Причинные фермионные системы

В этой статье слишком много ссылок на первоисточники . Пожалуйста, улучшите это, добавив вторичные или третичные источники . ( Январь 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

За пределами стандартной модели
Смоделированные данные детектора частиц CMS на большом адронном коллайдере, изображающие бозон Хиггса, образованный сталкивающимися протонами, распадающимися на адронные струи и электроны
Стандартная модель
Свидетельство Проблема иерархии Темная материя Темная энергия Квинтэссенция Фантомная энергия Темное излучение Темный фотон Проблема космологической постоянной Сильная проблема CP Колебания нейтрино
Теории Теория Бранса – Дике Гипотеза космической цензуры Пятая сила F-теория Теория всего Единая теория поля Теория Великого Объединения Разноцветный Теория Калуцы – Клейна Топологическая квантовая теория поля Локальная квантовая теория поля Теория поля Лиувилля 6D (2,0) суперконформная теория поля Некоммутативная квантовая теория поля Квантовая космология Космология браны Теория струн Теория суперструн М-теория Гипотеза математической вселенной Зеркальная материя Модель Рэндалла – Сундрама Теория Янга – Миллса N = 4 суперсимметричная теория Янга – Миллса Твисторная теория струн Темная жидкость Двойная специальная теория относительности инвариант де Ситтера специальная теория относительности Причинные фермионные системы Термодинамика черной дыры Физика без частиц Гравифотон Гравискалар Гравитон Гравитино Массивная гравитация Теория калибровочной гравитации Калибровочная теория гравитации Симметрия CPT
Суперсимметрия MSSM NMSSM Теория суперструн М-теория Супергравитация Нарушение суперсимметрии Дополнительные размеры Большие дополнительные размеры
Квантовая гравитация Ложный вакуум Теория струн Отжим пена Квантовая пена Квантовая геометрия Петлевая квантовая гравитация Квантовая космология Петлевая квантовая космология Причинная динамическая триангуляция Причинные фермионные системы Причинные множества Симметрия событий Каноническая квантовая гравитация Полуклассическая гравитация Теория сверхтекучего вакуума
Эксперименты ЭННИ Гран Сассо Я НЕ LHC SNO Супер-К Теватрон Новая звезда
v т е

Теория причинных фермионных систем - это подход к описанию фундаментальной физики . Он обеспечивает объединение слабых , сильных и электромагнитных взаимодействий с гравитацией на уровне классической теории поля . ^{[1] [2]} Более того, это дает квантовую механику как предельный случай и обнаруживает тесную связь с квантовой теорией поля . ^{[3] [4]} Таким образом, это кандидат в единую физическую теорию. Вместо того, чтобы вводить физические объекты в уже существующее пространственно-временное многообразиеобщая концепция состоит в том, чтобы вывести пространство-время, а также все объекты в нем в качестве вторичных объектов из структур лежащей в основе причинной фермионной системы. Эта концепция также позволяет обобщить понятия дифференциальной геометрии на негладкую ситуацию . ^{[5] [6]} В частности, можно описать ситуации, когда пространство-время больше не имеет структуры многообразия в микроскопическом масштабе (как решетка пространства-времени или другие дискретные или непрерывные структуры в масштабе Планка ). В результате теория причинных фермионных систем является предложением квантовой геометрии и подходом к квантовой гравитации .

Системы причинных фермионов были введены Феликсом Финстером и сотрудниками.

Мотивация и физическая концепция [ править ]

Физической отправной точкой является тот факт, что уравнение Дирака в пространстве Минковского имеет решения с отрицательной энергией, которые обычно ассоциируются с морем Дирака . Серьезно относясь к концепции, согласно которой состояния моря Дирака являются неотъемлемой частью физической системы, можно обнаружить, что многие структуры (например, причинно-следственные и метрическиеструктуры, а также бозонные поля) могут быть восстановлены из волновых функций состояний моря. Это приводит к идее, что волновые функции всех занятых состояний (включая состояния моря) следует рассматривать как основные физические объекты, и что все структуры в пространстве-времени возникают в результате коллективного взаимодействия состояний моря друг с другом и с дополнительными частицами и «дырами» в море. Математическая реализация этой картины приводит к структуре причинных фермионных систем.

