В евклидовой геометрии , A выпуклая четырехугольная с , по меньшей мере , одну пару параллельных сторон, называется как трапеции ( / т г ə р я г я ə м / ) на английском языке за пределами Северной Америки, но как трапеции [1] [2 ] ( / т г æ р ə г ɔɪ д / ) в американском и канадском английском . Параллельные стороны называются основаниями.трапеции и две другие стороны называются ножками или боковыми сторонами (если они не параллельны; в противном случае есть две пары оснований). Неравносторонним трапеции представляет собой трапецию без каких - либо сторон равной меры, [3] , в отличие от особых случаев ниже.
Трапеция (AmE) Трапеция (BrE) | |
---|---|
Тип | четырехугольник |
Ребра и вершины | 4 |
Область | |
Характеристики | выпуклый |
Этимология и трапеция vs трапеция
Древнегреческий математик Евклид определил пять типов четырехугольника, четыре из которых имели два набора параллельных сторон (известные на английском языке как квадрат, прямоугольник, ромб и ромб), а последний не имел двух наборов параллельных сторон - τραπέζια ( трапеция [5 ] буквально «стол», сам от τετράς ( tetrás ), «четыре» + πέζα ( péza ), «ножка; конец, граница, край»). [6]
Прокл ( 412–485 гг. Н. Э.) Ввел два типа трапеций в своем комментарии к первой книге «Элементов Евклида» : [4] [7]
- одна пара параллельных сторон - трапеция (τραπέζιον), разделенная на равнобедренные (равные ножки) и разносторонние (неравные) трапеции
- без параллельных сторон - трапеция (τραπεζοειδή, trapezoeidé , буквально трапециевидная ( εἶδος означает «похожий»), точно так же, как кубоид означает подобие куба, а ромбовидное - подобие ромба )
Все европейские языки следуют структуре Прокла [7] [8], как и английский до конца 18 века, пока влиятельный математический словарь, опубликованный Чарльзом Хаттоном в 1795 году, не поддержал без объяснения причин перенос терминов. Эта ошибка была исправлена в британском английском примерно в 1875 году, но сохранилась в американском английском до наших дней. [4]
Тип | Изображение | Оригинальная терминология | Современная терминология | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Евклид (определение 22) | Прокл (Определения 30-34, цитата из Посидония) | Евклид / Прокл определение | Британский английский (и европейские языки) | Американский английский | |||
Параллелограмм | ῥόμβος (ромбы) | равносторонний, но не прямоугольный | Ромб | Trapez OID (включительно) | |||
ῥομβοειδὲς (ромбовидные) | противоположные стороны и углы равны друг другу, но не равносторонние и не прямоугольные | Ромбовидный (в просторечии параллелограмм) | |||||
Непараллелограмм | τραπέζια (трапеция) | τραπέζιον ἰσοσκελὲς ( Trapez иона isoskelés) | Две параллельные стороны и линия симметрии | Trapez ium | Trapez oid (эксклюзив) | ||
τραπέζιον σκαληνὸν ( трапеция ионного скалинона) | Две параллельные стороны и отсутствие линии симметрии | ||||||
τραπέζοειδὲς ( Trapez oides ) | Без параллельных сторон | Trapez подъязычная | Trapez ium |
В этой статье термин трапеция используется в том смысле, который используется в США и Канаде. Форму часто называют неправильным четырехугольником. [9] [10]
Инклюзивное и эксклюзивное определение
Есть некоторые разногласия по поводу того , следует ли рассматривать параллелограммы с двумя парами параллельных сторон как трапеции. Некоторые определяют трапецию как четырехугольник, имеющий только одну пару параллельных сторон (исключительное определение), тем самым исключая параллелограммы. [11] Другие [12] определяют трапецию как четырехугольник, по крайней мере, с одной парой параллельных сторон (включающее определение [13] ), что делает параллелограмм особым типом трапеции. Последнее определение согласуется с его использованием в высшей математике, такой как исчисление . В этой статье используется инклюзивное определение и параллелограммы рассматриваются как частные случаи трапеции. Это также поддерживается в таксономии четырехугольников .
Согласно инклюзивному определению, все параллелограммы (включая ромбы , прямоугольники и квадраты ) являются трапециями. Прямоугольники имеют зеркальную симметрию по средним краям; ромбы имеют зеркальную симметрию по вершинам, а квадраты имеют зеркальную симметрию как по средним краям, так и по вершинам.
