Площадь – это мера размера региона на поверхности . Площадь плоской области или плоская область относится к площади формы или плоской пластинки , а площадь поверхности относится к площади открытой поверхности или границе трехмерного объекта . Под площадью можно понимать количество материала заданной толщины, которое потребуется для изготовления модели определенной формы, или количество краски, необходимое для покрытия поверхности одним слоем. [ 1] Это двумерный аналог длины кривой ( одномерная концепция) или объема твердого тела (трехмерная концепция). Две разные области могут иметь одинаковую площадь (как при квадратуре круга ); в синекдохе слово «площадь» иногда используется для обозначения региона, например, « многоугольная область ».
Площадь фигуры можно измерить, сравнивая ее с квадратами фиксированного размера. [2] В Международной системе единиц (СИ) стандартной единицей площади является квадратный метр (записывается как м 2 ), который представляет собой площадь квадрата, сторона которого составляет один метр . [3] Фигура площадью три квадратных метра будет иметь такую же площадь, как три таких квадрата. В математике площадь единичного квадрата определяется как единица, а площадь любой другой формы или поверхности представляет собой безразмерное действительное число .
Существует несколько известных формул площадей простых фигур, таких как треугольники , прямоугольники и круги . Используя эти формулы, площадь любого многоугольника можно найти, разделив многоугольник на треугольники . [4] Для фигур с изогнутой границей обычно требуется расчет площади. Действительно, проблема определения площади плоских фигур была основным мотивом исторического развития исчисления . [5]
Для твердой формы, такой как сфера , конус или цилиндр, площадь ее граничной поверхности называется площадью поверхности . [1] [6] [7] Формулы для площадей поверхности простых форм были вычислены древними греками , но вычисление площади поверхности более сложной формы обычно требует многомерного исчисления .
Площадь играет важную роль в современной математике. Помимо своей очевидной важности в геометрии и исчислении, площадь связана с определением определителей в линейной алгебре и является основным свойством поверхностей в дифференциальной геометрии . [8] В анализе площадь подмножества плоскости определяется с использованием меры Лебега , [9] хотя не каждое подмножество измеримо, если предположить аксиому выбора. [10] В целом, площадь в высшей математике рассматривается как частный случай объема двумерных областей. [1]
Площадь можно определить с помощью аксиом, определяя ее как функцию набора определенных плоских фигур в набор действительных чисел. Можно доказать, что такая функция существует.