| Усеченная четырехугольная мозаика | |
|---|---|
 Пуанкаре диск модель в гиперболической плоскости | |
| Тип | Гиперболическая равномерная мозаика |
| Конфигурация вершины | 4.8.16 |
| Символ Шлефли | tr {8,4} или |
| Символ Wythoff | 2 8 4 | |
| Диаграмма Кокстера |    или же   |
| Группа симметрии | [8,4], (* 842) |
| Двойной | Заказ-4-8 облицовка кисромбиллом |
| Характеристики | Вершинно-транзитивный |
В геометрии , то усеченная tetraoctagonal плиточный является полурегулярна плиточным гиперболической плоскостью. На каждой вершине есть один квадрат , один восьмиугольник и один шестиугольник . Он имеет символ Шлефли tr {8,4}.
Двойная мозаика [ править ]
 |  |
| Двойная мозаика называется мозаикой кисромбилля порядка 4-8 , сделанной как полное деление пополам восьмиугольной мозаики порядка 4 , здесь треугольники показаны чередующимися цветами. Эта мозаика представляет собой фундаментальные треугольные области симметрии [8,4] (* 842). | |
Симметрия [ править ]
Всего 15 подгрупп, построенных из [8,4] путем зеркального удаления и чередования. Зеркала могут быть удалены, если все заказы его филиалов равны, что сокращает заказы соседних филиалов вдвое. Удаление двух зеркал оставляет точку вращения половинного порядка, где встречаются снятые зеркала. На этих изображениях основные области попеременно окрашены в черный и белый цвета, а на границах между цветами существуют зеркала. Группа подгруппы индекса -8, [1 + , 8,1 + , 4,1 + ] (4242) является коммутаторной подгруппой группы [8,4].
Большая подгруппа строится как [8,4 *], индекс 8, как [8,4 + ], (4 * 4) с удаленными точками вращения, становится (* 4444) или (* 4 4 ), а другая [8 *, 4], индекс 16 как [8 + , 4], (8 * 2) с удаленными точками вращения как (* 22222222) или (* 2 8 ). И их прямые подгруппы [8,4 *] + , [8 *, 4] + , индексы подгрупп 16 и 32 соответственно, могут быть указаны в орбифолдной нотации как (4444) и (22222222).
| Подгруппы малых индексов [8,4] (* 842) | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Показатель | 1 | 2 | 4 | ||||||||
| Диаграмма |  |  |  |  |  |  | |||||
| Coxeter | [8,4]   знак равно    | [1 + , 8,4] знак равно    | [8,4,1 + ] знак равно   знак равно | [8,1 + , 4] знак равно    | [1 + , 8,4,1 + ] знак равно | [ 8+ , 4+ ]  | |||||
| Орбифолд | * 842 | * 444 | * 882 | * 4222 | * 4242 | 42 × | |||||
| Полупрямые подгруппы | |||||||||||
| Диаграмма | |||||||||||
| Coxeter | [8,4 + ] | [8 + , 4] | [(8,4,2 + )]  | [8,1 + , 4,1 + ] знак равно знак равно знак равно знак равно | [1 + , 8,1 + , 4] знак равно знак равно знак равно знак равно | ||||||
| Орбифолд | 4 * 4 | 8 * 2 | 2 * 42 | 2 * 44 | 4 * 22 | ||||||
| Прямые подгруппы | |||||||||||
| Показатель | 2 | 4 | 8 | ||||||||
| Диаграмма | |||||||||||
| Coxeter | [8,4] + знак равно | [8,4 + ] + знак равно | [8 + , 4] + знак равно | [8,1 + , 4] +  знак равно  | [8 + , 4 + ] + = [1 + , 8,1 + , 4,1 + ] знак равно знак равно знак равно | ||||||
| Орбифолд | 842 | 444 | 882 | 4222 | 4242 | ||||||
| Радикальные подгруппы | |||||||||||
| Показатель | 8 | 16 | 32 | ||||||||
| Диаграмма | |||||||||||
| Coxeter | [8,4 *]  знак равно  | [8 *, 4]  | [8,4 *] + знак равно | [8 *, 4] + | |||||||
| Орбифолд | * 4444 | * 22222222 | 4444 | 22222222 | |||||||
Связанные многогранники и мозаики [ править ]
Из конструкции Wythoff есть четырнадцать гиперболических однородных мозаик, которые могут быть основаны на правильном восьмиугольном мозаике порядка 4.
