Транспорт конструкции

В математике , особенно в универсальной алгебре и теории категорий , перенос структуры относится к процессу, посредством которого математический объект приобретает новую структуру и свои канонические определения в результате того, что он изоморфен другому объекту (или иным образом отождествляется с ним) с предварительным определением. существующая структура. ^[1]^[2] Определения, связанные с переносом структуры, считаются каноническими.

Поскольку математические структуры часто определяются со ссылкой на базовое пространство , многие примеры переноса структуры включают пространства и отображения между ними. Например, если и являются векторными пространствами с будучи скалярным произведением на , например , что существует изоморфизм от до , то можно определить скалярное произведение на по следующему правилу: ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle W}$ ${\ Displaystyle (\ cdot, \ cdot)}$ ${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle W}$ ${\ Displaystyle [\ cdot, \ cdot]}$ ${\ displaystyle V}$

{\ Displaystyle [v_ {1}, v_ {2}] = (\ phi (v_ {1}), \ phi (v_ {2}))}

Несмотря на то, что уравнение имеет смысл даже тогда , когда не изоморфизм, он определяет только скалярное произведение на , когда это, так как в противном случае это приведет к тому , чтобы быть вырожденным . Идея состоит в том, что можно рассматривать и как « одно и то же» векторное пространство, и, следуя этой аналогии, можно переносить внутренний продукт из одного пространства в другое. ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ Displaystyle [\ cdot, \ cdot]}$ ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle W}$

Более подробный пример из дифференциальной топологии , в которой понятие гладкого многообразия вовлекаются: если такое многообразие, и если любое топологическое пространство , которое гомеоморфно к , то можно рассматривать как гладкое многообразие , а также. То есть, учитывая гомеоморфизм , можно определить карты координат , "оттягивая назад" карты координат насквозь . Напомним, что координатная карта - это открытое множество вместе с инъективной картой. ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ phi \ двоеточие от X \ до M}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle U}$

{\ displaystyle c \ двоеточие U \ to \ mathbb {R} ^ {n}}

для некоторого натурального числа ; чтобы получить такую диаграмму , используются следующие правила: ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle X}$

{\ Displaystyle U '= \ phi ^ {- 1} (U)}

и .

{\ displaystyle c '= c \ circ \ phi}

Кроме того, требуется, чтобы карты покрывали (тот факт, что транспортируемые карты покрывают, сразу следует из того факта, что это взаимно однозначное соответствие ). Поскольку является гладким многообразием, если U и V с их отображениями и , являются двумя картами , то композиция, "карта перехода" ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle c \ двоеточие U \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle d \ двоеточие V \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle M}$

{\ displaystyle d \ circ c ^ {- 1} \ двоеточие c (U \ cap V) \ to \ mathbb {R} ^ {n}}

(собственная карта )

{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}

гладко. Чтобы проверить это для перенесенных карт , обратите внимание, что ${\ displaystyle X}$

{\ Displaystyle \ phi ^ {- 1} (U) \ cap \ phi ^ {- 1} (V) = \ phi ^ {- 1} (U \ cap V)}

,

и поэтому

c'(U'\cap V')=(c\circ \phi )(\phi ^{-1}(U\cap V))=c(U\cap V)

, а также

d'\circ (c')^{-1}=(d\circ \phi )\circ (c\circ \phi )^{-1}=d\circ (\phi \circ \phi ^{-1})\circ c^{-1}=d\circ c^{-1}

.

Таким образом, карта перехода для и такая же, как и для и , следовательно, сглаженная. То есть представляет собой гладкое многообразие посредством переноса структуры. Это частный случай транспортировки конструкций в целом. ^[3] $U'$ $V'$ $U$ $V$ $X$

Второй пример также показывает, почему «транспортировка конструкции» не всегда желательна. А именно, можно принять за плоскость, а за бесконечный односторонний конус. Путем «уплощения» конуса можно получить гомеоморфизм и , а следовательно, и структуру гладкого многообразия на , но конус «естественно» не является гладким многообразием. То есть, его можно рассматривать как подпространство 3-мерного пространства, в котором оно не является гладким в точке конуса. $M$ $X$ $X$ $M$ $X$ $X$

Более удивительный пример - экзотические сферы , открытые Милнором , который утверждает, что существует ровно 28 гладких многообразий, гомеоморфных (но по определению не диффеоморфных ) 7-мерной сфере в 8-пространстве. Таким образом, перенос структуры наиболее продуктивен, когда существует канонический изоморфизм между двумя объектами. $S^{7}$

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ "Окончательный словарь высшего математического жаргона" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 13 декабря 2019 .
^ Холм, Хенрик (2015). «Заметка о переносе алгебраических структур» (PDF) . Теория и приложения категорий . 30 (34): 1121–1131. arXiv : 1504.07366 .
^ Бурбаки, Николас (1968), Элементы математики: Теория множеств , Герман (оригинал), Аддисон-Уэсли (перевод), Глава IV, Раздел 5 «Изоморфизм и перенос структур».

[1] "Окончательный словарь высшего математического жаргона" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 13 декабря 2019 .

[2] Холм, Хенрик (2015). «Заметка о переносе алгебраических структур» (PDF) . Теория и приложения категорий . 30 (34): 1121–1131. arXiv : 1504.07366 .

[3] Бурбаки, Николас (1968), Элементы математики: Теория множеств , Герман (оригинал), Аддисон-Уэсли (перевод), Глава IV, Раздел 5 «Изоморфизм и перенос структур».

[1]