Особые случаи
У правой трапеции (также называемой прямоугольной трапецией ) есть два смежных прямых угла . [12] Правые трапеции используются в правиле трапеций для оценки площадей под кривой.
Острой трапеции имеет две смежные углы острые на его более длинной базовой кромке, в то время как тупые трапеции имеет один острый и один тупой угол на каждой базе .
Равнобедренной трапеции является трапецией , где углы основания имеют одинаковую меру. Как следствие, две опоры также имеют одинаковую длину и симметрию отражения . Это возможно для острых трапеций или прямых трапеций (прямоугольников).
Параллелограмм является трапеция с двумя парами параллельных сторон. Параллелограмм имеет центральную 2-кратную вращательную симметрию (или точечную симметрию отражения ). Возможны тупые трапеции или прямые трапеции (прямоугольники).
Тангенциальная трапеция является трапеция , которая имеет вписанный .
Саккери четырехугольник похож на трапецию в гиперболической плоскости, с двумя соседними прямыми углами, в то время как он представляет собой прямоугольник , в евклидовой плоскости. Ламберт четырехугольник в гиперболической плоскости имеет 3 прямых углов.
Состояние существования
Четыре длины a , c , b , d могут составлять следующие друг за другом стороны непараллелограммной трапеции, причем a и b параллельны только тогда, когда [14]
Четырехугольник - это параллелограмм, когда , но это экс-тангенциальный четырехугольник (который не является трапецией), когда. [15] : с. 35 год
Характеристики
Для выпуклого четырехугольника следующие свойства эквивалентны, и каждое из них подразумевает, что четырехугольник является трапецией:
- Он имеет два смежных угла, которые являются дополнительными , то есть в сумме они составляют 180 градусов .
- Угол между стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и той же диагональю.
- В диагоналях рубят друг друг во взаимно же соотношении (это отношение такого же , как между длинами параллельных сторон).
- Диагонали разрезают четырехугольник на четыре треугольника, из которых одна противоположная пара аналогична .
- Диагонали разрезают четырехугольник на четыре треугольника, из которых одна противоположная пара имеет равные площади. [15] : Предложение 5
- Произведение площадей двух треугольников, образованных одной диагональю, равно произведению площадей двух треугольников, образованных другой диагональю. [15] : Thm.6
- Площади S и T некоторых двух противоположных треугольников из четырех треугольников, образованных диагоналями, удовлетворяют уравнению
- где K - площадь четырехугольника. [15] : Thm.8
- Середины двух противоположных сторон и пересечение диагоналей лежат на одной прямой . [15] : Thm.15
- Углы в четырехугольнике ABCD удовлетворяют[15] : с. 25
- Сумма косинусов двух соседних углов равна 0, как и косинусы двух других углов. [15] : с. 25
- Котангенсы двух соседних углов в сумме равны 0, как и котангенсы двух других смежных углов. [15] : с. 26 год
- Один бимедиан делит четырехугольник на два четырехугольника равной площади. [15] : с. 26 год
- Удвоенная длина бимедиана, соединяющего середины двух противоположных сторон, равна сумме длин других сторон. [15] : с. 31 год
Кроме того, следующие свойства эквивалентны, и каждое подразумевает, что противоположные стороны a и b параллельны:
- Последовательные стороны a , c , b , d и диагонали p , q удовлетворяют уравнению [15] : Cor.11
- Расстояние v между серединами диагоналей удовлетворяет уравнению [15] : Теорема.12
Средний сегмент и высота
Midsegment (также называемый средней или срединный) трапеции является сегментом , который присоединяется к срединным ножкам. Параллельно базам. Его длина m равна средней длине оснований a и b трапеции, [12]
Средний сегмент трапеции - один из двух бимедианов (другой бимедиан делит трапецию на равные области).
Высота (или высота) является перпендикулярным расстоянием между основаниями. В случае, если два основания имеют разную длину ( a ≠ b ), высоту трапеции h можно определить по длине ее четырех сторон по формуле [12]
где c и d - длины ног.
Область
Площадь K трапеции определяется выражением [12]
где a и b - длины параллельных сторон, h - высота (перпендикулярное расстояние между этими сторонами), а m - среднее арифметическое длин двух параллельных сторон. В 499 AD Aryabhata , великий математик - астроном из классического возраста индийской математики и индийской астрономии , использовал этот метод в Aryabhatiya (раздел 2.8). Это дает как частный случай хорошо известную формулу для площади треугольника , рассматривая треугольник как вырожденную трапецию, в которой одна из параллельных сторон сжалась до точки.
