Вершинная модель

Вершинная модель представляет собой тип статистической механики модели , в которой вес Больцмана связан с вершиной в модели (представляющих собой атом или частицу). ^{[1] [2]} Это контрастирует с моделью ближайшего соседа, такой как модель Изинга , в которой энергия и, следовательно, вес Больцмана статистического микросостояния приписываются связям, соединяющим две соседние частицы. Таким образом, энергия, связанная с вершиной в решетке частиц, зависит от состояния связей, которые соединяют ее с соседними вершинами. Оказывается, каждое решение уравнения Янга – Бакстерасо спектральными параметрами в тензорном произведении векторных пространств дает точно решаемую вершинную модель.${\ displaystyle V \ otimes V}$

2-мерная вершинная модель

Хотя модель может быть применена к различной геометрии в любом количестве измерений, с любым количеством возможных состояний для данной связи, наиболее фундаментальные примеры встречаются для двумерных решеток, простейшим из которых является квадратная решетка, в которой каждая связь имеет два возможных состояния. В этой модели каждая частица связана с четырьмя другими частицами, и каждая из четырех связей, смежных с частицей, имеет два возможных состояния, обозначенных направлением стрелки на связи. В этой модели каждая вершина может принимать возможные конфигурации. Энергия для данной вершины может быть дана ,${\ displaystyle 2 ^ {4}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {ij} ^ {k \ ell}}$

Вершина в вершинной модели квадратной решетки

с состоянием решетки - это назначение состояния каждой связи, при этом полная энергия состояния является суммой энергий вершин. Поскольку энергия часто расходится для бесконечной решетки, модель изучается для конечной решетки, когда решетка приближается к бесконечному размеру. На модель могут быть наложены периодические граничные условия или граничные условия доменной стенки ^[3] .

Обсуждение

Для данного состояния решетки вес Больцмана может быть записан как произведение по вершинам весов Больцмана соответствующих состояний вершин

${\ displaystyle \ exp (- \ beta \ varepsilon ({\ mbox {state}})) = \ prod _ {\ mbox {vertices}} \ exp (- \ beta \ varepsilon _ {ij} ^ {k \ ell} )}$

где веса Больцмана для вершин записаны

${\ displaystyle R_ {ij} ^ {k \ ell} = \ exp (- \ beta \ varepsilon _ {ij} ^ {k \ ell})}$,

а значения i , j , k , l охватывают возможные состояния каждого из четырех ребер, прикрепленных к вершине. Состояния вершин смежных вершин должны удовлетворять условиям совместимости по соединяющим ребрам (связям), чтобы состояние было допустимым.

Вероятность того, системы , находясь в любом заданном состоянии в определенный момент времени, и , следовательно, свойства системы определяются функции распределения , для которых желательно аналитической форме.

${\ Displaystyle \ mathbb {Z} = \ сумма _ {\ mbox {состояния}} \ ехр (- \ бета \ varepsilon ({\ mbox {состояние}}))}$

где β = 1 / kT , T - температура, а k - постоянная Больцмана . Вероятность того, что система находится в любом заданном состоянии ( микросостоянии ), определяется выражением

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ ехр (- \ бета \ varepsilon ({\ mbox {состояние}}))} {\ mathbb {Z}}}}$

так что среднее значение энергии системы определяется выражением

${\displaystyle \langle \varepsilon \rangle ={\frac {\sum _{\mbox{states}}\varepsilon \exp(-\beta \varepsilon )}{\sum _{\mbox{states}}\exp(-\beta \varepsilon )}}=kT^{2}{\frac {\partial }{\partial T}}\ln \mathbb {Z} }$

Чтобы оценить статистическую сумму, сначала исследуйте состояния ряда вершин.

Ряд вершин в вершинной модели квадратной решетки

Внешние края - свободные переменные с суммированием по внутренним связям. Следовательно, сформируем статистическую сумму строки

${\displaystyle T_{i_{1}k_{1}\dots k_{N}}^{i'_{1}\ell _{1}\dots l_{N}}=\sum _{r_{1},\dots ,r_{N-1}}R_{i_{1}k_{1}}^{r_{1}\ell _{1}}R_{r_{1}k_{2}}^{r_{2}\ell _{2}}\cdots R_{r_{N-1}k_{N}}^{i'_{1}\ell _{N}}}$

Это можно переформулировать в терминах вспомогательного n -мерного векторного пространства V с базисом и как${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{n}\}}$${\displaystyle R\in End(V\otimes V)}$

${\displaystyle R(v_{i}\otimes v_{j})=\sum _{k,\ell }R_{ij}^{k\ell }v_{k}\otimes v_{\ell }}$

и как${\displaystyle T\in End(V\otimes V^{\otimes N})}$

${\displaystyle T(v_{i_{1}}\otimes v_{k_{1}}\otimes \cdots \otimes v_{k_{N}})=\sum _{i'_{1},\ell _{1},\dots \ell _{N}}T_{i_{1}k_{1}\dots k_{N}}^{i'_{1}\ell _{1}\dots \ell _{N}}v_{i'_{1}}\otimes v_{\ell _{1}}\otimes \cdots \otimes v_{\ell _{N}}}$

