Следовательно, он может предоставить сумму различных сходящихся бесконечных рядов , таких как Для ζ ( s ) с целочисленными аргументами существуют явные или эффективные с числовой точки зрения формулы , все из которых имеют действительные значения, включая этот пример. В этой статье перечислены эти формулы вместе с таблицами значений. Он также включает производные и некоторые ряды, состоящие из дзета-функции при целочисленных аргументах.
То же уравнение в s выше также выполняется, когда s - комплексное число , действительная часть которого больше единицы, что гарантирует сходимость бесконечной суммы. Затем дзета-функция может быть расширена на всю комплексную плоскость путем аналитического продолжения , за исключением простого полюса при s = 1 . Комплекс производная существует в этом более общем регионе, что делает Дзету - функции на мероморфную функцию . Вышеприведенное уравнение больше не применимо для этих расширенных значений s , для которых соответствующее суммирование расходится. Например, полная дзета-функция существует при s = −1 (и поэтому конечна там), но соответствующий ряд будет иметь видчьи частичные суммы будут расти бесконечно большой.
Значения дзета-функции, перечисленные ниже, включают значения функции при отрицательных четных числах ( s = -2 , -4 и т.д. ), для которых ζ ( s ) = 0 и которые составляют так называемые тривиальные нули . Дзета - функция Римана статья включает в себя цветовой график , иллюстрирующий , как функция изменяется в непрерывной прямоугольной области комплексной плоскости. Успешная характеристика его нетривиальных нулей в более широкой плоскости важна в теории чисел из-за гипотезы Римана .
Связь между дзета в положительных четных целых числах и числами Бернулли может быть записана как
где а также целые числа для всех, даже . Они задаются целочисленными последовательностями OEIS : A002432 и OEIS : A046988 , соответственно, в OEIS . Некоторые из этих значений воспроизводятся ниже:
коэффициенты
п
А
B
1
6
1
2
90
1
3
945
1
4
9450
1
5
93555
1
6
638512875
691
7
18243225
2
8
325641566250
3617
9
38979295480125
43867
10
1531329465290625
174611
11
13447856940643125
155366
12
201919571963756521875
236364091
13
11094481976030578125
1315862
14
564653660170076273671875
6785560294
15
5660878804669082674070015625
6892673020804
16
62490220571022341207266406250
7709321041217
17
12130454581433748587292890625
151628697551
Если мы позволим быть коэффициентом как указано выше,
то рекурсивно находим,
Это рекуррентное соотношение может быть получено из соотношения для чисел Бернулли .
Также есть еще одно повторение:
что можно доказать, используя
Значения дзета-функции при неотрицательных четных целых числах имеют производящую функцию :
Величина ζ (3) также известна как постоянная Апери и играет роль в гиромагнитном отношении электрона. Величина ζ (5) фигурирует в законе Планка . Эти и дополнительные значения:
Известно, что ζ (3) иррационально ( теорема Апери ) и что бесконечное множество чисел ζ (2 n + 1): n ∈ ℕ иррационально. [1] Есть также результаты об иррациональности значений дзета-функции Римана на элементах некоторых подмножеств положительных нечетных целых чисел; например, по крайней мере одно из ζ (5), ζ (7), ζ (9) или ζ (11) иррационально. [2]
Положительные нечетные целые числа дзета-функции появляются в физике, в частности, корреляционные функции антиферромагнитной цепочки спинов XXX . [3]
Большинство имен, указанных ниже, предоставлены Саймоном Плаффом . Они примечательны тем, что сходятся довольно быстро, давая почти трехзначную точность на итерацию, и, таким образом, полезны для высокоточных вычислений.
ζ (5)
Плафф дает следующие тождества
ζ (7)
Обратите внимание, что сумма представлена в виде ряда Ламберта .
