В математике теорема о среднем значении утверждает, грубо говоря, что для данной плоской дуги между двумя конечными точками существует по крайней мере одна точка, в которой касательная к дуге параллельна секущей через ее конечные точки. Это один из самых важных результатов реального анализа . Эта теорема используется для доказательства утверждений о функции на интервале, исходя из локальных гипотез о производных в точках интервала.
Для любой функции, непрерывной на и дифференцируемый на есть некоторые в интервале такая, что секущая, соединяющая концы интервала параллельна касательной в точке .
Теорема о среднем значении является обобщением теоремы Ролля , которая предполагает, так что правая часть выше равна нулю.
Теорема о среднем значении все еще верна в несколько более общем контексте. Достаточно предположить, чтоявляется непрерывной на, и это для каждого в предел
существует как конечное число или равно или же . Если конечно, этот предел равен. Пример, в котором применяется эта версия теоремы, дается вещественным отображением функции корня куба, производная которого стремится к бесконечности в нуле.
Обратите внимание, что утвержденная теорема неверна, если дифференцируемая функция является комплексной, а не действительной. Например, определите для всех настоящих . потом
пока для любого реального .
Эти формальные утверждения также известны как теорема Лагранжа о среднем значении. [5]
Доказательство
Выражение дает наклон линии, соединяющей точки а также , которая является хордой графика, пока дает наклон касательной к кривой в точке . Таким образом, теорема о среднем значении утверждает, что для любой хорды гладкой кривой мы можем найти точку на кривой, лежащую между концами хорды, такую, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде. Следующее доказательство иллюстрирует эту идею.
Определять , где является константой. С непрерывно на и дифференцируемый на , то же самое верно и для . Теперь мы хотим выбрать чтобы удовлетворяет условиям теоремы Ролля . А именно
По теореме Ролля , поскольку дифференцируема и , существует некоторое в для которого , а это следует из равенства что,
Подразумеваемое
Теорема 1. Предположим, что f - непрерывная вещественнозначная функция, определенная на произвольном интервале I вещественной прямой. Если производная F в каждой внутренней точке интервала I существует и равен нулю, то F является постоянным в интерьере.
Доказательство. Предположим, что производная f в каждой внутренней точке интервала I существует и равна нулю. Пусть ( , б ) произвольный открытый интервал I . По теореме о среднем значении существует точка c в ( a , b ) такая, что
Отсюда следует, что f ( a ) = f ( b ) . Таким образом, f постоянна внутри I и, следовательно, постоянна на I по непрерывности. (См. Ниже многовариантную версию этого результата.)
Примечания:
На концах интервала I нужна только непрерывность f , а не дифференцируемость . Если I - открытый интервал , не нужно выдвигать гипотезу о непрерывности , поскольку наличие производной в точке подразумевает непрерывность в этой точке. (См. Раздел " Непрерывность и дифференцируемость производной статьи" .)
Теорема 2: Если f ' ( x ) = g' ( x ) для всех x в интервале ( a , b ) области определения этих функций, то f - g константа или f = g + c, где c - константа на ( а , б ).
Доказательство: Пусть F = f - g , тогда F '= f' - g '= 0 на интервале ( a , b ), поэтому приведенная выше теорема 1 говорит, что F = f - g является константой c или f = g + c .
Теорема 3: Если F - первообразная f на интервале I , то наиболее общая первообразная f на I - это F (x) + c, где c - константа.
Доказательство: оно непосредственно выводится из приведенной выше теоремы 2.
Теорема Коши о среднем значении
Теорема Коши о среднем значении , также известная как расширенная теорема о среднем значении , [6] является обобщением теоремы о среднем значении. В нем говорится: если функции а также оба непрерывны на отрезке и дифференцируемо на открытом интервале , то существует некая , такое что [5]
которая параллельна линии, определяемой точками а также . Однако теорема Коши не утверждает существования такой касательной во всех случаях, когда а также являются разными точками, так как это может быть выполнено только для некоторого значения с участием , другими словами, значение, для которого указанная кривая является стационарной ; в таких точках, скорее всего, вообще не будет определяться касательная к кривой. Примером такой ситуации является кривая, представленная
который на интервале идет с точки к , но никогда не имеет горизонтальной касательной; однако у него есть стационарная точка (фактически, куспид ) в.
