В математике , то Almgren-Pitts мин-макс теория (названный в честь Фредерика Дж Альмгрен, младший и его ученик Джон Т. Pitts ) является аналогом теории Морса для гиперповерхности .
Теория началась с попыток обобщить метод Джорджа Дэвида Биркгофа для построения простых замкнутых геодезических на сфере, чтобы можно было построить вложенные минимальные поверхности в произвольные трехмерные многообразия . [1]
Он сыграл роль в решениях ряда гипотез в геометрии и топологии, найденных самими Альмгреном и Питтсом, а также другими математиками, такими как Михаил Громов , Ричард Шон , Шинг-Тунг Яу , Фернандо Кода Маркес , Андре Невес , Ян Агол. , среди прочего. [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]
Описание и основные понятия
Теория допускает построение вложенных минимальных гиперповерхностей вариационными методами. [11]
В своей докторской диссертации Альмгрен доказал, что m-я гомотопическая группа пространства плоских k-мерных циклов на замкнутом римановом многообразии изоморфна (m + k) -мерной группе гомологий M. Этот результат является обобщением Dold-Thom теорема , которая может рассматриваться как к = 0 случай теоремы Альмгрен в. Существование нетривиальных гомотопических классов в пространстве циклов предполагает возможность построения минимальных подмногообразий как седловых точек функции объема, как в теории Морса . В своей последующей работе Альмгрен использовал эти идеи, чтобы доказать, что для любого k = 1, ..., n-1 замкнутое n-мерное риманово многообразие содержит стационарное целочисленное k-мерное вариобразие , обобщение минимального подмногообразия, которое может иметь особенности. Аллард показал, что такие обобщенные минимальные подмногообразия регулярны на открытом и плотном подмножестве.
В 1980-х ученик Альмгрена Джон Питтс смог значительно улучшить теорию регулярности минимальных подмногообразий, полученную Альмгреном в случае коразмерности 1. Он показал, что, когда размерность n многообразия находится между 3 и 6, минимальная гиперповерхность, полученная с помощью min -макс метод гладкий. Ключевой новой идеей доказательства было понятие 1 / j-почти минимизирующих варифолдов. Ричард Шон и Леон Саймон распространили этот результат на более высокие измерения. В частности, они показали, что каждое n-мерное риманово многообразие содержит замкнутую минимальную гиперповерхность, построенную с помощью метода min-max, гладкую от замкнутого множества размерности n-8.
Рассматривая семейства циклов коразмерности 1 со старшими параметрами, можно найти различные минимальные гиперповерхности. Такая конструкция была использована Фернандо Маркесом и Андре Невесом в их доказательстве гипотезы Уиллмора . [12] [13]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Тобиас Колдинг и Камилло Де Леллис : « Построение минимума-максимума минимальных поверхностей », Обзоры по дифференциальной геометрии
- ^ Джаквинта, Мариано; Муччи, Доменико (2006). «BV-энергия отображений в многообразие: результаты релаксации и плотности» . Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze, Sér. 5, 5. С. 483–548. Архивировано из оригинала на 2015-06-10 . Проверено 2 мая 2015 .
- ^ Helge Holden, Рагни Пиен - Абеля Prize 2008-2012, стр. 203.
- ^ Роберт Оссерман - Обзор минимальных поверхностей, стр. 160.
- ^ «Контент в Интернете - CDM 2013, статья 1» . Intlpress.com . Проверено 31 мая 2015 .
- ^ Фернандо К. Маркес; Андре Невес. "Приложения теории Мин-Макса Альмгрена-Питтса" (PDF) . F.imperial.ac.uk . Проверено 31 мая 2015 .
- ^ Даниэль Кетовер. «Вырождение минимально-максимальных последовательностей в трехмерных многообразиях». arXiv : 1312.2666 .
- ^ Синь Чжоу. "Мин-макс гиперповерхность в многообразии положительной кривизны Риччи" (PDF) . Arvix.org . Проверено 31 мая 2015 .
- ^ Стефан Сабурау. «Объем минимальных гиперповерхностей в многообразиях с неотрицательной кривизной Риччи» (PDF) . Arvix.org . Проверено 31 мая 2015 .
- ^ Дави Максимо; Ивальдо Нуньес; Грэм Смит. «Минимальные кольца со свободной границей в трехмерных выпуклых многообразиях». arXiv : 1312,5392 .
- ^ Чжоу Синь (2015). "Мин-макс минимальная гиперповерхность в ( M п + 1 , грамм ) {\ Displaystyle (М ^ {п + 1}, г)} с участием р я c ≥ 0 {\ Displaystyle Ric \ geq 0} а также 2 ≤ п ≤ 6 {\ Displaystyle 2 \ Leq п \ Leq 6} " . Дж Дифференциальный геом . 100 (1):. 129-160 DOI : 10,4310 / Jdg / 1427202766 .
- ^ https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2FBF02922665.pdf
- ^ Маркес, Фернандо и Невес, Андре. (2020). Применение методов Мин – Макс к геометрии. 10.1007 / 978-3-030-53725-8_2.
дальнейшее чтение
- Фредерик Дж. Альмгрен (1964). Теория варифолдов: вариационное исчисление в целом для K-мерного интегранта по площади . Институт перспективных исследований .
- Джон Т. Питтс (1981). Существование и регулярность минимальных поверхностей на римановых многообразиях . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-08290-5.
- Мемариан, Яшар (2013). «Заметка о геометрии римановых многообразий с положительной кривизной». arXiv : 1312.0792 [ math.MG ].
- Центр математических исследований, CRM Le Bulletin, Осень / Осень 2015 г. - Том 21, № 2, стр. 10–11. Иосиф Полтерович (Монреаль) и Алина Станку (Конкордия), «Лекции Ниренберга по геометрическому анализу 2015 г.: Min-Max Теория и геометрия, Андре Невес "