Факториал
В математике факториал неотрицательного целого числа , обозначаемый , является произведением всех положительных целых чисел , меньших или равных . Факториал также равен произведению на следующий меньший факториал:
Факториалы были обнаружены в нескольких древних культурах, особенно в индийской математике в канонических произведениях джайнской литературы и еврейскими мистиками в талмудической книге «Сефер Йецира ». Операция факториал встречается во многих областях математики, особенно в комбинаторике , где ее основное использование подсчитывает возможные различные последовательности – перестановки – различных объектов: существуют . В математическом анализе факториалы используются в степенных рядах для показательной функции и других функций, а также имеют приложения в алгебре , теории чисел , теории вероятностей и информатике .
Большая часть математики факториальной функции была разработана в конце 18 - начале 19 веков.Приближение Стирлинга обеспечивает точное приближение факториала больших чисел, показывая, что он растет быстрее, чем экспоненциальный рост . Формула Лежандра описывает показатели степени простых чисел при разложении факториалов на простые числа и может использоваться для подсчета конечных нулей факториалов. Даниэль Бернулли и Леонард Эйлер интерполировали факториальную функцию до непрерывной функции комплексных чисел , за исключением отрицательных целых чисел, (смещенной) гамма-функции .
Многие другие известные функции и числовые последовательности тесно связаны с факториалами, включая биномиальные коэффициенты , двойные факториалы , падающие факториалы , первоначальные числа и субфакториалы . Реализации функции факториала обычно используются в качестве примера различных стилей компьютерного программирования и включаются в научные калькуляторы и библиотеки программного обеспечения для научных вычислений. Хотя прямое вычисление больших факториалов с использованием формулы произведения или рекуррентного метода неэффективно, известны более быстрые алгоритмы, сопоставляющие с точностью до постоянного множителя время для быстрых алгоритмов умножения чисел с одинаковым количеством цифр.