Бипирамида

Набор двойных однородных n -угольных бипирамид
Пример двойной однородной гексагональной бипирамиды
Тип	двойственно- однородный в смысле двойственно- полуправильный многогранник
Диаграмма Кокстера
Символ Шлефли	{} + { n } [1]
Лица	2 н конгруэнтны равнобедренные треугольники
Края	3 п
Вершины	2 + п
Конфигурация лица	V4.4. п
Группа симметрии	D n h , [ n , 2], (* n 22), порядок 4 n
Группа вращения	D n , [ n , 2] + , ( n 22), порядок 2 n
Двойной многогранник	(выпуклая) однородная n -угольная призма
Характеристики	выпуклые , гранно-транзитивные , правильные вершины [2]
Сеть	Пример пятиугольной бипирамидальной сети ( n = 5)

Бипирамида из соломок и резинок . (Добавляется дополнительная осевая соломка, которой нет в простом многограннике.)

(Симметричная) n -угольная бипирамида или дипирамида представляет собой многогранник, образованный путем соединения n -угольной пирамиды и ее зеркального отображения от основания к основанию. ^{[3] [4]} п -gonal бипирамида имеет 2 п треугольников граней, 3 п ребер и 2 + п вершин.

Упомянутый n -угольник в названии бипирамиды - это не грань, а внутреннее основание многоугольника, лежащее в плоскости зеркала, соединяющей две половины пирамиды. (Если бы это была грань, то каждое ее ребро соединяло бы три грани вместо двух.)

«Обычные», правые бипирамиды

«Регулярный» бипирамида имеет регулярный полигон базы. Обычно подразумевается, что это также правая бипирамида.

У правой бипирамиды две вершины расположены прямо над и прямо под центром или центроидом основания многоугольника.

«Правильная» правая (симметричная) n -угольная бипирамида имеет символ Шлефли {} + { n }.

Правая (симметричная) бипирамида имеет символ Шлефли {} + P для основания многоугольника P.

«Обычные» вправо (таким образом , лицом транзитивны ) п -gonal бипирамида с регулярными вершинами ^[2] является двойным из п -gonal равномерного (справа) , таким образом , призм , и имеет конгруэнтное равнобедренный треугольник лицо.

«Правильная» правая (симметричная) n -угольная бипирамида может быть спроецирована на сферу или глобус как «правильная» правая (симметричная) n -угольная сферическая бипирамида : n равноотстоящих линий долготы, идущих от полюса к полюсу, и экватора. линия, разделяющая их пополам .

«Правильные» правые (симметричные) n -угольные бипирамиды:

Название бипирамиды	Дигональная бипирамида	Треугольная бипирамида (см. J 12 )	Квадратная бипирамида (см .: O )	Пятиугольная бипирамида (см. J 13 )	Шестиугольная бипирамида	Гептагональная бипирамида	Восьмиугольная бипирамида	Эннеагональная бипирамида	Десятиугольная бипирамида	...	Апейрогональная бипирамида
Изображение многогранника										...
Сферическое мозаичное изображение										Плоское мозаичное изображение
Конфигурация лица.	V2.4.4	V3.4.4	V4.4.4	V5.4.4	V6.4.4	V7.4.4	V8.4.4	V9.4.4	V10.4.4	...	V∞.4.4
Диаграмма Кокстера										...

Бипирамиды равностороннего треугольника

Только три вида бипирамид могут иметь все ребра одинаковой длины (что означает, что все грани являются равносторонними треугольниками , и, таким образом, бипирамида является дельтаэдром ): «правильные» правые (симметричные) треугольные , тетрагональные и пятиугольные бипирамиды. Тетрагональная или квадратная бипирамида с ребрами одинаковой длины, или правильный октаэдр , считается платоновыми телами ; треугольные и пятиугольные бипирамиды с ребрами одинаковой длины учитываются среди тел Джонсона (J ₁₂ и J ₁₃ ).

Калейдоскопическая симметрия

«Стабильная» правый (симметричная) п -gonal бипирамида имеет двугранную симметрии группы D _{н ч} , 4 - го порядка п , за исключением того, в случае правильного октаэдра , который имеет большую октаэдрическую симметрию группы O _ч , порядка 48, который имеет три версии D _4h как подгруппы. Группа вращения - это D _n порядка 2 n , за исключением случая правильного октаэдра, который имеет большую группу вращения O порядка 24, который имеет три версии D _{4 в} качестве подгрупп.