Точнее, соответствие между описанной выше физической ситуацией и математической структурой получается следующим образом. Все занятые состояния образуют гильбертово пространство волновых функций в пространстве Минковского . Наблюдаемая информация о распределении волновых функций в пространстве-времени кодируется в операторах локальной корреляции, которые в ортонормированном базисе имеют матричное представление${\ displaystyle {\ hat {M}}}$ ${\ displaystyle F (x), x \ in {\ hat {M}},}$ ${\ Displaystyle (\ psi _ {я})}$

${\ displaystyle {\ big (} F (x) {\ big)} _ {j} ^ {i} = - {\ overline {\ psi _ {i} (x)}} \ psi _ {j} (x )}$

(где - присоединенный спинор ). Чтобы превратить волновые функции в основные физические объекты, каждый рассматривает набор как набор линейных операторов в абстрактном гильбертовом пространстве. Все структуры пространства Минковского не учитываются, за исключением меры объема , которая преобразуется в соответствующую меру на линейных операторах ( «универсальная мера» ). Получающиеся структуры, а именно гильбертово пространство вместе с мерой на линейных операторах на нем, являются основными ингредиентами системы причинных фермионов.${\displaystyle {\overline {\psi }}}$${\displaystyle \{F(x)\,|\,x\in {\hat {M}}\}}$${\displaystyle d^{4}x}$

Вышеупомянутая конструкция также может быть осуществлена ​​в более общем пространстве-времени . Более того, принимая абстрактное определение в качестве отправной точки, причинные фермионные системы позволяют описывать обобщенные «квантовые пространства-времени». Физическая картина состоит в том, что одна причинная фермионная система описывает пространство-время вместе со всеми структурами и объектами в нем (такими как причинные и метрические структуры, волновые функции и квантовые поля). Чтобы выделить физически допустимые причинные фермионные системы, необходимо сформулировать физические уравнения. По аналогии с лагранжевой формулировкой классической теории поля , физические уравнения для причинных фермионных систем формулируются с помощью вариационного принципа, так называемого принципа причинного действия. Поскольку человек работает с разными базовыми объектами, принцип причинного действия имеет новую математическую структуру, в которой минимизируется положительное действие при вариациях универсальной меры. Связь с обычными физическими уравнениями достигается в определенном предельном случае ( континуальный предел ), в котором взаимодействие может быть эффективно описано с помощью калибровочных полей, связанных с частицами и античастицами , тогда как море Дирака больше не проявляется.

Общая математическая установка [ править ]

В этом разделе вводится математический аппарат причинных фермионных систем.

Определение причинной фермионной системы [ править ]

Причинные фермионная система спиновой размерности является тройным , где${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle ({\mathcal {H}},{\mathcal {F}},\rho )}$

• ${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle .|.\rangle _{\mathcal {H}})}$является комплексным гильбертовым пространством .
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$- множество всех самосопряженных линейных операторов конечного ранга, на которых (с учетом кратностей ) есть не более чем положительные и не более чем отрицательные собственные значения.${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle \rho }$это мера на .${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Мера называется универсальной мерой .${\displaystyle \rho }$

Как будет показано ниже, это определение достаточно богато, чтобы кодировать аналоги математических структур, необходимых для формулирования физических теорий. В частности, причинная фермионная система порождает пространство-время вместе с дополнительными структурами, которые обобщают такие объекты, как спиноры , метрика и кривизна . Более того, он включает квантовые объекты, такие как волновые функции и фермионное фоковское состояние . ^[7]

Принцип причинного действия [ править ]

Вдохновленная лангранжианской формулировкой классической теории поля, динамика причинной фермионной системы описывается вариационным принципом, определяемым следующим образом.

Учитывая гильбертово пространство и размерность спина , множество определяется, как указано выше. Тогда для любого произведение является оператором ранга не выше . Это не обязательно самосопряженный, потому что в общем . Обозначим нетривиальные собственные значения оператора (с учетом алгебраических кратностей ) через${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle .|.\rangle _{\mathcal {H}})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle x,y\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle (xy)^{*}=yx\neq xy}$${\displaystyle xy}$

${\displaystyle \lambda _{1}^{xy},\ldots ,\lambda _{2n}^{xy}\in {\mathbb {C} }.}$

Кроме того, спектральный вес определяется равенством${\displaystyle |.|}$

${\displaystyle |xy|=\sum _{i=1}^{2n}|\lambda _{i}^{xy}|\quad {\text{and}}\quad {\big |}(xy)^{2}{\big |}=\sum _{i=1}^{2n}|\lambda _{i}^{xy}|^{2}{\,}.}$

