс Эйлера базового действительного векторного расслоения) и обрабатывать нижние классы Черна индуктивным образом.
Точная конструкция выглядит следующим образом. Идея состоит в том, чтобы изменить базу, чтобы получить связку ранга на единицу меньше. Позволятькомплексное векторное расслоение над паракомпактом B . Считая B вложенным в E как нулевую секцию, пусть и определите новое векторное расслоение:
таким образом, что каждое волокно представляет собой частное от деления волокна F из Е по прямой , натянутой на ненулевой вектор V в F (точка B ' задается волокна F из Е и вектора ненулевого на F .) [3] Тогдаимеет ранг один меньше , чем у Е . Из последовательности Гизина для пучка волокон:
Мы видим, что является изоморфизмом для . Позволять
Затем требуется некоторая работа, чтобы проверить, что аксиомы классов Черна удовлетворяют этому определению.
См. Также: Изоморфизм Тома .
Примеры
Комплексное касательное расслоение сферы Римана
Позволять - сфера Римана : одномерное комплексное проективное пространство . Предположим, что z - голоморфная локальная координата для сферы Римана. Позволять - расслоение комплексных касательных векторов вида в каждой точке, где а - комплексное число. Мы доказываем комплексную версию теоремы о волосатом шарике : V не имеет сечения, всюду ненулевого.
Для этого нам понадобится следующий факт: первый класс Черна тривиального расслоения равен нулю, т. Е.
Об этом свидетельствует тот факт, что тривиальное расслоение всегда допускает плоскую связность. Итак, покажем, что
Рассмотрим кэлерову метрику
Легко показать, что 2-форма кривизны задается формулой
Кроме того, по определению первого класса Черна
Мы должны показать, что этот класс когомологий отличен от нуля. Достаточно вычислить его интеграл по сфере Римана:
после перехода в полярные координаты . По теореме Стокса , точная форма будет интегрировать в 0, так что класс когомологий отличен от нуля.
Это доказывает, что не является тривиальным векторным расслоением.
Комплексное проективное пространство
Существует точная последовательность пучков / связок: [4]
где - структурный пучок (т. е. тривиальное линейное расслоение), - скручивающий пучок Серра (т. е. гиперплоское расслоение ), а последний ненулевой член - касательный пучок / расслоение.
Есть два способа получить указанную выше последовательность:
- [5] Пусть быть координатами позволять - каноническая проекция, и пусть . Тогда у нас есть:
Другими словами, котангенсный пучок , что является бесплатным -модуль с базой , укладывается в точную последовательность
- Пусть L - прямая вчто проходит через происхождение. Это элементарная геометрия, чтобы увидеть, что сложное касательное пространство кв точке L естественно есть множество линейных отображений из L в его дополнение. Таким образом, касательное расслоениеможно отождествить с расслоением hom
- .
По аддитивности общего класса Черна (т.е. формула суммы Уитни),
- ,
где a - канонический образующий группы когомологий; т. е. негатив первого класса Черна тавтологического линейного расслоения (Примечание: когда является двойником E. ) В частности, для любого,
Многочлен Черна
Многочлен Черна - это удобный способ систематической обработки классов Черна и связанных с ними понятий. По определению, для комплексного векторного расслоения Е , то Черна многочлен с т в Е определяется по формуле:
Это не новый инвариант: формальная переменная t просто отслеживает степень c k ( E ). [6] В частности,полностью определяется общим классом Черна из E : и наоборот.
Формула суммы Уитни, одна из аксиом классов Черна (см. Ниже), утверждает, что c t аддитивен в том смысле, что:
Сейчас если является прямой суммой (комплексных) линейных расслоений, то из формулы суммы следует, что:
где - первые классы Черна. Корни, Называются Черны корни из Е , определение коэффициентов полинома: т.е.
где σ k - элементарные симметричные полиномы . Другими словами, если рассматривать a i как формальные переменные, c k "равны" σ k . Основной факт о симметричных многочленах состоит в том, что любой симметричный многочлен, скажем, от t i является многочленом от элементарных симметричных многочленов от t i . Либо по принципу расщепления, либо по теории колец любой многочлен Чернаразлагается на линейные множители после увеличения кольца когомологий; E не обязательно должно быть прямой суммой линейных пучков в предыдущем обсуждении. Вывод такой
- «Можно вычислить любой симметричный многочлен f в комплексном векторном расслоении E , записав f как многочлен от σ k, а затем заменив σ k на c k ( E )».
Пример : у нас есть многочлены s k
с участием и так далее (см . тождества Ньютона ). Сумма
называется характером Черна E , первые несколько членов которого: (мы опускаем E из записи.)