В 4 п треугольник грань «регулярная» вправо (симметричная) 2 п -gonal бипирамиды, проецируемая как 4 п сферического треугольника граней «регулярная» вправо (симметричная) 2 п -gonal сферической бипирамиды, представляют собой основные домены двугранных симметрия в трех измерениях : D _{n h} , [ n , 2], (* n 22), порядок 4 n . Эти области можно отобразить в виде сферических треугольников с чередованием цветов:

• в плоскости отражения через коциклические ребра области зеркального отображения имеют разный цвет (непрямая изометрия);
• вокруг n- кратной оси вращения через противоположные вершины домен и его изображение одного цвета (прямая изометрия).

П -gonal (симметричная) бипирамида можно рассматривать как Kleetope в «соответствующем» п -gonal двугранного угла .

Объем

Объем (симметричной) бипирамиды:

${\ displaystyle V = {2 \ over 3} Bh ~,}$

где B - площадь основания, а h - высота от плоскости основания до вершины.

Это работает для любой формы основания и для любого местоположения вершины, при условии, что h измеряется как перпендикулярное расстояние от плоскости, которая содержит внутреннее основание многоугольника. Следовательно:

Объем (симметричной) бипирамиды, основанием которой является правильный n- сторонний многоугольник с длиной стороны s и высотой h :

${\ displaystyle V = {n \ over 6} hs ^ {2} \ cot {\ pi \ over n} ~.}$

Косые бипирамиды

Неправые бипирамиды называются косыми бипирамидами .

Вогнутые бипирамиды

Вогнутая бипирамида имеет вогнутую многоугольник базу.

Пример вогнутой (симметричной) тетрагональной бипирамиды (*)

(*) У его основания нет явного центроида ; если его вершины не находятся прямо выше / ниже центра тяжести его основания, это не правая бипирамида. Во всяком случае, это вогнутый октаэдр.

Асимметричные / перевернутые правые бипирамиды

Асимметричная правая бипирамида соединяет две правильные пирамиды с конгруэнтными основаниями , но неравных высот, база-основание.

Перевернутой правой бипирамида соединяет две правильные пирамиды с конгруэнтными основаниями , но неравных высот, база-базу, но с той же стороны их общей базы.

Двойное асимметричной или перевернутой правой бипирамида является усеченным .

«Правильная» асимметричная / перевернутая правая n -угольная бипирамида имеет группу симметрии C _{n v} порядка 2 n .

Бипирамиды скален-треугольник

« Изотоксальная » правая (симметричная) ди- n -угольная бипирамида - это правая (симметричная) 2 n -угольная бипирамида с изотоксальным плоским основанием многоугольника: ее 2 n вершин по сторонам копланарны, но чередуются по двум радиусам.

Пример дитетрагональной бипирамиды

«Изотоксальная» правая (симметричная) ди- n -угольная бипирамида имеет n двукратных осей вращения через вершины вокруг сторон, n плоскостей отражения через вершины и вершины, n- кратную ось вращения через вершины, плоскость отражения через основание и п -кратно вращения отражения оси , проходящей через верхушек, ^[4] , представляющий группу симметрии D _{н ч} , [ п , 2] (* 22 н ), 4 - го порядка п . (Отражение в базовой плоскости соответствует вращению-отражению 0 °. Если n четное, существует симметрия относительно центра, соответствующая повороту-отражению на 180 °.)

Все его грани представляют собой равномерные разносторонние треугольники , и он равногранный . Его можно рассматривать как еще один тип правильного «симметричного» ди- n -угольного скаленоэдра .

Примечание: не более двух значений высоты вершины треугольные грани могут быть равнобедренными. ^{[ необходима цитата ]}

Пример:

• «Изотоксальная» правая (симметричная) «дидигональная» (*) бипирамида с базовыми вершинами:

U (1; 0; 0), U '(- 1; 0; 0), V (0; 2; 0), V' (0; -2; 0),

и с вершинами:

А (0; 0; 1), А '(0; 0; -1),

имеет две разные длины кромки:

${\ displaystyle UV = VU '= U'V' = V'U = {\ sqrt {5}}}$,

${\ displaystyle AU = AU '= A'U = A'U' = {\ sqrt {2}}}$,

${\ displaystyle AV = AV '= A'V = A'V' = {\ sqrt {5}}}$;

таким образом, все его треугольные грани равнобедренные.