Лагранжиан вводится

${\displaystyle {\mathcal {L}}(x,y)={\big |}(xy)^{2}{\big |}-{\frac {1}{2n}}{\,}|xy|^{2}={\frac {1}{4n}}\sum _{i,j=1}^{2n}{\big (}|\lambda _{i}^{xy}|-|\lambda _{j}^{xy}|{\big )}^{2}\geq 0{\,}.}$

Причинная действие определяется

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\iint _{{\mathcal {F}}\times {\mathcal {F}}}{\mathcal {L}}(x,y){\,}d\rho (x){\,}d\rho (y){\,}.}$

Принцип причинного действия заключается в минимизации при вариациях внутри класса (положительных) борелевских мер при следующих ограничениях:${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \rho }$

• Ограничение ограниченности: для некоторой положительной константы .${\displaystyle \iint _{{\mathcal {F}}\times {\mathcal {F}}}|xy|^{2}{\,}d\rho (x){\,}d\rho (y)\leq C}$${\displaystyle C}$
• Ограничение трассировки: остается фиксированным.${\displaystyle \;\;\;\int _{\mathcal {F}}{\text{tr}}(x){\,}d\rho (x)}$
• Общий объем сохранен.${\displaystyle \rho ({\mathcal {F}})}$

Здесь на один рассматривает топологию , индуцированную с помощью -норме на ограниченных линейных операторов на .${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathrm {L} }({\mathcal {H}})}$${\displaystyle \sup }$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Ограничения предотвращают использование тривиальных минимизаторов и гарантируют существование, если оно конечномерно. ^[8] Этот вариационный принцип также имеет смысл в том случае, когда общий объем является бесконечным , если учесть вариации из ограниченной вариации с .${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \rho ({\mathcal {F}})}$${\displaystyle \delta \rho }$${\displaystyle (\delta \rho )({\mathcal {F}})=0}$

Внутренние структуры [ править ]

В современных физических теориях слово « пространство-время» относится к лоренцеву многообразию . Это означает, что пространство-время - это набор точек, обогащенных топологическими и геометрическими структурами. В контексте причинных фермионных систем пространство-время не обязательно должно иметь многообразную структуру. Вместо этого пространство-время - это набор операторов в гильбертовом пространстве (подмножество ). Это подразумевает дополнительные внутренние структуры, которые соответствуют и обобщают обычные объекты на пространственно-временном многообразии.${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Для причинной фермионной системы мы определяем пространство-время как носитель универсальной меры,${\displaystyle ({\mathcal {H}},{\mathcal {F}},\rho )}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M:={\text{supp}}\,\rho \subset {\mathcal {F}}.}$

С топологией , индуцированной на пространство -время является топологическим пространством .${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle M}$

Причинная структура [ править ]

Для обозначим нетривиальные собственные значения оператора (с учетом алгебраических кратностей ) через . Точки и определяются как разделенные пробелом, если все они имеют одинаковое абсолютное значение. Они разделены времениподобно, если не все имеют одинаковое абсолютное значение и все реальны. Во всех остальных случаях, точки и являются светоподобно разделены.${\displaystyle x,y\in M}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle \lambda _{1}^{xy},\ldots ,\lambda _{2n}^{xy}\in {\mathbb {C} }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \lambda _{j}^{xy}}$${\displaystyle \lambda _{j}^{xy}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Это понятие причинности согласуется с «причинностью» вышеупомянутого причинного действия в том смысле, что если две точки пространства-времени разделены пространственно-подобным образом, то лагранжиан исчезает. Это соответствует физическому понятию причинности, согласно которому пространственно разделенные точки пространства-времени не взаимодействуют. Эта каузальная структура является причиной понятия «каузальный» в каузальной фермионной системе и каузальном действии.${\displaystyle x,y\in M}$${\displaystyle {\mathcal {L}}(x,y)}$

Обозначим через ортогональную проекцию на подпространство . Тогда знак функционала${\displaystyle \pi _{x}}$${\displaystyle S_{x}:=x({\mathcal {H}})\subset {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle i{\text{Tr}}{\big (}x\,y\,\pi _{x}\,\pi _{y}-y\,x\,\pi _{y}\,\pi _{x})}$

отличает будущее от прошлого . В отличие от структуры частично упорядоченного множества , отношение «лежит в будущем», как правило, не транзитивно. Но в типичных примерах она транзитивна в макроскопическом масштабе. ^{[5] [6]}

Спиноры и волновые функции [ править ]

Для каждого спин пространство определяется ; это подпространство размерности не более . Спина скалярное произведение определяется${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle S_{x}=x({\mathcal {H}})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle {\prec }\cdot |\cdot {\succ }_{x}}$

