Определяемое действительное число

Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами длины 1 и, следовательно, является конструктивным числом .

Неформально определимое действительное число — это действительное число , которое может быть однозначно определено его описанием. Описание может быть выражено в виде конструкции или формулы формального языка . Например, положительный квадратный корень из 2 может быть определен как единственное положительное решение уравнения и может быть построен с помощью циркуля и линейки. ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ Displaystyle х ^ {2} = 2}$

Различные варианты формального языка или его интерпретации порождают различные понятия определимости. Конкретные разновидности определимых чисел включают конструируемые числа геометрии, алгебраические числа и вычислимые числа . Поскольку формальные языки могут иметь только счетное количество формул, каждое понятие определимых чисел имеет самое большее счетное количество определимых действительных чисел. Однако, согласно диагональному аргументу Кантора , существует несчетное множество действительных чисел, поэтому почти каждое действительное число неопределимо.

Конструктивные числа

Один из способов указания действительного числа использует геометрические методы. Вещественное число является конструктивным числом, если существует метод построения отрезка длины с помощью циркуля и линейки, начиная с фиксированного отрезка длины 1. ${\ Displaystyle г}$ ${\ Displaystyle г}$

Каждое положительное целое число и каждое положительное рациональное число можно построить. Положительный квадратный корень из 2 можно построить. Однако кубический корень из 2 построить невозможно; это связано с невозможностью удвоения куба .

Вещественные алгебраические числа

Алгебраические числа на комплексной плоскости , окрашенные в степени (красный = 1, зеленый = 2, синий = 3, желтый = 4)

Вещественное число называется действительным алгебраическим числом , если существует многочлен только с целыми коэффициентами, так что это корень из , то есть . Каждое действительное алгебраическое число можно определить индивидуально, используя отношение порядка вещественных чисел. Например, если многочлен имеет 5 действительных корней, третий можно определить как единственный такой, что и такой, что существует два различных числа, меньше которых равен нулю. ${\ Displaystyle г}$ ${\ Displaystyle р (х)}$ ${\ Displaystyle г}$ ${\ Displaystyle р}$ ${\ Displaystyle р (г) = 0}$ $q(x)$ $r$ $q(r)=0$ $r$ $q$

Все рациональные числа алгебраичны, и все конструктивные числа алгебраичны. Есть числа, такие как кубический корень из 2, которые являются алгебраическими, но не поддаются построению.

Действительные алгебраические числа образуют подполе действительных чисел. Это означает, что 0 и 1 — алгебраические числа и, более того, если и — алгебраические числа, то таковыми являются , , и, если отличен от нуля, . $a$ $b$ $a+b$ $a-b$ $ab$ $b$ $a/b$

Действительные алгебраические числа также обладают свойством, выходящим за рамки того, что они являются подполем действительных чисел, что для каждого положительного целого числа и каждого действительного алгебраического числа все корни th , которые являются действительными числами, также являются алгебраическими. $n$ $a$ $n$ $a$

Существует только счетное количество алгебраических чисел, но существует несчетное количество действительных чисел, поэтому в смысле мощности большинство действительных чисел не являются алгебраическими. Это неконструктивное доказательство того , что не все действительные числа являются алгебраическими, было впервые опубликовано Георгом Кантором в его статье 1874 года « О свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел ».

Неалгебраические числа называются трансцендентными числами . Наиболее известными трансцендентными числами являются $π$ и $e$ .

Вычислимые действительные числа

Вещественное число является вычислимым числом, если существует алгоритм, который, учитывая натуральное число , производит десятичное расширение для числа с точностью до десятичных знаков. Это понятие было введено Аланом Тьюрингом в 1936 году. ^[1] $n$ $n$

Вычислимые числа включают алгебраические числа наряду со многими трансцендентными числами, включая и . Как и алгебраические числа, вычислимые числа также образуют подполе действительных чисел, а положительные вычислимые числа замкнуты относительно взятия корней th для каждого положительного . $\pi$ $e$ $n$ $n$

Не все действительные числа вычислимы. Конкретные примеры невычислимых действительных чисел включают пределы последовательностей Спекера и алгоритмически случайные действительные числа , такие как Ω-числа Чайтина .

Определимость в арифметике

Другое понятие определимости исходит из формальных теорий арифметики, таких как арифметика Пеано . В языке арифметики есть символы для 0, 1, последующей операции, сложения и умножения, которые должны интерпретироваться обычным образом для натуральных чисел . Поскольку никакие переменные этого языка не распространяются на действительные числа , для обращения к действительным числам требуется другой вид определяемости. Вещественное число определимо на языке арифметики (или арифметики ), если его сечение Дедекинда может быть определено как предикат на этом языке; то есть, если есть формула первого порядка $a$ $\varphi$ на языке арифметики, с тремя свободными переменными, так что

\forall m\,\forall n\,\forall p\left(\varphi (n,m,p)\iff {\frac {(-1)^{p}\cdot n}{m+1}}<a\right).

Здесь m , n и p варьируются в пределах неотрицательных целых чисел.

Язык арифметики второго порядка такой же, как и язык первого порядка, за исключением того, что переменные и квантификаторы могут варьироваться в пределах наборов натуральных чисел. Вещественное число, определимое на языке арифметики второго порядка, называется аналитическим .

Каждое вычислимое действительное число является арифметическим, а арифметические числа образуют подполе действительных чисел, как и аналитические числа. Каждое арифметическое число является аналитическим, но не каждое аналитическое число является арифметическим. Поскольку существует только счетное количество аналитических чисел, большинство действительных чисел не являются аналитическими и, следовательно, не являются арифметическими.

Каждое вычислимое число является арифметическим, но не каждое арифметическое число вычислимо. Например, предел последовательности Спекера — это невычислимое арифметическое число.

