2 21 | Ректифицированный 2 21 | |
( 1 22 ) | Биректифицированный 2 21 ( выпрямленный 1 22 ) | |
ортогональные проекции в плоскости Кокстера E 6 |
---|
В 6-мерной геометрии , то 2 21 многогранник является однородным 6-многогранник , построенный в симметрии Е 6 группы. Это было обнаружено Торольдом Госсетом , опубликованным в его статье 1900 года. Он назвал это полурегулярной фигурой 6-го размера . [1] Его также называют многогранником Шлефли .
Его символ Кокстера - 2 21 , описывающий его раздваивающуюся диаграмму Кокстера-Дынкина с одним кольцом на конце одной из последовательностей с двумя узлами. Он также изучил [2] его связь с 27 прямыми на кубической поверхности , которые, естественно, соответствуют вершинам 2 21 .
Выпрямляются 2 21 построены по точкам в середине краях - 21 . Birectified 2 21 строится по точкам на треугольник лицевых центров - 21 , и является таким же , как выпрямленным 1 22 .
Эти многогранники являются частью семейства из 39 выпуклых однородных многогранников в 6-мерном пространстве , состоящих из граней однородных 5-многогранников и вершинных фигур , определенных всеми перестановками колец в этой диаграмме Кокстера-Дынкина :.
2_21 многогранник
2 21 многогранник | |
---|---|
Тип | Равномерный 6-многогранник |
Семья | k 21 многогранник |
Символ Шлефли | {3,3,3 2,1 } |
Символ Кокстера | 2 21 |
Диаграмма Кокстера-Дынкина | или же |
5 лиц | 99 всего: 27 2 11 72 {3 4 } |
4-гранный | 648: 432 {3 3 } 216 {3 3 } |
Клетки | 1080 {3,3} |
Лица | 720 {3} |
Края | 216 |
Вершины | 27 |
Фигура вершины | 1 21 ( 5-полукруглый ) |
Многоугольник Петри | Додекагон |
Группа Кокстера | E 6 , [3 2,2,1 ], заказ 51840 |
Характеристики | выпуклый |
У 2 21 27 вершин и 99 граней: 27 5-ортоплексов и 72 5-симплексов . Его вершина представляет собой 5-полукуб .
Для визуализации этот 6-мерный многогранник часто отображается в специальном наклонном ортогональном направлении проекции, которое соответствует его 27 вершинам внутри 12-угольного правильного многоугольника (называемого многоугольником Петри ). Его 216 ребер нарисованы между 2 кольцами по 12 вершин, а 3 вершины проецируются в центр. На этой проекции также можно извлекать и рисовать более высокие элементы (грани, ячейки и т. Д.).
Граф Шлефли является 1-скелетом этого многогранника.
Альтернативные имена
- EL Elte назвал его V 27 (из-за его 27 вершин) в своем списке полуправильных многогранников 1912 года. [3]
- Icosihepta-heptacontidi-peton - полипетон с гранями 27-72 (аббревиатура jak) (Джонатан Бауэрс) [4]
Координаты
27 вершин могут быть представлены в пространстве 8 как фигура-ребро многогранника 4 21 :
- (-2,0,0,0, -2,0,0,0), (0, -2,0,0, -2,0,0,0), (0,0, -2,0, -2,0,0,0), (0,0,0, -2, -2,0,0,0), (0,0,0,0, -2,0,0, -2), (0,0,0,0,0, -2, -2,0)
- (2,0,0,0, -2,0,0,0), (0,2,0,0, -2,0,0,0), (0,0,2,0, -2, 0,0,0), (0,0,0,2, -2,0,0,0), (0,0,0,0, -2,0,0,2)
- (-1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1), (-1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1), (-1, -1, 1, -1, -1, -1, -1, 1), (-1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, -1), (- 1, 1, -1, -1, -1, -1, -1, 1), (-1, 1, -1, 1, -1, -1, -1, -1), (-1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, -1), (1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 1) (1, -1, 1 , -1, -1, -1, -1, -1), (1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, -1) (1, 1, -1, -1 , -1, -1, -1, -1), (-1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, 1) (1, -1, 1, 1, -1, -1 , -1, 1) (1, 1, -1, 1, -1, -1, -1, 1) (1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, 1) (1 , 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1)
Строительство
Его конструкция основана на группе E 6 .
Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Дынкина ,.
Удаление узла на короткой ветви оставляет 5-симплекс ,.
Удаление узла на конце 2-длины ветви оставляет 5-ортоплекс в его альтернативной форме: ( 2 11 ),.
Каждая симплексная грань касается 5-ортоплексной грани, в то время как альтернативные грани ортоплекса касаются либо симплекса, либо другого ортоплекса.
Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого узла и звонят в соседнем узел. Это делает 5-полукуб (1 21 многогранник),. Ребро-фигура - это фигура вершины вершинной фигуры, выпрямленной 5-ячейки , (0 21 многогранник),.
В матрице конфигурации количество элементов может быть получено из групповых заказов Кокстера . [5]
E 6 | к-лицо | f k | f 0 | f 1 | ж 2 | ж 3 | ж 4 | ж 5 | k -фигура | заметки | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
D 5 | () | f 0 | 27 | 16 | 80 | 160 | 80 | 40 | 16 | 10 | ч {4,3,3,3} | E 6 / D 5 = 51840/1920 = 27 | |
А 4 А 1 | {} | f 1 | 2 | 216 | 10 | 30 | 20 | 10 | 5 | 5 | г {3,3,3} | E 6 / A 4 A 1 = 51840/120/2 = 216 | |
А 2 А 2 А 1 | {3} | ж 2 | 3 | 3 | 720 | 6 | 6 | 3 | 2 | 3 | {3} x {} | E 6 / A 2 A 2 A 1 = 51840/6/6/2 = 720 | |
А 3 А 1 | {3,3} | ж 3 | 4 | 6 | 4 | 1080 | 2 | 1 | 1 | 2 | {} v () | E 6 / A 3 A 1 = 51840/24/2 = 1080 | |
А 4 | {3,3,3} | ж 4 | 5 | 10 | 10 | 5 | 432 | * | 1 | 1 | {} | E 6 / A 4 = 51840/120 = 432 | |
А 4 А 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | * | 216 | 0 | 2 | E 6 / A 4 A 1 = 51840/120/2 = 216 | ||||
А 5 | {3,3,3,3} | ж 5 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 0 | 72 | * | () | E 6 / A 5 = 51840/720 = 72 | |
D 5 | {3,3,3,4} | 10 | 40 | 80 | 80 | 16 | 16 | * | 27 | E 6 / D 5 = 51840/1920 = 27 |
Изображений
Вершины в этой проекции раскрашены по своей кратности в прогрессивном порядке: красный, оранжевый, желтый. В скобках указано количество вершин по цвету.
E6 [12] | D5 [8] | D4 / A2 [6] | B6 [12/2] |
---|---|---|---|
(1,3) | (1,3) | (3,9) | (1,3) |
A5 [6] | A4 [5] | A3 / D3 [4] | |
(1,3) | (1,2) | (1,4,7) |
Геометрическое складывание
2 21 связан с 24-клеток с помощью геометрической складывания из Е6 / F4 диаграмм Кокстера-Дынкина . Это видно в проекциях на плоскость Кокстера . 24 вершины 24-ячейки проецируются в те же два кольца, что и в 2 21 .
E 6 | П 4 |
2 21 | 24-элементный |
Этот многогранник может Tessellate евклидово 6-пространства, образуя 2 22 сот с этой диаграммой Кокстера-Дынкин:.
Связанные сложные многогранники
Регулярный комплекс многоугольника 3 {3} 3 {3} 3 ,, в имеет вещественное представление в виде многогранника 2 21 ,, в 4-мерном пространстве. Его называют гессенским многогранником в честь Эдмунда Гесса . У него 27 вершин, 72 3-ребра и 27 3 {3} 3 грани. Его комплексная группа отражений является 3 [3] 3 [3] 3 , порядок 648.