${\displaystyle {\prec }u|v{\succ }_{x}=-{\langle }u|xv{\rangle }_{\mathcal {H}}\qquad {\text{for all }}u,v\in S_{x}}$

неопределенное скалярное произведение на о подписании с .${\displaystyle S_{x}}$ ${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle p,q\leq n}$

Волновая функция является отображением${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi {\,}:{\,}M\rightarrow {\mathcal {H}}\qquad {\text{with}}\qquad \psi (x)\in S_{x}\quad {\text{for all }}x\in M{\,}.}$

О волновых функциях, для которых норма определяется формулой${\displaystyle {|\!|\!|}\cdot {|\!|\!|}}$

${\displaystyle {|\!|\!|}\psi {|\!|\!|}^{2}=\int _{M}\left\langle \psi (x){\bigg |}\,|x|\,\psi (x)\right\rangle _{\mathcal {H}}{\,}d\rho (x)}$

конечно (где - модуль симметричного оператора ), можно определить скалярное произведение${\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\mathopen {<}}\psi |\phi {\mathclose {>}}=\int _{M}{\prec }\psi (x)|\phi (x){\succ }_{x}{\,}d\rho (x){\,}.}$

Вместе с топологией, индуцированной нормой , получается пространство Крейна .${\displaystyle {|\!|\!|}\cdot {|\!|\!|}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {K}},{\mathopen {<}}\cdot |\cdot {\mathclose {>}})}$

Любому вектору можно сопоставить волновую функцию${\displaystyle u\in {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \psi ^{u}(x):=\pi _{x}u}$

(где снова ортогональная проекция на пространство спинов). Это приводит к появлению особого семейства волновых функций, называемых волновыми функциями занятых состояний .${\displaystyle \pi _{x}:{\mathcal {H}}\rightarrow S_{x}}$

Фермионный проектор [ править ]

Ядро фермионном проектора определяется${\displaystyle P(x,y)}$

${\displaystyle P(x,y)=\pi _{x}\,y|_{S_{y}}{\,}:{\,}S_{y}\rightarrow S_{x}}$

(где снова ортогональная проекция на пространство спинов, и обозначает ограничение на ). Фермионная проектор является оператором${\displaystyle \pi _{x}:{\mathcal {H}}\rightarrow S_{x}}$${\displaystyle |_{S_{y}}}$${\displaystyle S_{y}}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle P{\,}:{\,}{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {K}}{\,},\qquad (P\psi )(x)=\int _{M}P(x,y)\,\psi (y)\,d\rho (y){\,},}$

который имеет плотную область определения, задаваемую всеми векторами, удовлетворяющими условиям${\displaystyle \psi \in {\mathcal {K}}}$

${\displaystyle \phi :=\int _{M}x\,\psi (x)\,d\rho (x){\,}\in {\,}{\mathcal {H}}\quad {\text{and}}\quad {|\!|\!|}\phi {|\!|\!|}<\infty {\,}.}$

Как следствие принципа причинного действия, ядро ​​фермионного проектора обладает дополнительными нормализующими свойствами ^[9], которые оправдывают название « проектор» .

Соединение и кривизна [ править ]

Будучи оператором перехода от одного спинового пространства к другому, ядро ​​фермионного проектора задает отношения между различными точками пространства-времени. Этот факт можно использовать для введения спиновой связи.

${\displaystyle D_{x,y}\,:\,S_{y}\rightarrow S_{x}\quad {\text{unitary}}\,.}$

Основная идея заключается в том, чтобы взять полярное разложение в . Конструкция усложняется тем, что спиновая связность должна индуцировать соответствующую метрическую связность${\displaystyle P(x,y)}$

${\displaystyle \nabla _{x,y}\,:\,T_{y}\rightarrow T_{x}\quad {\text{isometric}}\,,}$

где касательное пространство - это особое подпространство линейных операторов на, наделенное лоренцевой метрикой. Кривизны спины определяются как голономия спиновой связи,${\displaystyle T_{x}}$${\displaystyle S_{x}}$

${\displaystyle {\mathfrak {R}}(x,y,z)=D_{x,y}\,D_{y,z}\,D_{z,x}\,:\,S_{x}\rightarrow S_{x}\,.}$

Точно так же метрическая связь порождает метрическую кривизну . Эти геометрические структуры порождают предложение о квантовой геометрии . ^[5]

Уравнения Эйлера-Лагранжа и линеаризованные уравнения поля [ править ]