Пример : класс Тодда для E задается следующим образом:
Замечание : наблюдение, что класс Черна по существу является элементарным симметрическим многочленом, может быть использовано для «определения» классов Черна. Пусть G п быть бесконечным грассманиан из п - мерные комплексные векторные пространства. Это классифицирующее пространство в том смысле, что для комплексного векторного расслоения E ранга n над X существует непрерывное отображение
уникален до гомотопии. Теорема Бореля утверждает, что кольцо когомологий G n - это в точности кольцо симметрических многочленов, которые являются многочленами от элементарных симметрических многочленов σ k ; Итак, откат f E гласит:
Затем кладут:
Замечание : Любой характеристический класс является многочленом от классов Черна по следующей причине. Позволять- контравариантный функтор, который сопоставляет CW-комплексу X множество классов изоморфизма комплексных векторных расслоений ранга n над X и, в случае отображения, его обратный образ. По определению характеристический класс - это естественное преобразование из к функтору когомологий Характеристические классы образуют кольцо из-за кольцевой структуры кольца когомологий. Лемма Йонеды утверждает, что это кольцо характеристических классов в точности является кольцом когомологий группы G n :
Формулы расчета
Пусть E - векторное расслоение ранга r и#Chern многочлен от него.
- Для двойного пакета из , . [7]
- Если L - линейное расслоение, то [8] [9]
- и другие находятся
- За корни Черна из , [10]
- В частности,
- Например, [11] для,
- когда ,
- когда ,
- (см. Segre class # Пример 2. )
Применение формул
Мы можем использовать эти абстрактные свойства для вычисления остальных классов черна линейных расслоений на . Напомним, что показывая . Затем, используя тензорные степени, мы можем связать их с классами Черна для любого целого числа.
Характеристики
Учитывая комплексное векторное расслоение Е над топологическим пространством X , то классы Черна Е представляют собой последовательность элементов когомологий из X . К -го Черна класса из Е , который обычно обозначается с K ( E ), является элементом
когомологии X с целыми коэффициентами. Можно также определить общий класс Черна
Поскольку значения находятся в целых группах когомологий, а не в когомологиях с действительными коэффициентами, эти классы Черна немного более тонкие, чем в римановом примере. [ требуется разъяснение ]
Классическое аксиоматическое определение
Классы Черна удовлетворяют следующим четырем аксиомам:
Аксиома 1. для всех Е .
Аксиома 2. Естественность: еслиявляется непрерывной и е * Е является векторным расслоением Откат из Е , то.
Аксиома 3. Формула суммы Уитни : Если- другое комплексное векторное расслоение, то классы Черна прямой суммы даны
это,
Аксиома 4. Нормализация: Полный класс Черна тавтологического линейного расслоения надпредставляет собой 1- Н , где Н является Пуанкар-дуальным к гиперплоскости .
Аксиоматический подход Гротендика
В качестве альтернативы Александр Гротендик ( 1958 ) заменил их немного меньшим набором аксиом:
- Естественность: (То же, что и выше)
- Аддитивность: если - точная последовательность векторных расслоений, то.
- Нормализация: если E - линейный пакет , то где является классом Эйлера лежащего в основе вещественного векторного расслоения.
Он показывает, используя теорему Лере – Хирша, что полный класс Черна произвольного комплексного векторного расслоения конечного ранга может быть определен в терминах первого класса Черна тавтологически определенного линейного расслоения.
А именно, вводя проективизацию комплексного векторного расслоения E → B ранга n как расслоение на B , слой которого в любой точке- проективное пространство слоя E b . Общий объем этого бандла снабжено своим тавтологическим комплексным линейным расслоением, которое мы обозначим , и первый класс Черна
ограничивает каждое волокно за вычетом (двойственного по Пуанкаре) класса гиперплоскости, охватывающей когомологии слоя, ввиду когомологий комплексных проективных пространств .
Классы
поэтому образуют семейство классов объемлющих когомологий, ограничиваясь базисом когомологий слоя. Теорема Лере – Хирша утверждает, что любой класс изможно записать однозначно как линейную комбинацию 1, a , a 2 , ..., a n −1 с классами на основе в качестве коэффициентов.
В частности, можно определить классы Черна E в смысле Гротендика, обозначенные расширяя таким образом класс , с соотношением:
Затем можно проверить, совпадает ли это альтернативное определение с любым другим определением, которое вы предпочитаете, или использовать предыдущую аксиоматическую характеристику.
Высший класс Черна
Фактически, эти свойства однозначно характеризуют классы Черна. Среди прочего они подразумевают:
- Если n - комплексный ранг V , тодля всех k > n . Таким образом, полный класс Черна завершается.