• «Изотоксальная» правая (симметричная) «дидигональная» (*) бипирамида с такими же базовыми вершинами, но с высотой вершины: 2, также имеет две разные длины ребер: , .${\ displaystyle {\ sqrt {5}}}$${\ displaystyle 2 {\ sqrt {2}}}$

В кристаллографии существуют «изотоксальные» правые (симметричные) «дидигональные» (*) (8-гранные), дитригональные (12-гранные), дитетрагональные (16-гранные) и дигексагональные (24-гранные) бипирамиды. ^{[4] [3]}

(*) Наименьшие геометрические ди- n -угольные бипирамиды имеют восемь граней и топологически идентичны правильному октаэдру . В данном случае (2 n  = 2 × 2):
«изотоксальная» правая (симметричная) «дидигональная» бипирамида называется ромбической бипирамидой , ^{[4] [3],} хотя все ее грани представляют собой разносторонние треугольники, потому что ее плоское основание многоугольника является ромб.

Пример ромбической бипирамиды

Скаленоэдры

«Обычный» правый «симметричное» ди - н -gonal scalenohedron могут быть сделаны с регулярным зиг-заг перекос 2 п -угольника основания, два симметричных Вершины прямо над и вправо ниже базового центра, и треугольник граней соединения каждого ребра основания к каждая вершина.

Он имеет две вершины и 2 n вершин по бокам, 4 n граней и 6 n ребер; она топологически идентична 2 n -угольной бипирамиде, но ее 2 n вершин по сторонам чередуются в два кольца выше и ниже центра. ^[3]

«Обычный» правый «симметричный» ди - н -gonal scalenohedron имеет п двукратный оси вращения до середины краев вокруг сторон, п плоскость отражения через вершину и верхушки, с п - кратное оси вращения через верхушки, а п - кратно ось вращения-отражения через вершины ^[4], представляющая группу симметрии D _{n v} = D _{n d} , [2 ⁺ , 2 n ], (2 * n ) порядка 4 n . (Если n нечетное, существует симметрия относительно центра, соответствующая повороту-отражению на 180 °.)

Все его грани представляют собой равномерные разносторонние треугольники , и он равногранный . Ее можно рассматривать как другой тип правильной «симметричной» 2 n -угольной бипирамиды с правильным зигзагообразным основанием косого многоугольника.

Примечание. Не более двух значений высоты вершины треугольные грани могут быть равнобедренными .

Пример дитригонального скаленоэдра

В кристаллографии существуют «правильные» правильные «симметричные» «дидигональные» (8-гранные) и дитригональные (12-гранные) скаленоэдры. ^{[4] [3]}

Наименьшие геометрические скаленоэдры имеют восемь граней и топологически идентичны правильному октаэдру . В этом случае (2 n  = 2 × 2):
«правильный» правый «симметричный» «дидигональный» скаленоэдр называется тетрагональным скаленоэдром ; ^{[4] [3]} его шесть вершин могут быть представлены как (0,0, ± 1), (± 1,0, z ), (0, ± 1, - z ), где z - параметр от 0 до 1. ;
при z  = 0 это правильный октаэдр; при z  = 1 это дисфеноид со всеми объединенными копланарными гранями (четыре равнобедренных равнобедренных треугольника); при z  > 1 он становится вогнутым.

Примеры дифеноидов и 8-гранного скаленоэдра

Примечание. Если основание 2 n -угольников одновременно является изотоксальным внутрь-наружу и зигзагообразно скошенным, то не все треугольные грани «изотоксального» правого «симметричного» тела конгруэнтны.

Пример: твердое тело с изотоксальным зигзагообразным перекосом 2 × 2-угольника в базовых вершинах:
U (1; 0; 1), U '(- 1; 0; 1), V (0; 2; -1) , V '(0; -2; -1),
и с "правыми" симметричными вершинами:
A (0; 0; 3), A' (0; 0; -3),
имеет пять различных длин ребер:

${\ Displaystyle UV = VU '= U'V' = V'U = 3}$,

${\ displaystyle AU = AU '= {\ sqrt {5}}}$,

${\ displaystyle AV = AV '= 2 {\ sqrt {5}}}$,

${\ displaystyle A'U = A'U '= {\ sqrt {17}}}$,

${\ displaystyle A'V = A'V '= 2 {\ sqrt {2}}}$;

таким образом, не все его треугольные грани совпадают.

