В геометрии , то теорема Wallace-Больяй-Гервина , [1] назван в честь Уильяма Уоллеса , Фаркаш Bolyai и Павла Гервина , теорема связана с вскрытий из многоугольников . Он отвечает на вопрос, когда один многоугольник может быть образован из другого, разрезав его на конечное количество частей и перекомпоновав их путем сдвигов и вращений . Теорема Уоллеса – Больяи – Гервиена утверждает, что это может быть сделано тогда и только тогда, когда два многоугольника имеют одинаковую площадь .
Уоллес доказал тот же результат уже в 1807 году.
Согласно другим источникам, Бойяи и Гервин независимо друг от друга доказали теорему в 1833 и 1835 годах соответственно.
Формулировка
Эта теорема может быть сформулирована несколькими способами. Наиболее распространенная версия использует концепцию «равносоставимости» многоугольников: два многоугольника равносоставимы, если их можно разделить на конечное число треугольников, которые отличаются только некоторой изометрией (фактически, только комбинацией сдвига и вращения). В этом случае теорема Уоллеса – Бойя – Гервиена утверждает, что два многоугольника равносоставимы тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую площадь.
Другая формулировка - в терминах конгруэнтности ножниц : два многоугольника конгруэнтны ножницам, если их можно разложить на конечное число многоугольников, попарно конгруэнтных . Ножницы-конгруэнтность - это отношение эквивалентности . В этом случае теорема Уоллеса – Бойя – Гервиена утверждает, что классы эквивалентности этого отношения содержат в точности те многоугольники, которые имеют одинаковую площадь.
Доказательство эскиза
Теорема может быть понята в несколько шагов. Во-первых, каждый многоугольник можно разрезать на треугольники. Для этого есть несколько способов. Для выпуклых многоугольников можно по очереди обрезать каждую вершину , а для вогнутых многоугольников это требует большей осторожности. Общий подход, который работает и для непростых многоугольников, - это выбрать линию, не параллельную какой-либо из сторон многоугольника, и провести линию, параллельную этой, через каждую из вершин многоугольника. Это разделит многоугольник на треугольники и трапеции , которые, в свою очередь, можно будет преобразовать в треугольники.
Во-вторых, каждый из этих треугольников может быть преобразован в прямоугольный треугольник, а затем в прямоугольник с одной стороной длины 1. В качестве альтернативы, треугольник можно преобразовать в один такой прямоугольник, сначала превратив его в параллелограмм, а затем превратив его в такой прямоугольник. Сделав это для каждого треугольника, многоугольник можно разложить на прямоугольник, ширина и высота которого равны его площади.
Так как это можно сделать для любых двух многоугольников, «общее разбиение» прямоугольника между ними доказывает теорему. То есть разрезание общего прямоугольника (размером 1 по его площади) по обоим многоугольникам будет промежуточным звеном между обоими многоугольниками.
Примечания к доказательству
Прежде всего, это доказательство требует промежуточного многоугольника. В формулировке теоремы с использованием ножниц-конгруэнций использование этого промежуточного результата можно переформулировать, используя тот факт, что ножницы-конгруэнции транзитивны. Поскольку и первый многоугольник, и второй многоугольники конгруэнтны промежуточному звену как ножницы, они конгруэнтны друг другу как ножницы.
Доказательство этой теоремы конструктивно и не требует выбранной аксиомы , хотя некоторые другие проблемы сечения (например , проблема квадрата круга Тарского ) действительно нуждаются в этом. В этом случае разложение и повторная сборка могут быть фактически выполнены «физически»: теоретически части можно вырезать ножницами из бумаги и собрать вручную.
Тем не менее, количество частей, необходимых для соединения одного многоугольника из другого с помощью этой процедуры, обычно намного превышает минимальное количество необходимых многоугольников. [2]
Степень разложимости
Рассмотрим два равносоставленными многоугольники P и Q . Минимальное количество n частей, необходимое для составления одного многоугольника Q из другого многоугольника P , обозначается σ ( P , Q ).
В зависимости от многоугольников можно оценить верхнюю и нижнюю границы для σ ( P , Q ). Так , например, Тарский доказал , что если Р является выпуклой , а диаметры от P и Q , соответственно , дается й ( P ) и D ( Q ), а затем [3]
Если P x - прямоугольник со сторонами a · x и a · (1 / x ), а Q - прямоугольник размера a , то P x и Q равноразложимы для любого x > 0. Верхняя граница для σ ( P x , Q ) дается формулой [3]
Поскольку σ ( P x , Q ) = σ ( P ( 1 / x ) , Q ), мы также имеем, что
Обобщения
Аналогичное утверждение о многогранниках в трех измерениях, известное как третья проблема Гильберта , неверно, как было доказано Максом Деном в 1900 году. Проблема также рассматривалась в некоторых неевклидовых геометриях . В двумерной гиперболической и сферической геометрии теорема верна. Однако проблема для этих геометрических фигур в трех измерениях остается открытой.
Рекомендации
- ^ Гарднер, RJ (1985-02-01). "Задача Салли о равносоставных выпуклых телах" . Труды Американского математического общества . 94 (2): 329–329. DOI : 10.1090 / S0002-9939-1985-0784187-9 . ISSN 0002-9939 . JSTOR 2045399 .
- ^ http://mathworld.wolfram.com/Dissection.html
- ^ а б Макфарланд, Эндрю; Макфарланд, Джоанна; Смит, Джеймс Т. (2014). Альфред Тарский . Биркхойзер, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. С. 77–91. DOI : 10.1007 / 978-1-4939-1474-6_5 . ISBN 9781493914739.
Внешние ссылки
- Теорема Уоллеса – Больяи – Гервиена.
- Конгруэнтность ножниц - интерактивная демонстрация теоремы Уоллеса – Бойяи – Гервиена.
- Видео с наброском доказательства
- Пример теоремы Больяи – Гервиена Шандора Кабая, Ференца Холло Сабо и Лайоша Сзиласси, Демонстрационный проект Вольфрама .
- Презентация о третьей проблеме Гильберта в колледже Статен-Айленда CUNY - Абхиджит Чампанеркар.
- Оптимальное рассечение единичного квадрата прямоугольником