Теорема Коши о среднем значении может использоваться для доказательства правила Лопиталя . Теорема о среднем значении является частным случаем теоремы Коши о среднем значении, когда.
Доказательство теоремы Коши о среднем значении
Доказательство теоремы Коши о среднем значении основано на той же идее, что и доказательство теоремы о среднем значении.
Предполагать . Определять, где фиксируется таким образом, что , а именно
С а также продолжаются и дифференцируемый на , то же самое верно и для . Вобщем,удовлетворяет условиям теоремы Ролля : следовательно, существует некоторая в для которого . Теперь, используя определение у нас есть:
Следовательно:
откуда и следует результат. [5]
Если , то применяя теорему Ролля к, следует, что существует в для которого . Используя этот выбор, Теорема Коши о среднем значении (тривиально) верна.
Обобщение для детерминант
Предположить, что а также дифференцируемые функции на которые продолжаются . Определять
Существует такой, что .
Заметь
и если мы разместим , получаем теорему Коши о среднем значении. Если мы разместим а также мы получаем теорему Лагранжа о среднем значении .
Доказательство обобщения довольно просто: каждое из а также - определители с двумя одинаковыми строками, поэтому . Из теоремы Ролля следует, что существует такой, что .
Теорема о среднем значении нескольких переменных
Теорема о среднем значении обобщается на реальные функции нескольких переменных. Уловка состоит в том, чтобы использовать параметризацию для создания реальной функции одной переменной, а затем применить теорему об одной переменной.
Позволять - открытое выпуклое подмножество , и разреши - дифференцируемая функция. Исправить точки , и определим . С является дифференцируемой функцией от одной переменной, теорема о среднем дает:
для некоторых между 0 и 1. Но поскольку а также , вычисление явно мы имеем:
где обозначает градиент искалярное произведение . Отметим, что это точный аналог теоремы с одной переменной (в случаеэто является теорема в одной переменной). По неравенству Коши – Шварца уравнение дает оценку:
В частности, когда частные производные от ограничены, является липшицевы (и , следовательно , равномерно непрерывна ).
В качестве приложения к вышеизложенному, мы доказываем, что постоянно, если открыта и связна, и каждая частная производная от равно 0. Выберите какую-нибудь точку , и разреши . Мы хотим показать для каждого . Для этого пусть. Тогда E замкнуто и непусто. Он тоже открыт: для всех ,
для каждого в каком-то районе . (Здесь важно, чтобы а также достаточно близки друг к другу.) Поскольку связано, мы заключаем .
Вышеупомянутые аргументы сделаны безкоординатным образом; следовательно, они обобщаются на случай, когда является подмножеством банахова пространства.
Теорема о среднем значении для векторных функций
Точного аналога теоремы о среднем для векторных функций не существует.
В « Принципах математического анализа» Рудин приводит неравенство, которое может применяться ко многим из тех же ситуаций, к которым применима теорема о среднем значении в одномерном случае: [8]
Теорема - Для непрерывной вектор-функции дифференцируемый на , Существует такой, что .
Жан Дьедонне в своем классическом трактате « Основы современного анализа» отвергает теорему о среднем значении и заменяет ее неравенством среднего значения, поскольку доказательство неконструктивно, и нельзя найти среднее значение, а в приложениях требуется только неравенство среднего значения. Серж Ланг в « Анализе I» использует теорему о среднем значении в интегральной форме как мгновенный рефлекс, но это использование требует непрерывности производной. Если использовать интеграл Хенстока – Курцвейла, можно получить теорему о среднем значении в интегральной форме без дополнительного предположения, что производная должна быть непрерывной, поскольку каждая производная интегрируема по Хенстоку – Курцвейлу. Грубо говоря, проблема заключается в следующем: если f : U → R m - дифференцируемая функция (где U ⊂ R n открыто) и если x + th , x , h ∈ R n , t ∈ [0, 1] - рассматриваемого отрезка прямой (лежащего внутри U ), то можно применить описанную выше процедуру параметризации к каждой из составляющих функций f i ( i = 1,…, m ) функции f (в приведенных выше обозначениях множество y = x + h ). При этом на отрезке прямой находят точки x + t i h, удовлетворяющие
Но, как правило, не будет ни одной точки x + t * h на отрезке прямой, удовлетворяющей
для всех i одновременно . Например, определите:
потом , но а также никогда одновременно не равны нулю, поскольку колеблется над .
