В теории категорий , ветвь математики , то конус функтора является абстрактным понятием , которое используется для определения предела этого функтора . Конусы также встречаются и в других случаях в теории категорий.
Определение [ править ]
Пусть F : J → С быть схемой , в C . Формально диаграмма , это не более чем функтор от J до C . Изменение терминологии отражает тот факт , что мы думаем о F , как индексировать семейство объектов и морфизмов в C . Категория J мыслится как «индекс категории». Это следует рассматривать по аналогии с концепцией индексированного семейства объектов в теории множеств.. Основное отличие состоит в том, что здесь тоже есть морфизмы. Таким образом, например, когда J - дискретная категория , это наиболее близко соответствует идее индексированного семейства в теории множеств. В другом распространенном и более интересном примере J является диапазоном . J также можно рассматривать как пустую категорию, ведущую к простейшим конусам.
Пусть N быть объектом C . Конус от N к F представляет собой семейство морфизмов
для каждого объекта X из J , такого, что для любого морфизма f : X → Y в J коммутирует следующая диаграмма :
(Обычно бесконечная) совокупность всех этих треугольников может быть (частично) изображено в виде конуса с вершиной N . Конуса ψ иногда говорят, вершина N и базовой F .
Можно также определить двойственное понятие конуса от F до N (также называемого коконусом ), перевернув все стрелки выше. Явно конус из F в N - это семейство морфизмов
для каждого объекта X из J , такого, что для любого морфизма f : X → Y в J коммутирует следующая диаграмма:
Эквивалентные формулировки [ править ]
На первый взгляд конусы кажутся слегка ненормальными конструкциями в теории категорий. Они отображают объект в функтор (или наоборот). В соответствии с духом теории категорий мы хотели бы определить их как морфизмы или объекты в некоторой подходящей категории. Фактически, мы можем сделать и то, и другое.
Пусть J - малая категория, а C J - категория диаграмм типа J в C (это не более чем категория функторов ). Определим диагональную функтор Д: С → С J следующим образом : Δ ( N ): J → C является постоянным функтор к N для всех N в C .
Если F - диаграмма типа J в C , следующие утверждения эквивалентны:
- ψ - конус из N в F
- ψ - естественное преобразование из ∆ ( N ) в F
- ( N , ψ) - объект из категории запятой (Δ ↓ F )
Двойные утверждения также эквивалентны:
- ψ - конус из F в N
- ψ - естественное преобразование из F в ∆ ( N )
- ( N , ψ) - объект из категории запятой ( F ↓ Δ)
Все эти утверждения могут быть проверены прямым применением определений. Думая о конусах как о естественных преобразованиях, мы видим, что это просто морфизмы в C J с источником (или целью) константным функтором.
Категория шишек [ править ]
Согласно вышесказанному, мы можем определить категорию конусов в F как категорию запятых (∆ ↓ F ). Тогда морфизмы конусов будут просто морфизмами в этой категории. Эта эквивалентность укоренилась в наблюдении , что естественное отображение между постоянными функторами А ( Н ), А ( М ) соответствует морфизму между N и M . В этом смысле диагональный функтор тривиально действует на стрелки. Аналогичным образом, запись определения естественного отображения постоянного функтора Δ ( N ) в F дает ту же диаграмму, что и приведенная выше. Как и следовало ожидать, морфизм конуса ( N , ψ) в конус ( L, φ) - это просто морфизм N → L такой, что все «очевидные» диаграммы коммутируют (см. первую диаграмму в следующем разделе).
Точно так же категория ко-конусов из F - это категория запятой ( F ↓ Δ).
Универсальные конусы [ править ]
Пределы и копределы определяются как универсальные конусы . То есть конусы, через которые действуют все остальные колбочки. Конус φ из L в F является универсальным конусом, если для любого другого конуса ψ из N в F существует единственный морфизм из ψ в φ.
.svg)
Эквивалентно, универсальный конус к F - это универсальный морфизм из Δ в F (рассматриваемый как объект в C J ) или конечный объект в (Δ ↓ F ).
Двойственно конус φ из F в L является универсальным конусом, если для любого другого конуса ψ из F в N существует единственный морфизм из φ в ψ.
.svg)
Эквивалентно универсальный конус из F - это универсальный морфизм из F в Δ или начальный объект в ( F ↓ Δ).
Предел F является универсальным конусом для F и копределом является универсальным конусом из F . Как и во всех универсальных конструкциях, не гарантируется, что универсальные конусы существуют для всех диаграмм F , но если они действительно существуют, то они уникальны с точностью до единственного изоморфизма (в категории запятых (∆ ↓ F )).
Ссылки [ править ]
- Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-98403-8. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Борсё, Фрэнсис (1994). «Пределы». Справочник по категориальной алгебре . Энциклопедия математики и ее приложений 50-51, 53 [т.е. 52]. Том 1. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-44178-1.
|volume=есть дополнительный текст ( справка )
Внешние ссылки [ править ]
- Конус в nLab