ζ (2 п + 1)
Определив количества
ряд отношений можно представить в виде
где A n , B n , C n и D n - натуральные числа. Plouffe дает таблицу значений:
коэффициенты
п
А
B
C
D
3
180
7
360
0
5
1470
5
3024
84
7
56700
19
113400
0
9
18523890
625
37122624
74844
11
425675250
1453
851350500
0
13
257432175
89
514926720
62370
15
390769879500
13687
781539759000
0
17
1904417007743250
6758333
3808863131673600
29116187100
19
21438612514068750
7708537
42877225028137500
0
21 год
1881063815762259253125
68529640373
3762129424572110592000
1793047592085750
Эти целочисленные константы могут быть выражены в виде сумм по числам Бернулли, как указано в (Vepstas, 2006) ниже.
Быстрый алгоритм вычисления дзета-функции Римана для любого целочисленного аргумента предоставлен EA Karatsuba. [4] [5] [6]
Отрицательные целые числа
В общем, для отрицательных целых чисел (а также нуля) один имеет
Так называемые «тривиальные нули» встречаются у отрицательных четных чисел:
( Суммирование Рамануджана )
Первые несколько значений для отрицательных нечетных целых чисел:
Однако, как и числа Бернулли , они не остаются маленькими для все более отрицательных нечетных значений. Подробнее о первом значении см. 1 + 2 + 3 + 4 + · · · .
Таким образом, ζ ( m ) можно использовать как определение всех (в том числе для индексов 0 и 1) чисел Бернулли.
Производные
Производная дзета-функции при отрицательных четных целых числах определяется выражением
Первые несколько значений из которых
У одного также есть
где A - постоянная Глейшера – Кинкелина .
Из логарифмической производной функционального уравнения
Избранные производные
Значение
Десятичное разложение
Источник
−0,198 126 242 885 636 853 33 ...
OEIS : A244115
−0,937 548 254 315 843 753 70 ...
OEIS : A073002
−0,918 938 533 204 672 741 78 ...
OEIS : A075700
−0,360 854 339 599 947 607 34 ...
OEIS : A271854
−0,165 421 143 700 450 929 21 ...
OEIS : A084448
−0,030 448 457 058 393 270 780 ...
OEIS : A240966
+0,005 378 576 357 774 301 1444 ...
OEIS : A259068
+0,007 983 811 450 268 624 2806 ...
OEIS : A259069
−0,000 572 985 980 198 635 204 99 ...
OEIS : A259070
−0,005 899 759 143 515 937 4506 ...
OEIS : A259071
−0,000 728 642 680 159 240 652 46 ...
OEIS : A259072
+0,008 316 161 985 602 247 3595 ...
OEIS : A259073
Ряды с участием ζ ( n )
Следующие суммы могут быть получены из производящей функции:
где ψ 0 - дигамма-функция .
Ряды, связанные с константой Эйлера – Маскерони (обозначаемой γ ), являются
и используя главное значение
что, конечно, влияет только на значение 1, эти формулы можно записать как
и покажем, что они зависят от главного значения ζ (1) = γ .
Нетривиальные нули
Нули дзеты Римана, за исключением отрицательных четных целых чисел, называются «нетривиальными нулями». Смотрите их таблицы и библиографии на сайте Андрея Одлызко .
Соотношения
Хотя оценить конкретные значения дзета-функции сложно, часто можно найти определенные соотношения, вставив конкретные значения гамма-функции в функциональное уравнение.
У нас есть простые соотношения для полуцелых аргументов
Далее следуют другие примеры для более сложных вычислений и соотношений гамма-функции. Например, следствие отношения
соотношение дзета
где AGM - среднее арифметико-геометрическое . Подобным же образом можно формировать радикальные отношения, например, из
аналогичное дзета-соотношение
Рекомендации
^ Rivoal, Т. (2000). "La fonction zeta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs". Comptes Rendus де l'Академии наук, Série я . 331 : 267–270. arXiv : математика / 0008051 . Bibcode : 2000CRASM.331..267R . DOI : 10.1016 / S0764-4442 (00) 01624-4 .
Зудилин, Вадим (2001). «Одно из чисел ζ (5), ζ (7), ζ (9), ζ (11) иррационально». Российские математические обзоры . 56 : 774–776. Bibcode : 2001RuMaS..56..774Z . DOI : 10.1070 / RM2001v056n04ABEH000427 . Руководство по ремонту 1861452 . PDF PDF Русский PS Русский