Рисуя плитки красного цвета на исходных гранях, желтого цвета в исходных вершинах и синего цвета вдоль исходных краев, мы получаем 7 форм с полной [8,4] симметрией и 7 с подсимметрией.
| Равномерная восьмиугольная / квадратная мозаика | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [8,4], (* 842) (с [8,8] (* 882), [(4,4,4)] (* 444), [∞, 4, ∞] (* 4222) подсимметриями индекса 2 ) (И [(∞, 4, ∞, 4)] (* 4242) подсимметрия индекса 4) | |||||||||||
знак равно   знак равно  знак равно | знак равно | знак равно знак равно знак равно | знак равно | знак равно  знак равно | знак равно | | |||||
| {8,4} | т {8,4} | г {8,4} | 2t {8,4} = t {4,8} | 2r {8,4} = {4,8} | рр {8,4} | tr {8,4} | |||||
| Униформа двойников | |||||||||||
 | | | | | | | |||||
| V8 4 | V4.16.16 | В (4,8) 2 | V8.8.8 | V4 8 | V4.4.4.8 | V4.8.16 | |||||
| Чередования | |||||||||||
| [1 + , 8,4] (* 444) | [8 + , 4] (8 * 2) | [8,1 + , 4] (* 4222) | [8,4 + ] (4 * 4) | [8,4,1 + ] (* 882) | [(8,4,2 + )] (2 * 42) | [8,4] + (842) | |||||
 знак равно  |  знак равно  | знак равно   | знак равно  | знак равно  | знак равно | | |||||
| ч {8,4} | с {8,4} | ч. {8,4} | с {4,8} | ч {4,8} | чрр {8,4} | sr {8,4} | |||||
| Двойное чередование | |||||||||||
 | | | | | | | |||||
| В (4,4) 4 | V3. (3.8) 2 | V (4.4.4) 2 | В (3,4) 3 | V8 8 | V4.4 4 | V3.3.4.3.8 | |||||
| * n 42 мутация симметрии полностью усеченных плиток : 4.8.2n | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия * n 42 [n, 4] | Сферический | Евклидово | Компактный гиперболический | Paracomp. | ||||
| * 242 [2,4] | * 342 [3,4] | * 442 [4,4] | * 542 [5,4] | * 642 [6,4] | * 742 [7,4] | * 842 [8,4] ... | * ∞42 [∞, 4] | |
| Омниусеченная фигура | 4.8.4 | 4.8.6 | 4.8.8 | 4.8.10 | 4.8.12 | 4.8.14 | 4.8.16 | 4.8.∞ |
| Омнитусеченные двойники | V4.8.4 | V4.8.6 | V4.8.8 | V4.8.10 | V4.8.12 | V4.8.14 | V4.8.16 | V4.8.∞ |
| * nn 2 мутации симметрии полностью усеченных мозаик: 4.2 n .2 n | ||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия * nn 2 [n, n] | Сферический | Евклидово | Компактный гиперболический | Paracomp. | ||||||||||
| * 222 [2,2] | * 332 [3,3] | * 442 [4,4] | * 552 [5,5] | * 662 [6,6] | * 772 [7,7] | * 882 [8,8] ... | * ∞∞2 [∞, ∞] | |||||||
| Фигура | ||||||||||||||
| Конфиг. | 4.4.4 | 4.6.6 | 4.8.8 | 4.10.10 | 4.12.12 | 4.14.14 | 4.16.16 | 4.∞.∞ | ||||||
| Двойной | ||||||||||||||
| Конфиг. | V4.4.4 | V4.6.6 | V4.8.8 | V4.10.10 | V4.12.12 | V4.14.14 | V4.16.16 | V4.∞.∞ | ||||||
См. Также [ править ]
 | Викискладе есть медиафайлы по теме равномерной мозаики 4-8-16 . |
- Замощения правильных многоугольников
- Список однородных плоских мозаик
Ссылки [ править ]
- Джон Х. Конвей , Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штрасс, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 19, Гиперболические архимедовы мозаики)
- «Глава 10: Обычные соты в гиперболическом пространстве». Красота геометрии: двенадцать очерков . Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678 .
Внешние ссылки [ править ]
- Вайсштейн, Эрик У. "Гиперболический замощение" . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболический диск Пуанкаре» . MathWorld .
- Галерея гиперболических и сферических плиток
- KaleidoTile 3: обучающая программа для создания сферических, плоских и гиперболических мозаик.
- Гиперболические плоские мозаики, Дон Хэтч