«Обычные» звездные бипирамиды

Самопересекающаяся или звездная бипирамида имеет основание звездообразного многоугольника .

«Стабильная» правая симметрия звезды бипирамида может быть сделана с регулярной звездой полигоном базой, два симметричной Вершина правой выше и правой ниже базовым центра, и , таким образом , один-к-одному симметричный треугольника граней соединения каждого ребра основания к каждой вершине.

"Правильная" правосимметричная звездная бипирамида имеет конгруэнтные равнобедренные треугольные грани и изоэдральна .

Примечание: не более одной конкретной высоты вершины треугольные грани могут быть равносторонними.

{ P / q } -бипирамида имеет диаграмму Кокстера .

Пример "правильной" правосимметричной звездной бипирамиды:

Основание звездообразного многоугольника	5/2 -угольник	7/2-угольник	7/3-угольник	8/3-угольник	9/2-угольник	9/4-угольник
Изображение звезды бипирамиды
Диаграмма Кокстера

Пример "правильной" правосимметричной звездной бипирамиды:

Основание звездообразного многоугольника	10/3-угольник	11/2-угольник	11/3-угольник	11/4-угольник	11/5-угольник	12/5-угольник
Изображение звезды бипирамиды
Диаграмма Кокстера

Бипирамиды звезды треугольника скален

«Isotoxal» правая симметрия 2 р / д -gonal звезды бипирамида может быть сделана с isotoxal в-вне звезда 2 р / д -угольника основания, два симметричной Вершины прямо над и вправо ниже базовым центром, и , таким образом взаимно один симметричный треугольник, соединяющий каждую кромку основания с каждой вершиной.

"Изотоксальная" право-симметричная 2 p / q -угольная звездная бипирамида имеет конгруэнтные разносторонние треугольные грани и является изоэдральной . Его можно рассматривать как еще один тип 2 p / q -угольного правого «симметричного» звездообразного скаленоэдра .

Примечание. Не более двух значений высоты вершины треугольные грани могут быть равнобедренными.

Звездные скаленоэдры

«Обычная» правый «симметричная» 2 р / д -gonal звезды scalenohedron может быть сделана с регулярным зигзагообразным перекосом звезда 2 р / д -угольника основания, два симметричных Вершины вправо выше и вправо ниже базовым центра и грани треугольника соединяя каждый край основания с каждой вершиной.

«Правильный» правый «симметричный» 2 p / q -гональный звездчатый скаленоэдр имеет конгруэнтные разносторонние треугольные грани и является равногранным . Ее можно рассматривать как еще один тип правильной «симметричной» бипирамиды 2 p / q -угольной звезды с правильным зигзагообразным основанием многоугольника косой звезды.

Примечание: не более двух значений высоты вершины треугольные грани могут быть равнобедренными .

Примечание: если основание 2 p / q -угольника звезды является изотоксальным внутрь-наружу и зигзагообразно скошенным, то не все треугольные грани «изотоксального» правого «симметричного» звездного многогранника конгруэнтны.

С базовыми вершинами:
U ₀ (1; 0; 1), U ₁ (0; 1; 1), U ₂ (-1; 0; 1), U ₃ (0; -1; 1),
V ₀ (2 ; 2; -1), V ₁ (-2; 2; -1), V ₂ (-2; -2; -1), V ₃ (2; -2; -1)
и с вершинами:
A ( 0; 0; 3), A '(0; 0; -3),
у него четыре разных длины ребра:

${\displaystyle U_{0}V_{1}=V_{1}U_{3}=U_{3}V_{0}=V_{0}U_{2}=U_{2}V_{3}=V_{3}U_{1}=U_{1}V_{2}=V_{2}U_{0}={\sqrt {17}}}$,

${\displaystyle AU_{0}=AU_{1}=AU_{2}=AU_{3}={\sqrt {5}}}$,

${\displaystyle AV_{0}=AV_{1}=AV_{2}=AV_{3}=2{\sqrt {6}}}$,

${\displaystyle A'U_{0}=A'U_{1}=A'U_{2}=A'U_{3}={\sqrt {17}}}$,

${\displaystyle A'V_{0}=A'V_{1}=A'V_{2}=A'V_{3}=2{\sqrt {3}}}$;

таким образом, не все его треугольные грани совпадают.