Индийский математик 7-го века Бхаскара I вывел следующую формулу для площади трапеции с последовательными сторонами a , c , b , d :
где a и b параллельны и b > a . [16] Эту формулу можно разложить на более симметричный вариант [12]
Когда одна из параллельных сторон сузилась до точки (скажем, a = 0), эта формула сводится к формуле Герона для площади треугольника.
Другой эквивалентной формулой для площади, которая больше напоминает формулу Герона, является [12]
где - полупериметр трапеции. (Эта формула похожа на формулу Брахмагупты , но отличается от нее тем, что трапеция может не быть циклической (вписанной в круг). Формула также является частным случаем формулы Бретшнайдера для общего четырехугольника ).
Из формулы Бретшнайдера следует, что
Линия, соединяющая середины параллельных сторон, делит площадь пополам.
Диагонали
Длины диагоналей [12]
где a - короткое основание, b - длинное основание, а c и d - ноги трапеции.
Если трапеция разделена на четыре треугольника своими диагоналями AC и BD (как показано справа), пересекающимися в точке O , то площадь AOD равен BOC , и продукт площадей AOD и BOC совпадает с AOB и COD . Соотношение площадей каждой пары смежных треугольников такое же, как и между длинами параллельных сторон. [12]
Пусть трапеция имеет последовательно вершины A , B , C и D и параллельные стороны AB и DC . Пусть E - пересечение диагоналей, и пусть F находится на стороне DA, а G - на стороне BC , так что FEG параллелен AB и CD . Тогда FG - это среднее гармоническое для AB и DC : [17]
Линия, проходящая через точку пересечения вытянутых непараллельных сторон и точку пересечения диагоналей, делит каждое основание пополам. [18]
Прочие свойства
Центр площади (центр масс для однородной пластинки ) лежит вдоль отрезка прямой, соединяющего середины параллельных сторон, на перпендикулярном расстоянии x от более длинной стороны b, заданном формулой [19]
Центр области делит этот отрезок в соотношении (если брать от короткой стороны к длинной) [20] : с. 862
Если биссектрисы углов A и B пересекаются в точке P , а биссектрисы углов C и D пересекаются в точке Q , то [18]
Приложения
Архитектура
В архитектуре это слово используется для обозначения симметричных дверей, окон и зданий, построенных шире у основания, сужаясь к вершине в египетском стиле. Если у них прямые стороны и острые угловые углы, их форма обычно представляет собой равнобедренные трапеции . Это был стандартный стиль дверей и окон инков . [21]
Геометрия
Задача о скрещенных лестницах - это задача нахождения расстояния между параллельными сторонами прямой трапеции с учетом длины диагонали и расстояния от перпендикулярной опоры до диагонального пересечения.
Биология
В морфологии , таксономии и других описательных дисциплинах, где необходим термин для таких форм, такие термины, как трапециевидная или трапециевидная, обычно используются при описании конкретных органов или форм. [22]
Компьютерная инженерия
В компьютерной инженерии, особенно в цифровой логике и компьютерной архитектуре, трапеции обычно используются для обозначения мультиплексоров . Мультиплексоры - это логические элементы, которые выбирают между несколькими элементами и выдают один выходной сигнал на основе сигнала выбора. В типичных конструкциях используются трапеции без специального указания, что они являются мультиплексорами, поскольку они универсально эквивалентны.
Смотрите также
- Вежливое число , также известное как трапециевидное число.
- Клин , многогранник, образованный двумя треугольниками и тремя гранями трапеции.
Рекомендации
- ^ http://www.mathopenref.com/trapezoid.html Определение Mathopenref
- ↑ AD Gardiner & CJ Bradley, Plane Euclidean Geometry: Theory and Problems , UKMT, 2005, p. 34.
- ^ Виды четырехугольников
- ^ a b c Джеймс А. Х. Мюррей (1926). Новый английский словарь по историческим принципам: основан в основном на материалах, собранных Филологическим обществом . X . п. 286 (Трапеция).
