Эллиптические функции Абеля

Графическое изображение эллиптической функции, где ее значения обозначены цветами. Они периодически повторяются в двух направлениях комплексной плоскости .

Эллиптические функции Абеля - это голоморфные функции одного комплексного переменного с двумя периодами . Они были впервые установлены Нильсом Хенриком Абелем и представляют собой обобщение тригонометрических функций . Поскольку они основаны на эллиптических интегралах , они были первыми примерами эллиптических функций . Вскоре после этого аналогичные функции были определены Карлом Густавом Якоби . Несмотря на то, что функции Абеля имеют ряд теоретических преимуществ, эллиптические функции Якобистали стандартом. Это может быть связано с тем фактом, что Авель умер всего через два года после того, как представил их, в то время как Якоби мог продолжать свое исследование их на протяжении всей своей жизни. Обе эллиптические функции Абеля и Якоби могут быть получены из более общей формулировки, которая позже была дана Карлом Вейерштрассом на основе их двойной периодичности.

История [ править ]

Первые эллиптические функции были обнаружены Карлом Фридрихом Гауссом около 1795 года в связи с его расчетом длины дуги лемнискаты , но впервые опубликованы после его смерти. ^[1] Это частные случаи общих эллиптических функций, которые впервые были исследованы Абелем в 1823 году, когда он был еще студентом. ^[2] Его отправной точкой были эллиптические интегралы, которые были подробно изучены Адрианом-Мари Лежандром . Через год после того, как Абель смог сообщить, что его новые функции имеют два периода . ^[3] Особенно это свойство делало их более интересными, чем обычныетригонометрические функции с одним периодом. В частности, это означало, что они должны были быть сложными функциями, которые в то время все еще находились в зачаточном состоянии.

В последующие годы Абель продолжал исследовать эти функции. Он также попытался обобщить их на функции с еще большим числом точек, но, похоже, не торопился публиковать свои результаты. Но в начале 1827 года он написал свою первую длинную презентацию своих открытий Recherches sur les fonctions elliptiques . ^[4] В конце того же года он узнал о Карле Густаве Якоби и его работах по новым преобразованиям эллиптических интегралов. Затем Абель заканчивает вторую часть своей статьи об эллиптических функциях и показывает в приложении, как легко могут следовать результаты преобразований Якоби. ^[5]Когда он затем видит следующую публикацию Якоби, в которой он использует эллиптические функции для доказательства своих результатов, не обращаясь к Абелю, норвежский математик оказывается в борьбе с Якоби за приоритет. Он заканчивает несколько новых статей по смежным вопросам, впервые встречаясь с ними, но умирает менее чем через год. Тем временем Якоби завершает свою великую работу Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum об эллиптических функциях, которая выходит в том же году, что и книга. В итоге он определил, какой будет стандартная форма эллиптических функций в последующие годы.

Свойства [ править ]

Во время своего кратковременного пребывания в Копенгагене в 1823 году под влиянием Карла Фердинанда Деген Абель начал работу над эллиптическими интегралами, которые ранее были исследованы и классифицированы Лежандром . Интеграл первого рода он написал на симметричной форме

${\ displaystyle u = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {dt} {\ sqrt {(1-c ^ {2} t ^ {2}) (1 + e ^ {2} t ^ { 2})}}}}$

где c и e   - произвольные параметры. Первоначально они будут считаться действительными числами, но со временем могут также принимать комплексные значения. ^[6] В частном случае с = 1 , и е = 0 интеграла дает длину дуги в виде окружности , а при с = е = 1 , что приводит к длине дуги лемнискаты . Таким образом, он мог установить контакт как с тригонометрическими функциями (круговыми функциями), так и с лемнискатическими функциями, на которые намекал Гаусс в своих Disquisitiones Arithmeticae..

Значение интеграла u является функцией верхнего предела x интеграла. Пока x <1 / c, это значение будет увеличиваться с увеличением x и достигать максимума.

${\ displaystyle {\ omega \ over 2} = \ int _ {0} ^ {1 / c} {\ frac {dt} {\ sqrt {(1-c ^ {2} t ^ {2}) (1+ e ^ {2} t ^ {2})}}}.}$

когда x = 1 / c . Пока что не было ничего нового в том, что еще не сделал Лежандр. Но гениальный ход Абеля заключался в том, что теперь он рассмотрел обратную функцию x = φ ( u ). Это хорошо определено в интервале 0 ≤ u ≤ ω / 2 с φ (0) = 0 . Поскольку определяющий интеграл является нечетной функцией верхнего предела, эта новая функция φ ( u ) также будет нечетной и, следовательно, определена на всем интервале - ω / 2 ≤ u ≤ ω / 2 со специальными значениями φ (± ω/ 2) = ± 1 / c .