- Верхний класс Черна V (что означает, где n - ранг V ) всегда равен классу Эйлера лежащего в основе действительного векторного расслоения.
В алгебраической геометрии
Аксиоматическое описание
Существует еще одна конструкция классов Черна, которые принимают значения в алгеброгеометрическом аналоге кольца когомологий - кольце Чжоу . Можно показать, что существует уникальная теория классов Черна такая, что если вам дано алгебраическое векторное расслоение над квазипроективным многообразием существует последовательность классов такой, что
- Для обратимой связки (чтобы является дивизором Картье ),
- Дана точная последовательность векторных расслоений справедлива формула суммы Уитни:
- для
- Карта продолжается до кольцевого морфизма
Нормальная последовательность
Вычисление характеристических классов для проективного пространства образует основу для многих вычислений характеристических классов, поскольку для любого гладкого проективного подмногообразия есть короткая точная последовательность
Квинтик тройной
Например, рассмотрим неособую квинтику тройного многообразия в. Тогда нормальное расслоение задается формулой и у нас есть короткая точная последовательность
Позволять обозначим класс гиперплоскости в . Тогда формула суммы Уитни дает нам, что
Поскольку кольцо Чжоу гиперповерхности сложно вычислить, мы будем рассматривать эту последовательность как последовательность когерентных пучков в . Это дает нам
Используя теорему Гаусса-Бонне, мы можем интегрировать класс для вычисления характеристики Эйлера. Традиционно это называется классом Эйлера . Это
поскольку класс можно представить пятью точками (по теореме Безу ). Затем эйлерову характеристику можно использовать для вычисления чисел Бетти для когомологий используя определение эйлеровой характеристики и теорему Лефшеца о гиперплоскости.
Гиперповерхности степени d
Если это степень гладкой гиперповерхности, имеем короткую точную последовательность
давая отношение
мы можем затем вычислить это как
Даем общий класс черн. В частности, мы можем найти является спиновым 4-многообразием, если четно, поэтому каждая гладкая гиперповерхность степени является спиновым многообразием .
Приближенные представления
Персонаж Черна
Классы Черна можно использовать для построения гомоморфизма колец из топологической K-теории пространства в (пополнение) его рациональных когомологий. Для линейного расслоения L характер Черна ch определяется формулой
В более общем смысле, если является прямой суммой линейных расслоений с первыми классами Черна характер Черна определяется аддитивно
Это можно переписать так: [12]
Это последнее выражение, оправданно, вызывая принцип расщепления , берутся в качестве определения ч (V) для произвольных векторных расслоений V .
Если связность используется для определения классов Черна, когда база является многообразием (т. Е. Теория Черна – Вейля ), то явный вид характера Черна имеет вид
где Ω - кривизна связи.
Характер Черна полезен отчасти потому, что он облегчает вычисление класса Черна тензорного произведения. В частности, он подчиняется следующим тождествам:
Как было указано выше, с использованием аддитивности аксиомы Гротендик для классов Черны, то первое из этих тождеств можно обобщить на состояние , что ч является гомоморфизмом из абелевых групп из K-теория K ( X ) в рациональные когомологии X . Второе тождество устанавливает тот факт, что этот гомоморфизм также уважает произведения в K ( X ), и поэтому ch является гомоморфизмом колец.
Характер Черна используется в теореме Хирцебруха – Римана – Роха .
Числа Черна
Если мы работаем над ориентированным многообразием размерности, то любое произведение классов Черна полной степени (т.е. сумма индексов классов Черна в продукте должна быть ) можно объединить с классом ориентационных гомологий (или «проинтегрировать по многообразию»), чтобы получить целое число - число Черна векторного расслоения. Например, если многообразие имеет размерность 6, существуют три линейно независимых числа Черна, которые задаются формулой , а также . В общем случае, если многообразие имеет размерность, Число возможных независимых Черны числа является числом разделов в.
Числа Черна касательного расслоения комплексного (или почти комплексного) многообразия называются числами Черна многообразия и являются важными инвариантами.
Обобщенные теории когомологий
Имеется обобщение теории классов Черна, в котором обычные когомологии заменяются обобщенной теорией когомологий . Теории, для которых возможно такое обобщение, называются комплексно ориентируемыми . Формальные свойства классов Черна остаются теми же, с одним существенным отличием: правило, которое вычисляет первый класс Черна тензорного произведения линейных расслоений в терминах первых классов Черна факторов, является не (обычным) сложением, а скорее правилом. формальный групповой закон .