Однако определенный тип обобщения теоремы о среднем на вектор-функции получается следующим образом: пусть f - непрерывно дифференцируемая вещественнозначная функция, определенная на открытом интервале I , и пусть x, а также x + h - точки Я . Теорема о среднем значении одной переменной говорит нам, что существует некоторое t * между 0 и 1, такое что
С другой стороны, согласно основной теореме исчисления с последующей заменой переменных,
Таким образом, значение f ′ ( x + t * h ) в конкретной точке t * было заменено средним значением
Эту последнюю версию можно обобщить на векторные функции:
Лемму 1 - Пусть U ⊂ R п быть открытым, F : U → R м непрерывно дифференцируема, и х ∈ U , ч ∈ R п векторов , таких , что отрезок х + е , 0 ≤ т ≤ 1 остается в U . Тогда у нас есть:
где Df обозначает матрицу Якоби функции f, а интеграл матрицы следует понимать покомпонентно.
Доказательство. Обозначим через f 1 ,…, f m компоненты f и определим:
Тогда у нас есть
Утверждение следует из того, что Df - матрица, состоящая из компонентов.
Лемма 2 - Пусть v : [ , Ь ] → R м непрерывная функция , определенная на отрезке [ с , Ь ] ⊂ R . Тогда у нас есть
Доказательство. Обозначим через u в R m значение интеграла
Теперь имеем (используя неравенство Коши – Шварца ):
Теперь сокращение нормы u с обоих концов дает нам желаемое неравенство.
Неравенство среднего значения - если норма Df ( x + th ) ограничена некоторой константой M для t в [0, 1] , то
Доказательство. Из леммы 1 и 2 следует, что
Теоремы о среднем значении для определенных интегралов
Первая теорема о среднем значении для определенных интегралов
Геометрически: интерпретируя f (c) как высоту прямоугольника и b - a как ширину, этот прямоугольник имеет ту же площадь, что и область под кривой от a до b [9]
Пусть f : [ a , b ] → R - непрерывная функция. Тогда существует c в [ a , b ] такое, что
Поскольку среднее значение f на [ a , b ] определяется как
мы можем интерпретировать вывод как f достигает своего среднего значения при некотором c в ( a , b ). [10]
В общем случае, если f : [ a , b ] → R непрерывна и g - интегрируемая функция, не меняющая знака на [ a , b ], то существует c в ( a , b ) такое, что
Доказательство первой теоремы о среднем для определенных интегралов
Предположим, что f : [ a , b ] → R непрерывна, а g - неотрицательная интегрируемая функция на [ a , b ]. По теореме об экстремальном значении существуют такие m и M , что для каждого x из [ a , b ], а также . Поскольку g неотрицательна,
Теперь позвольте
Если , мы закончили, так как
средства
так что для любого c в ( a , b ),
Если I ≠ 0, то
По теореме промежуточного значения , F достигает каждое значение интервала [ т , М ], так что в течение некоторого с в [ , Ь ]
это,
Наконец, если g отрицательна на [ a , b ], то
и мы по-прежнему получаем тот же результат, что и выше.