Взяв производную по u с обеих сторон интеграла, можно найти производную dx / du = φ '  ( u ) . Это ведет к

${\displaystyle \varphi '(u)={\sqrt {(1-c^{2}\varphi ^{2}(u))(1+e^{2}\varphi ^{2}(u))}}}$

которая теперь является четной функцией φ '  ( u ) = φ'  (- u ) со значениями φ '  (± ω / 2) = 0  и φ'  (0) = 1.

Для двух квадратных корней, которые здесь появляются, Абель ввел новые функции

${\displaystyle f(u)={\sqrt {1-c^{2}\varphi ^{2}(u)}},\;\;\;F(u)={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(u)}}}$

которые тоже есть. Сверху находим f (0) = F (0) = 1 вместе с f (± ω / 2) = 0  и F (± ω / 2) = √ 1 + e ² / c ² . Если рассматривать φ ( u ) как обобщенную синусоидальную функцию , то эти две четные функции можно рассматривать как обобщенные косинусоидальные функции, которых сейчас две. Тогда в их терминах имеется производная от более компактной формы φ '  ( u ) = f ( u )F ( u ). Аналогично отсюда следует, что f '  ( u ) = - c ² φ ( u ) F ( u )  и F'  ( u ) = e ² φ ( u ) f ( u ).

Формулы сложения [ править ]

Эйлер и Лежандр показали, что эллиптические интегралы удовлетворяют различным теоремам сложения . Абель дал новый вывод этого для конкретного интеграла, который он рассмотрел и нашел

${\displaystyle \varphi (u_{1}+u_{2})={\varphi (u_{1})f(u_{2})F(u_{2})+\varphi (u_{2})f(u_{1})F(u_{1}) \over 1+c^{2}e^{2}\varphi ^{2}(u_{1})\varphi ^{2}(u_{2})}}$

Для двух других эллиптических функций он аналогичным образом получил

${\displaystyle {\begin{aligned}f(u_{1}+u_{2})&={f(u_{1})f(u_{2})-c^{2}\varphi (u_{1})\varphi (u_{2})F(u_{1})F(u_{2}) \over 1+c^{2}e^{2}\varphi ^{2}(u_{1})\varphi ^{2}(u_{2})}\\[5pt]F(u_{1}+u_{2})&={F(u_{1})F(u_{2})+e^{2}\varphi (u_{1})\varphi (u_{2})f(u_{1})f(u_{2}) \over 1+c^{2}e^{2}\varphi ^{2}(u_{1})\varphi ^{2}(u_{2})}\end{aligned}}}$

Используя их, он теперь мог расширить диапазон аргументов, по которым были определены функции. Например, положив в первой формуле u ₁ = ± ω / 2 , получим

${\displaystyle \varphi {\big (}u\pm {\omega \over 2}{\big )}=\pm {1 \over c}{f(u) \over F(u)}}$

и аналогично для двух других функций,

${\displaystyle f{\big (}u\pm {\omega \over 2}{\big )}=\mp {\sqrt {c^{2}+e^{2}}}{\varphi (u) \over F(u)},\;\;F{\big (}u\pm {\omega \over 2}{\big )}={{\sqrt {c^{2}+e^{2}}} \over c}{1 \over F(u)}}$

Таким образом, при u = ω / 2 φ ( ω ) = 0, так что функции будут определены во всем интервале - ω ≤ u ≤ ω . Повторяя это расширение еще на один шаг, находим φ ( u + ω ) = - φ ( u ) . Тогда эта функция будет периодической φ ( u + 2 ω ) = φ ( u ) с периодом 2 ω . Для двух четных функций аналогично получаем f ( u + ω ) = - f( u ) и F ( u + ω ) = F ( u ) . Таким образом, функция f ( u ) также имеет период 2 ω , тогда как F ( u ) имеет более короткий период ω .

Сложное расширение [ править ]

Абель мог также расширить свои новые функции на комплексную плоскость . Для этого он определил сопряженный интеграл

${\displaystyle v=\int _{0}^{y}{\frac {dt}{\sqrt {(1+c^{2}t^{2})(1-e^{2}t^{2})}}}}$

где параметры c - e поменяны местами. Верхний предел y снова может быть взят как функция от интегрального значения v . Это действительное число, которое постоянно увеличивается от нуля до максимального значения.