Определения арифметических и аналитических вещественных чисел можно разделить на арифметическую иерархию и аналитическую иерархию . В общем, вещественное число вычислимо тогда и только тогда, когда его сечение Дедекинда находится на уровне арифметической иерархии, одном из самых низких уровней. Точно так же вещественные числа с арифметическими разрезами Дедекинда образуют самый низкий уровень аналитической иерархии. $\Delta _{1}^{0}$

Определяемость в моделях ZFC

Вещественное число определяется в первом порядке на языке теории множеств без параметров , если существует формула на языке теории множеств с одной свободной переменной , такая, что это единственное действительное число, которое выполняется. ^[2] Это понятие не может быть выражено в виде формулы на языке теории множеств. $a$ $\varphi$ $a$ $\varphi (a)$

Все аналитические числа и, в частности, все вычислимые числа определимы на языке теории множеств. Таким образом, действительные числа, определяемые на языке теории множеств, включают в себя все известные действительные числа, такие как 0 , 1 , , , и так далее, а также все алгебраические числа. Если предположить, что они образуют множество в модели, действительные числа, определяемые на языке теории множеств над конкретной моделью ZFC , образуют поле. $\pi$ $e$

Каждая модель множества теории множеств ZFC, которая содержит несчетное количество действительных чисел, должна содержать действительные числа, которые не поддаются определению внутри (без параметров). Это следует из того, что формул только счетно, а значит, над можно определить только счетное число элементов из . Таким образом, если имеет несчетное количество действительных чисел, можно доказать «извне» , что не всякое действительное число определимо над . $M$ $M$ $M$ $M$ $M$ $M$ $M$ $M$

Этот аргумент становится более проблематичным, если он применяется к моделям классов ZFC, таким как вселенная фон Неймана . Утверждение «действительное число определимо над моделью классов » не может быть выражено формулой ZFC. ^[3]^[4] Точно так же вопрос о том, содержит ли вселенная фон Неймана действительные числа, которые она не может определить, не может быть выражен в виде предложения на языке ZFC. Более того, существуют счетные модели ZFC, в которых определимы все действительные числа, все множества действительных чисел, функции над вещественными числами и т. д. ^[3]^[4] $x$ $N$

Смотрите также

Парадокс Берри
Конструируемая вселенная
Entscheidungsproblem
Порядковый определяемый набор
Теорема Тарского о неопределимости

использованная литература

↑ Turing, AM (1937), «О вычислимых числах с приложением к проблеме Entscheidungs» , Proceedings of the London Mathematical Society , 2, 42 (1): 230–65, doi : 10.1112/plms/s2-42.1.230
^ Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: введение в доказательства независимости , Амстердам: Северная Голландия, с. 153, ISBN 978-0-444-85401-8
^ б Хэмкинс , Джоэл Дэвид ; Линецкий, Дэвид; Рейц, Йонас (2013), «Точечно определяемые модели теории множеств», Journal of Symbolic Logic , 78 (1): 139–156, arXiv : 1105.4597 , doi : 10.2178/jsl.7801090 , S2CID 43689192
^ a b Цирельсон, Борис (2020), «Может ли каждое число быть указано конечным текстом?», WikiJournal of Science , vol. 3, нет. 1, arXiv : 1909.11149 , doi : 10.15347/WJS/2020.008

[turing-1] Turing, AM (1937), «О вычислимых числах с приложением к проблеме Entscheidungs» , Proceedings of the London Mathematical Society , 2, 42 (1): 230–65, doi : 10.1112/plms/s2-42.1.230

[kunen-2] Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: введение в доказательства независимости , Амстердам: Северная Голландия, с. 153, ISBN 978-0-444-85401-8

[hlr-3] б Хэмкинс , Джоэл Дэвид ; Линецкий, Дэвид; Рейц, Йонас (2013), «Точечно определяемые модели теории множеств», Journal of Symbolic Logic , 78 (1): 139–156, arXiv : 1105.4597 , doi : 10.2178/jsl.7801090 , S2CID 43689192

[tsirelson-4] Цирельсон, Борис (2020), «Может ли каждое число быть указано конечным текстом?», WikiJournal of Science , vol. 3, нет. 1, arXiv : 1909.11149 , doi : 10.15347/WJS/2020.008

[1]

втеСистемы счисления
Счетные множества	Натуральные числа ( ) $\mathbb {N}$ Целые числа ( ) $\mathbb {Z}$ Рациональные числа ( ) $\mathbb {Q}$ Конструктивные числа Алгебраические числа ( ) $\mathbb {A}$ Периоды Вычислимые числа Арифметические числа Теоретически определимые числа Гауссовы целые числа
Композиционные алгебры	Алгебры с делением : действительные числа ( ) $\mathbb {R}$ Комплексные числа ( ) $\mathbb {C}$ Кватернионы ( ) $\mathbb {H}$ Октонионы ( ) $\mathbb {O}$
Типы разделения	Более : $\mathbb {R}$ Сплит-комплексные числа Сплит-кватернионы Сплит - октонионы $\mathbb {C}$ Бикомплексные числа Бикватернионы Биоктонионы
Другой гиперкомплекс	Двойные номера Двойные кватернионы Двойные комплексные числа Гиперболические кватернионы Седенионс ( ) $\mathbb {S}$ Сплит-бикватернионы Мультикомплексные числа Геометрическая алгебра Алгебра физического пространства Алгебра пространства-времени
Другие типы	Количественные числительные Расширенные натуральные числа Иррациональные числа Нечеткие числа Гиперреальные числа Поле Леви-Чивита Сюрреалистичные числа Трансцендентные числа Порядковые номера p -адические числа( p -адические соленоиды) Сверхъестественные числа Сверхреальные числа
Классификация Список