4-многогранники с бипирамидными ячейками

Двойной от ректификации каждых выпуклых регулярных 4-многогранников является клетка-транзитивена 4-многогранника с бипирамидальными клетками. Далее вершина бипирамиды - A, а вершина экватора - E. Расстояние между соседними вершинами на экваторе EE = 1, от вершины до края экватора - AE, а расстояние между вершинами - AA. 4-многогранник бипирамиды будет иметь V _A вершин, на которых пересекаются вершины N _A бипирамид. У него будет V _E вершин, где встречаются вершины типа E N _E бипирамид. N _AEбипирамиды встречаются по каждому ребру АЕ типа. N _EE бипирамид встречаются вдоль каждого края EE типа. C _AE - косинус двугранного угла вдоль края AE. C _EE - косинус двугранного угла вдоль ребра EE. Поскольку клетки должны располагаться вокруг края, N _AA cos ⁻¹ (C _AA ) ≤ 2 π , N _AE cos ⁻¹ (C _AE ) ≤ 2 π .

Свойства 4-многогранника									Свойства бипирамиды
Двойной из	Диаграмма Кокстера	Клетки	V A	V E	N A	N E	N AE	N EE	Клетка	Диаграмма Кокстера	AA	AE **	C AE	C EE
Выпрямленный 5-элементный		10	5	5	4	6	3	3	Треугольная бипирамида		2 / 3	0,667	- 1 / 7	- 1 / 7
Исправленный тессеракт		32	16	8	4	12	3	4	Треугольная бипирамида		${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{3}}}$	0,624	- 2 / 5	- 1 / 5
Ректифицированный 24-элементный		96	24	24	8	12	4	3	Треугольная бипирамида		${\textstyle {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}}$	0,745	1 / 11	- 5 / 11
Выпрямленный 120-элементный		1200	600	120	4	30	3	5	Треугольная бипирамида		${\textstyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{3}}}$	0,613	${\textstyle -{\frac {10+9{\sqrt {5}}}{61}}}$	${\textstyle {\frac {12{\sqrt {5}}-7}{61}}}$
Выпрямленный 16-элементный		24 *	8	16	6	6	3	3	Квадратная бипирамида		${\textstyle {\sqrt {2}}}$	1	- 1 / 3	- 1 / 3
Ректифицированные соты кубической формы		∞	∞	∞	6	12	3	4	Квадратная бипирамида		1	0,866	- 1 / 2	0
Выпрямленный 600-элементный		720	120	600	12	6	3	3	Пятиугольная бипирамида		${\textstyle {\frac {5+3{\sqrt {5}}}{5}}}$	1,447	${\textstyle -{\frac {11+4{\sqrt {5}}}{41}}}$	${\textstyle -{\frac {11+4{\sqrt {5}}}{41}}}$

* Выпрямленные 16 ячеек являются правильными 24 ячейками, и все вершины эквивалентны - октаэдры являются правильными бипирамидами.

** Дано численно в связи с более сложной формой.

Высшие измерения

В общем, бипирамиду можно рассматривать как n - многогранник, построенный из ( n  - 1) - многогранника в гиперплоскости с двумя точками в противоположных направлениях, на одинаковом расстоянии перпендикулярно гиперплоскости. Если ( n  - 1) -многогранник является правильным многогранником, у него будут одинаковые пирамидальные грани . Примером является 16-клеточная , которая представляет собой октаэдрическую бипирамиду, и в более общем смысле n - ортоплекс представляет собой ( n  - 1) -ортоплексную бипирамиду.

Двумерная бипирамида - это квадрат .

Смотрите также

• Трапецоэдр

использованная литература

Цитаты

Общие ссылки

• Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Калифорнийский университет Press в Беркли. ISBN 0-520-03056-7. Глава 4: Двойники архимедовых многогранников, призмы и антипризмы

внешние ссылки

Викискладе есть медиафайлы по теме бипирамид .

• Вайсштейн, Эрик В. «Дипирамида» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Изоэдр» . MathWorld .
• Равномерные многогранники
• Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
  • Модели VRML (Джордж Харт) <3> <4> <5> <6> <7> <8> <9> <10>
    • Обозначение Конвея для многогранников Попробуйте: «dP n », где n = 3, 4, 5, 6, ... например, «dP4» - октаэдр.