Алгебраическая геометрия
В алгебраической геометрии существует аналогичная теория классов Черна векторных расслоений. Есть несколько вариантов в зависимости от того, в какие группы входят классы Черна:
- Для сложных многообразий классы Черна могут принимать значения в обычных когомологиях, как указано выше.
- Для многообразий над общими полями классы Черна могут принимать значения в теориях когомологий, таких как этальные когомологии или l-адические когомологии .
- Для многообразий V над общими полями классы Черна также могут принимать значения в гомоморфизмах групп Чжоу CH (V): например, первый класс Черна линейного расслоения над многообразием V является гомоморфизмом из CH ( V ) в CH ( V). ), уменьшая степени на 1. Это соответствует тому факту, что группы Чжоу являются своего рода аналогом групп гомологий, а элементы групп когомологий можно рассматривать как гомоморфизмы групп гомологий, использующие cap-произведение .
Коллекторы со структурой
Теория классов Черна порождает инварианты кобордизмов почти комплексных многообразий .
Если M - почти комплексное многообразие, то его касательное расслоение является комплексным векторным расслоением. Таким образом, классы Черна множества M определяются как классы Черна его касательного расслоения. Если М также компактны и размерность 2 г , то каждый одночлен от общей степени 2 г в классах Черны может быть сопряжен с фундаментальным классом из М , что дает целое число, Черно число из М . Если М 'является еще почти комплексным многообразием той же размерности, то кобордантно M тогда и только тогда , когда Черно число M ' совпадают с М .
Теория также распространяется на вещественные симплектические векторные расслоения с помощью совместимых почти комплексных структур. В частности, симплектические многообразия имеют корректно определенный класс Черна.
Арифметические схемы и диофантовы уравнения
(См. Геометрию Аракелова )
Смотрите также
- Понтрягин класс
- Класс Штифеля – Уитни
- Класс Эйлера
- Сегре класс
- Исчисление Шуберта
- Квантовый эффект Холла
- Локализованный класс Черна
Заметки
- ^ Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг (1995). Дифференциальные формы в алгебраической топологии (Corr. 3. print. Ed.). Нью-Йорк [ua]: Спрингер. п. 267ff. ISBN 3-540-90613-4.
- ^ Хэтчер, Аллен . "Векторные расслоения и K-теория" (PDF) . Предложение 3.10.
- ^ От редакции: наши обозначения отличаются от обозначений Милнора-Сташефа, но кажутся более естественными.
- ^ Последовательность иногда называют последовательностью Эйлера .
- ^ Харстхорн , гл. II. Теорема 8.13.
- ^ В терминах теории колец существует изоморфизм градуированных колец:
- ^ Фултон , замечание 3.2.3. а)
- ^ Фултон , замечание 3.2.3. (б)
- ^ Фултон , Пример 3.2.2.
- ^ Фултон , замечание 3.2.3. (c)
- ^ Используйте, например, WolframAlpha, чтобы развернуть многочлен, а затем использовать факт являются элементарными симметричными многочленами от с.
- ^ (См. Также полином # Черна .) Заметим, что, когда V является суммой линейных расслоений, классы Черна V могут быть выражены как элементарные симметрические многочлены от, В частности, с одной стороны
Рекомендации
- Черн, Шиинг-Шен (1946), "Характеристические классы эрмитовых многообразий", Annals of Mathematics , Second Series, The Annals of Mathematics, Vol. 47, № 1, 47 (1): 85-121, DOI : 10,2307 / 1969037 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969037
- Гротендик, Александр (1958), "Теория классов Черна" , Бюллетень математического общества Франции , 86 : 137–154, doi : 10.24033 / bsmf.1501 , ISSN 0037-9484 , MR 0116023
- Йост, Юрген (2005), Риманова геометрия и геометрический анализ (4-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-25907-7 (Предоставляет очень краткий вводный обзор классов Черна).
- Мэй, Дж. Питер (1999), Краткий курс алгебраической топологии , University of Chicago Press, ISBN 9780226511832
- Милнор, Джон Уиллард ; Сташефф, Джеймс Д. (1974), Характерные классы , Анналы математических исследований, 76 , Princeton University Press; Университет Токио Пресс, ISBN 978-0-691-08122-9
- Рубей, Елена (2014), Алгебраическая геометрия, краткий словарь , Берлин / Бостон: Вальтер Де Грюйтер, ISBN 978-3-11-031622-3
Внешние ссылки
- Vector Bundles & K-Theory - загружаемая незавершенная книга Аллена Хэтчера . Содержит главу о характеристических классах.
- Дитер Кочик , Числа Черна алгебраических многообразий