отсюда следует, что T можно записать как

${\displaystyle T=R_{01}R_{02}\cdots R_{0N}}$

где индексы указывают множители тензорного произведения, над которым работает R. Суммируя состояния связей в первой строке с периодическими граничными условиями , получаем${\displaystyle V\otimes V^{\otimes N}}$${\displaystyle i_{1}=i'_{1}}$

${\displaystyle (\operatorname {trace} _{V}(T))_{k_{1}\dots k_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}}$

где - матрица переноса строки.${\displaystyle \tau =\operatorname {trace} _{V}(T)}$

Два ряда вершин в вершинной модели квадратной решетки

Суммируя вклады по двум строкам, получаем

${\displaystyle (\operatorname {trace} _{V}(T))_{k_{1}\dots k_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}(\operatorname {trace} _{V}(T))_{j_{1}\dots j_{N}}^{k_{1}\dots k_{N}}}$

что при суммировании по вертикальным связям, соединяющим первые две строки, дает:${\displaystyle ((\operatorname {trace} _{V}(T))^{2})_{j_{1}\dots j_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}}$

для M строк это дает

${\displaystyle ((\operatorname {trace} _{V}(T))^{M})_{\ell '_{1}\dots \ell '_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}}$

а затем применяя периодические граничные условия к вертикальным столбцам, статистическая сумма может быть выражена через матрицу переноса как${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \mathbb {Z} =\operatorname {trace} _{V^{\otimes N}}(\tau ^{M})\sim \lambda _{max}^{M}}$

где находится самое большое собственное значение из . Приближение следует из того факта, что собственные значения являются собственными значениями в степени M , и, поскольку , степень наибольшего собственного значения становится намного больше, чем у других. Поскольку след представляет собой сумму собственных значений, проблема вычисления сводится к задаче нахождения максимального собственного значения . Само по себе это еще одна область исследования. Однако стандартный подход к проблеме поиска наибольшего собственного значения состоит в том, чтобы найти большое семейство операторов, которые коммутируют с . Это означает, что собственные подпространства${\displaystyle \lambda _{max}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau ^{M}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle M\rightarrow \infty }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$являются общими и ограничивают возможное пространство решений. Такое семейство коммутирующих операторов обычно находится с помощью уравнения Янга – Бакстера , которое, таким образом, связывает статистическую механику с изучением квантовых групп .

Интегрируемость

Определение : Вершинная модель интегрируема, если такая, что${\displaystyle \forall \mu ,\nu ,\exists \lambda }$

${\displaystyle R_{12}(\lambda )R_{13}(\mu )R_{23}(\nu )=R_{23}(\nu )R_{13}(\mu )R_{12}(\lambda )}$

Это параметризованная версия уравнения Янга – Бакстера, соответствующая возможной зависимости энергий вершин и, следовательно, весов Больцмана R от внешних параметров, таких как температура, внешние поля и т. Д.

Из условия интегрируемости следует следующее соотношение.

Утверждение : для интегрируемой вершинной модели с указанным выше и определенным, как указано выше, тогда${\displaystyle \lambda ,\mu }$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle R(\lambda )(1\otimes T(\mu ))(T(\nu )\otimes 1)=(T(\nu )\otimes 1)(1\otimes T(\mu ))R(\lambda )}$

а эндоморфизмами из , где действует на первых двух векторов тензора продукта.${\displaystyle V\otimes V\otimes V^{\otimes N}}$${\displaystyle R(\lambda )}$

Умножая обе части приведенного выше уравнения справа и используя циклическое свойство оператора следа, получаем следующее следствие.${\displaystyle R(\lambda )^{-1}}$

Следствие : для интегрируемой вершинной модели, для которой обратима , трансфер-матрица коммутирует с .${\displaystyle R(\lambda )}$${\displaystyle \forall \lambda }$${\displaystyle \tau (\mu )}$${\displaystyle \tau (\nu ),\ \forall \mu ,\nu }$

Это иллюстрирует роль уравнения Янга – Бакстера в решении решаемых решеточных моделей. Поскольку передаточные матрицы коммутируют для всех , собственные векторы являются общими и, следовательно, не зависят от параметризации. Это повторяющаяся тема, которая появляется во многих других типах статистических механических моделей для поиска этих коммутирующих матриц переноса.${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \lambda ,\nu }$${\displaystyle \tau }$

Из определения R, приведенного выше, следует, что для каждого решения уравнения Янга – Бакстера в тензорном произведении двух n- мерных векторных пространств существует соответствующая двумерная модель разрешимых вершин, в которой каждая из связей может находиться в возможных состояний , где R - эндоморфизм в пространстве, натянутом на . Это мотивирует классификацию всех конечномерных неприводимых представлений данной квантовой алгебры , чтобы найти соответствующие ей разрешимые модели.${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$${\displaystyle \{|a\rangle \otimes |b\rangle \},1\leq a,b\leq n}$

Известные модели вершин

• Шестивершинная модель
• Восьмивершинная модель
• 19-вершинная модель ( модель Изергина-Корепина) ^[4]

использованная литература