Связанные многогранники
2 21 является четвертым в размерном ряду полуправильных многогранников . Каждый прогрессивный равномерный многогранник строится вершинной фигурой предыдущего многогранника. Торольд Госсет определил эту серию в 1900 году как содержащую все фасеты правильных многогранников , включая все симплексы и ортоплексы .
k 21 фигурка в n-мерном формате | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Космос | Конечный | Евклидово | Гиперболический | ||||||||
E n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
Группа Кокстера | Е 3 = А 2 А 1 | E 4 = A 4 | E 5 = D 5 | E 6 | E 7 | E 8 | E 9 == E 8 + | E 10 == E 8 ++ | |||
Диаграмма Кокстера | |||||||||||
Симметрия | [3 −1,2,1 ] | [3 0,2,1 ] | [3 1,2,1 ] | [3 2,2,1 ] | [3 3,2,1 ] | [3 4,2,1 ] | [3 5,2,1 ] | [3 6,2,1 ] | |||
Заказ | 12 | 120 | 1,920 | 51 840 | 2 903 040 | 696 729 600 | ∞ | ||||
График | - | - | |||||||||
Имя | −1 21 | 0 21 | 1 21 | 2 21 | 3 21 | 4 21 | 5 21 | 6 21 |
Многогранник 2 21 является четвертым в размерной серии 2 k2 .
2 k 1 фигур в n размерах | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Космос | Конечный | Евклидово | Гиперболический | ||||||||
п | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
Группа Кокстера | Е 3 = А 2 А 1 | E 4 = A 4 | E 5 = D 5 | E 6 | E 7 | E 8 | E 9 == E 8 + | E 10 == E 8 ++ | |||
Диаграмма Кокстера | |||||||||||
Симметрия | [3 −1,2,1 ] | [3 0,2,1 ] | [[3 1,2,1 ]] | [3 2,2,1 ] | [3 3,2,1 ] | [3 4,2,1 ] | [3 5,2,1 ] | [3 6,2,1 ] | |||
Заказ | 12 | 120 | 384 | 51 840 | 2 903 040 | 696 729 600 | ∞ | ||||
График | - | - | |||||||||
Имя | 2 −1,1 | 2 01 | 2 11 | 2 21 | 2 31 | 2 41 | 2 51 | 2 61 |
Многогранник 2 21 является вторым в размерной серии 2 2k .
Космос | Конечный | Евклидово | Гиперболический | ||
---|---|---|---|---|---|
п | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Группа Кокстера | А 2 А 2 | А 5 | E 6 | = E 6 + | E 6 ++ |
Диаграмма Кокстера | |||||
График | ∞ | ∞ | |||
Имя | 2 2, -1 | 2 20 | 2 21 | 2 22 | 2 23 |
Выпрямленный многогранник 2_21
Выпрямленный многогранник 2 21 | |
---|---|
Тип | Равномерный 6-многогранник |
Символ Шлефли | т 1 {3,3,3 2,1 } |
Символ Кокстера | т 1 (2 21 ) |
Диаграмма Кокстера-Дынкина | или же |
5 лиц | 126 всего: 72 т 1 {3 4 } |
4-гранный | 1350 |
Клетки | 4320 |
Лица | 5040 |
Края | 2160 |
Вершины | 216 |
Фигура вершины | выпрямленная 5-элементная призма |
Группа Кокстера | E 6 , [3 2,2,1 ], заказ 51840 |
Характеристики | выпуклый |
Выпрямляется 2 21 216 вершин, и 126 граней: 72 исправлены 5-симплексов , и 27 исправлены 5-orthoplexes и 27 5-demicubes . Его вершина представляет собой выпрямленную 5-элементную призму.
Альтернативные имена
- Ректифицированный икосигепта-гептаконтиди-петон в виде ректифицированного полипетона с 27-72 гранями (аббревиатура rojak) (Джонатан Бауэрс) [6]
Строительство
Его построение основано на группе E 6, и информацию можно извлечь из окольцованной диаграммы Кокстера-Дынкина, представляющей этот многогранник:.
Удаление кольца на короткой ветке оставляет выпрямленный 5-симплекс ,.
Удаление кольца на конце другой 2-длины ветви оставляет выпрямленный 5-ортоплекс в его альтернированной форме: t 1 (2 11 ) ,.
При удалении кольца на конце той же 2-длины ветки остается 5-полукуб : (1 21 ) ,.
Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого кольца и звона соседнего кольца. Это делает выпрямленную 5-элементную призму, t 1 {3,3,3} x {},.
Изображений
Вершины в этой проекции раскрашены по своей кратности в прогрессивном порядке: красный, оранжевый, желтый.