QED
Вторая теорема о среднем значении для определенных интегралов
Существуют несколько различных теорем, которые называются второй теоремой о среднем значении для определенных интегралов . Обычно встречается следующая версия:
Если G : [ a , b ] → R - положительная монотонно убывающая функция, а φ: [ a , b ] → R - интегрируемая функция, то существует число x в ( a , b ] такое, что
Здесь означает , существование которых следует из условий. Обратите внимание, что очень важно, чтобы интервал ( a , b ] содержал b . Вариант, не имеющий этого требования: [11]
Если G : [ a , b ] → R - монотонная (не обязательно убывающая и положительная) функция, а φ : [ a , b ] → R - интегрируемая функция, то существует такое число x в ( a , b ), что
Теорема о среднем значении для интегрирования не работает для векторных функций
Если функция возвращает многомерный вектор, тогда MVT для интегрирования неверен, даже если домен также многомерна.
Например, рассмотрим следующую двумерную функцию, определенную на -мерный куб:
Тогда по симметрии легко увидеть, что среднее значение по его области (0,0):
Однако нет смысла , так как везде.
Вероятностный аналог теоремы о среднем значении
Пусть X и Y - неотрицательные случайные величины такие, что E [ X ] Y ] <∞ и(т.е. X меньше Y в обычном стохастическом порядке ). Тогда существует абсолютно непрерывная неотрицательная случайная величина Z, имеющая функцию плотности вероятности
Пусть g - измеримая и дифференцируемая функция такая, что E [ g ( X )], E [ g ( Y )] <∞, и пусть ее производная g ′ измерима и интегрируема по Риману на интервале [ x , y ] для всех y ≥ x ≥ 0. Тогда E [ g ′ ( Z )] конечно и [12]
Обобщение в комплексном анализе
Как отмечалось выше, теорема не верна для дифференцируемых комплекснозначных функций. Вместо этого формулируется такое обобщение теоремы: [13]
Пусть f : Ω → C - голоморфная функция на открытом выпуклом множестве Ω, и пусть a и b - различные точки в Ω. Тогда существуют точки u , v на L ab (отрезок от a до b ) такие, что
Где Re () - действительная часть, а Im () - мнимая часть комплексной функции.
Смотрите также
Метод ньюмарк-бета
Теорема о среднем значении (разделенные разности)
Принцип ипподрома
Столярского
Заметки
^ JJ О'Коннор и EF Робертсон (2000). Парамешвара , MacTutor Архив истории математики .
^ Ádám Besenyei. «Историческое развитие теоремы о среднем значении» (PDF) .
^Лозада-Крус, немец (2020-10-02). «Некоторые варианты теоремы Коши о среднем значении» . Международный журнал математического образования в науке и технологиях . 51 (7): 1155–1163. DOI : 10.1080 / 0020739X.2019.1703150 . ISSN 0020-739X .
^Саху, Прасанна. (1998). Теоремы о среднем значении и функциональные уравнения . Ридель, Т. (Томас), 1962-. Сингапур: World Scientific. ISBN 981-02-3544-5. OCLC 40951137 .
^ а б вНастоящий анализ Киршны: (Общие) . Кришна Пракашан СМИ.
^В., Вайсштейн, Эрик. «Расширенная теорема о среднем значении» . mathworld.wolfram.com . Проверено 8 октября 2018 .
^«Теорема Коши о среднем значении» . Math24 . Проверено 8 октября 2018 .
^Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа (3-е изд.) . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 113. ISBN 978-0-07-054235-8.
^«Математические слова: теорема о среднем значении для интегралов» . www.mathwords.com .
^Майкл Коменец (2002). Исчисление: элементы . World Scientific. п. 159. ISBN. 978-981-02-4904-5.
^Хобсон, EW (1909). «О второй теореме интегрального исчисления о среднем значении» . Proc. Лондонская математика. Soc. S2–7 (1): 14–23. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s2-7.1.14 . Руководство по ремонту 1575669 .
^Ди Крещенцо, А. (1999). «Вероятностный аналог теоремы о среднем значении и его приложения к теории надежности». J. Appl. Вероятно. 36 (3): 706–719. DOI : 10.1239 / JAP / 1032374628 . JSTOR 3215435 .
^«Комплексная теорема о среднем значении» . PlanetMath . PlanetMath .