${\displaystyle {\omega ' \over 2}=\int _{0}^{1/e}{\frac {dt}{\sqrt {(1+c^{2}t^{2})(1-e^{2}t^{2})}}}}$

для y = 1 / e . Заменив переменную интегрирования с t на нее , Абель обнаружил, что iy = φ ( iv ) . Таким образом, эта эллиптическая функция может быть найдена для чисто мнимых значений аргумента. В частности, φ ( iω ' / 2) = i / e . Затем, используя теоремы сложения, можно вычислить функции для общего комплексного аргумента вида w = u + iv .

Для этого сложного расширения нужны также значения двух других эллиптических функций для мнимых аргументов. Находим f (± iω '  / 2) = √ 1 + c ² / e ² и F (± iω' / 2) = 0 . Отсюда следует, что

${\displaystyle \varphi {\big (}u\pm i{\omega ' \over 2}{\big )}=\pm {i \over e}{F(u) \over f(u)}}$

и аналогично для двух других функций,

${\displaystyle F{\big (}u\pm i{\omega ' \over 2}{\big )}=\pm i{\sqrt {c^{2}+e^{2}}}{\varphi (u) \over f(u)},\;\;f{\big (}u\pm i{\omega ' \over 2}{\big )}={{\sqrt {c^{2}+e^{2}}} \over e}{1 \over f(u)}}$

Поскольку f (± ω / 2) = 0, то три эллиптические функции расходятся в точках ω / 2 ± iω '  / 2 и других точках, связанных симметрией. Эти расхождения оказываются простыми полюсами , но эта часть комплексного анализа еще не была так развита во времена Авеля. ^[6]

Двойная периодичность [ править ]

Вышеуказанное комплексное расширение было определено для мнимых аргументов в интервале - ω '  / 2 ≤ v ≤ ω'  / 2 . Но с помощью формул сложения это может быть расширено до - ω '  ≤ v ≤ ω'  . Заменяя тогда u на u + iω '  / 2 в тех же формулах, получаем φ ( u + iω'  ) = - φ ( u ) . Следовательно, эта эллиптическая функция периодична также в мнимом направлении с периодом 2 iω ' . Кроме того, тогда еще есть

${\displaystyle \varphi (u+\omega \pm i\omega ')=\varphi (u)}$

так что эквивалентно можно сказать, что функция имеет два комплексных периода ω _1,2 = ω ± i  ω '  . Поскольку φ (0) = 0, функция также будет равна нулю во всех точках w = mω + inω ',  где m и n - целые числа. Эти нули, таким образом, образуют правильную решетку на комплексной плоскости, как и полюса.

Для двух других функций Абель нашел f ( u + iω '  ) = f ( u ) и F ( u + iω'  ) = - F ( u ) . Таким образом, функция f ( u ) имеет период iω '  в мнимом направлении, в то время как для F ( u ) он равен 2 iω'  . Их нули и полюсы снова образуют правильную решетку, отражающую их двойную периодичность. После смерти Гаусса было обнаружено, что он обнаружил соответствующую двойную периодичность в своей эллиптической функции лемнискаты . ^[1]

Эллиптические функции Якоби [ править ]

Из определяющих интегралов видно, что эллиптические функции Абеля могут быть выражены эллиптическими функциями Якоби для мнимых значений k = ie / c модуля. Точная связь между этими функциями может быть найдена путем изменения переменной интегрирования и равна

${\displaystyle \varphi (u;c,e)={1 \over c}\operatorname {sn} (cu,ie/c)}$

Для двух второстепенных функций это приводит к

${\displaystyle f(u;c,e)=\operatorname {cn} (cu,ie/c),\;\;F(u;c,e)=\operatorname {dn} (cu,ie/c)}$

После смерти Абеля в 1829 году Якоби продолжил исследования эллиптических функций. Со временем они превратились в числовые таблицы и в итоге превратились в стандартные эллиптические функции. ^[7] Используя их для мнимых значений модуля, можно также вычислить соответствующие эллиптические функции Абеля.

Ссылки [ править ]

Литература [ править ]

• Нильс Хенрик Абель, Recherhes сюр - ле - fonctions elliptiques , первый и второй части в Софус Ли и Людвиг Силова (ред.) Сборник работ , Осло (1881).
• Кристиан Хаузель, Работа Нильса Хенрика Абеля , в О. А. Лаудале и Р. Пиене, Наследие Нильса Хенрика Абеля - Двухсотлетие Абеля, Осло, 2002 , Springer Verlag, Берлин (2004). ISBN 3-540-43826-2 .