У Евклида (около 300 г. до н.э.) τραπέζιον включал все четырехугольники, кроме квадрата, прямоугольника, ромба и ромбовидной формы; в разновидности трапеций он не входил. Но Прокл, написавший Комментарии к Первой книге Элементов Евклида в 450 г. н.э., сохранил название τραπέζιον только для четырехугольников, имеющих две параллельные стороны, разделив их на τραπέζιον ἰσοσκελὲς, равнобедренную трапецию, имеющую две непараллельные стороны (и углы при их основания) равны, а σκαληνὸν τραπέζιον, разносторонняя трапеция, у которой эти стороны и углы не равны. Для четырехугольников, у которых стороны не параллельны, Прокл ввел название τραπέζοειδὲς TRAPEZOID. Эта номенклатура сохраняется во всех континентальных языках и была универсальной в Англии до конца 18 века, когда применение этих терминов было изменено, так что фигура, которую Прокл и современные геометры других народов называют трапецией (F. trapèze, нем. trapez, Du. trapezium, ит. trapezio) стало у большинства английских писателей трапецией, а трапеция Прокла и других народов - трапецией. Это измененное значение трапеции дано в «Математическом словаре» Хаттона, 1795 г., как «иногда» - он не говорит, кем; но, к сожалению, он сам принял и использовал его, и его Словарь, несомненно, был главным средством его распространения. Некоторые геометры, однако, продолжали использовать эти термины в их первоначальном значении, и с 1875 года это обычное употребление.
- ^ Элементы Евклида Книга I Определение 22
- ^ πέζα считается дорической и аркадской формой πούς «стопа», но записывается только в смысле «подъем [человеческой ступни]», откуда и значение «край, граница». τράπεζα «стол» - гомеровский. Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Генри Стюарт Джонс, Греко-английский лексикон , Оксфорд, Clarendon Press (1940), sv πέζα , τράπεζα .
- ^ а б Конвей, Джон Х .; Берджел, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (5 апреля 2016 г.). Симметрии вещей . CRC Press. п. 286. ISBN. 978-1-4398-6489-0.
- ^ Например: французская трапеция , итальянская трапеция , португальская трапеция , испанская трапеция , немецкая трапеция , украинское «трапеція», например "Определение Ларусса для трапезоида" .
- ^ Chambers 21st Century Dictionary Trapezoid
- ^ «Американское определение трапеции 1913 года» . Онлайн-словарь Merriam-Webster . Проверено 10 декабря 2007 .
- ^ "Определение американской школы с сайта " math.com " " . Проверено 14 апреля 2008 .
- ^ Б с д е е г ч I Вайсштейн, Эрик В. «Трапеция» . MathWorld .
- ^ Трапеции, [1] . Проверено 24 февраля 2012.
- ↑ Спросите доктора Математики (2008), «Площадь трапеции с учетом только длины сторон» .
- ^ a b c d e f g h i j k l Мартин Йозефссон, "Характеристики трапеций" , Forum Geometricorum, 13 (2013) 23-35.
- ^ TK Puttaswamy, Математические достижения досовременных индийских математиков , Elsevier, 2012, с. 156.
- ^ GoGeometry , [2] . Проверено 8 июля 2012.
- ^ a b Оуэн Байер, Феликс Лазебник и Дейдра Смелцер, Методы евклидовой геометрии , Математическая ассоциация Америки, 2010 г., стр. 55.
- ^ efunda , General Trapezoid, [3] . Проверено 9 июля 2012.
- ^ Том М. Апостол и Мамикон А. Мнацаканян (декабрь 2004 г.). «Цифры, описывающие круги» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 111 (10): 853–863. DOI : 10.2307 / 4145094 . JSTOR 4145094 . Проверено 6 апреля 2016 .
- ^ "Затерянный город инков Мачу-Пикчу - геометрия инков" . gogeometry.com . Проверено 13 февраля 2018 .
- ^ Джон Л. Капинера (11 августа 2008 г.). Энциклопедия энтомологии . Springer Science & Business Media. стр. 386, 1062, 1247. ISBN 978-1-4020-6242-1.
дальнейшее чтение
- Д. Фрайверт, А. Сиглер и М. Ступель: Общие свойства трапеций и выпуклых четырехугольников
Внешние ссылки
- Трапеция в энциклопедии математики .
- Вайсштейн, Эрик В. "Правая трапеция" . MathWorld .
- Определение трапеции Площадь трапеции Медиана трапеции С интерактивной анимацией
- Трапеция (Северная Америка) на elsy.at: Анимированный курс (конструкция, окружность, площадь)
- Правило трапеции для численных методов для студентов бакалавриата
- Аутар Кау и Э. Эрик Калу, Численные методы с приложениями , (2008)