E6 [12] | D5 [8] | D4 / A2 [6] | B6 [12/2] |
---|---|---|---|
A5 [6] | A4 [5] | A3 / D3 [4] | |
Усеченный многогранник 2_21
Усеченный многогранник 2 21 | |
---|---|
Тип | Равномерный 6-многогранник |
Символ Шлефли | т {3,3,3 2,1 } |
Символ Кокстера | т (2 21 ) |
Диаграмма Кокстера-Дынкина | или же |
5 лиц | 72 + 27 + 27 |
4-гранный | 432 + 216 + 432 + 270 |
Клетки | 1080 + 2160 + 1080 |
Лица | 720 + 4320 |
Края | 216 + 2160 |
Вершины | 432 |
Фигура вершины | () vr {3,3,3} |
Группа Кокстера | E 6 , [3 2,2,1 ], заказ 51840 |
Характеристики | выпуклый |
Усечен 2 21 имеет 432 вершин, 5040 ребер, 4320 лица, 1350 клеток, и 126 4-граней. Его вершина представляет собой выпрямленную 5-элементную пирамиду.
Изображений
Вершины в этой проекции раскрашены по своему количеству в прогрессивном порядке: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый.
E6 [12] | D5 [8] | D4 / A2 [6] | B6 [12/2] |
---|---|---|---|
A5 [6] | A4 [5] | A3 / D3 [4] | |
Смотрите также
- Список многогранников E6
Заметки
- ↑ Госсет, 1900 г.
- ^ Косетер, HSM (1940). «Многогранник 2 21, двадцать семь вершин которого соответствуют линиям на общей кубической поверхности». Амер. J. Math . 62 (1): 457–486. DOI : 10.2307 / 2371466 . JSTOR 2371466 .
- ^ Elte, 1912
- ^ Клитцинг, (x3o3o3o3o * c3o - jak)
- ^ Коксетер, Правильные многогранники, 11,8 фигур Госсета в шести, семи и восьми измерениях, стр. 202-203
- ^ Клитцинг, (o3x3o3o3o * c3o - rojak)
Рекомендации
- Т. Госсет : О правильных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики, Macmillan, 1900
- Элте, EL (1912), Полурегулярные многогранники гиперпространств , Гронинген: Университет Гронингена
- Калейдоскопы: Избранные труды HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Paper 17) Coxeter , The Evolution of Coxeter-Dynkin diagrams , [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248] См. Рисунок 1: (стр. 232) (Узловой граф многогранника)
- Клитцинг, Ричард. «6D однородные многогранники (полипеты)» . x3o3o3o3o * c3o - jak, o3x3o3o3o * c3o - роджак
Семья | А п | B n | I 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Правильный многоугольник | Треугольник | Квадратный | п-угольник | Шестиугольник | Пентагон | |||||||
Равномерный многогранник | Тетраэдр | Октаэдр • Куб | Демикуб | Додекаэдр • Икосаэдр | ||||||||
Равномерный полихорон | 5-элементный | 16 ячеек • Тессеракт | Demitesseract | 24-элементный | 120 ячеек • 600 ячеек | |||||||
Равномерный 5-многогранник | 5-симплекс | 5-ортоплекс • 5-куб. | 5-полукуб | |||||||||
Равномерный 6-многогранник | 6-симплекс | 6-ортоплекс • 6-куб. | 6-полукуб | 1 22 • 2 21 | ||||||||
Равномерный 7-многогранник | 7-симплекс | 7-ортоплекс • 7-куб | 7-полукруглый | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Равномерный 8-многогранник | 8-симплекс | 8-ортоплекс • 8-куб. | 8-полукруглый | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
Равномерный 9-многогранник | 9-симплекс | 9-ортоплекс • 9-куб | 9-полукруглый | |||||||||
Равномерный 10-многогранник | 10-симплекс | 10-ортоплекс • 10-куб | 10-полукуб | |||||||||
Равномерное n - многогранник | n - симплекс | n - ортоплекс • n - куб | n - demicube | 1 к2 • 2 к1 • к 21 | n - пятиугольный многогранник | |||||||
Темы: Семейства многогранников • Регулярный многогранник • Список правильных многогранников и соединений |