Минимизатор причинного действия удовлетворяет соответствующим уравнениям Эйлера-Лагранжа . ^[10] Они заявляют, что функция, определяемая${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \ell _{\kappa }}$

${\displaystyle \ell _{\kappa }(x):=\int _{M}{\big (}{\mathcal {L}}_{\kappa }(x,y)+\kappa \,|xy|^{2}{\big )}\,d\rho (y)\,-\,{\mathfrak {s}}}$

(с двумя параметрами Лагранжа и ) обращается в нуль и минимальна на носителе ,${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \ell _{\kappa }|_{M}\equiv \inf _{x\in {\mathcal {F}}}\ell _{\kappa }(x)=0\,.}$

Для анализа удобно ввести струю , состоящую из вещественной функции на и векторное поле  на вдоль и обозначают сочетание умножения и производной по направлению от . Тогда из уравнений Эйлера-Лагранжа следует, что слабые уравнения Эйлера-Лагранжа${\displaystyle {\mathfrak {u}}:=(a,u)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle M}$${\displaystyle u}$${\displaystyle T{\mathcal {F}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \nabla _{\mathfrak {u}}g(x):=a(x)\,g(x)+{\big (}D_{u}g{\big )}(x)}$

${\displaystyle \nabla _{\mathfrak {u}}\ell |_{M}=0}$

удерживайте для любого тестового жиклера .${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$

Семейства решений уравнений Эйлера-Лагранжа бесконечно малых размеров порождаются струей, удовлетворяющей линеаризованным уравнениям поля${\displaystyle {\mathfrak {v}}}$

${\displaystyle \langle {\mathfrak {u}},\Delta {\mathfrak {v}}\rangle |_{M}=0\,,}$

для всех тестовых струй , где лапласиан $ \ Delta $ определяется формулой  ${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$

${\displaystyle \langle {\mathfrak {u}},\Delta {\mathfrak {v}}\rangle (x):=\nabla _{\mathfrak {u}}{\bigg (}\int _{M}{\big (}\nabla _{1,{\mathfrak {v}}}+\nabla _{2,{\mathfrak {v}}}{\big )}{\mathcal {L}}(x,y)\,d\rho (y)-\nabla _{\mathfrak {v}}{\mathfrak {s}}{\bigg )}\,.}$

Уравнения Эйлера-Лагранжа описывают динамику причинной фермионной системы, тогда как малые возмущения системы описываются линеаризованными уравнениями поля.

Сохраняющиеся интегралы поверхностного слоя [ править ]

В случае причинных фермионных систем пространственные интегралы выражаются так называемыми интегралами поверхностного слоя . ^{[9] [10] [11]} В общих чертах интеграл поверхностного слоя представляет собой двойной интеграл вида

${\displaystyle \int _{\Omega }{\bigg (}\int _{M\setminus \Omega }\cdots {\mathcal {L}}(x,y)\,d\rho (y){\bigg )}\,d\rho (x)\,,}$

где одна переменная интегрируется по подмножеству , а другая переменная интегрируется по дополнению . Можно выразить обычные законы сохранения заряда, энергии ... через интегралы поверхностного слоя. Соответствующие законы сохранения являются следствием уравнений Эйлера-Лагранжа принципа причинного действия и линеаризованных уравнений поля. Для приложений наиболее важными интегралами поверхностного слоя являются текущий интеграл , симплектическая форма , внутреннее произведение поверхностного слоя и нелинейный интеграл поверхностного слоя .${\displaystyle \Omega \subset M}$${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \gamma _{\rho }^{\Omega }({\mathfrak {v}})}$ ${\displaystyle \sigma _{\rho }^{\Omega }({\mathfrak {u}},{\mathfrak {v}})}$ ${\displaystyle \langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {v}}\rangle _{\rho }^{\Omega }}$ ${\displaystyle \gamma ^{\Omega }({\tilde {\rho }},\rho )}$

Бозонная космическая динамика Фока [ править ]

Основываясь на законах сохранения для вышеуказанных интегралов поверхностного слоя, динамика причинной фермионной системы, описываемая уравнениями Эйлера-Лагранжа, соответствующими принципу причинного действия, может быть переписана как линейная, сохраняющая норму динамика на бозонном пространстве Фока, построенном набор решений линеаризованных уравнений поля. ^[4] В так называемом голоморфном приближении временная эволюция учитывает сложную структуру, что приводит к унитарной временной эволюции в бозонном фоковском пространстве.

Фермионное состояние Фока [ править ]

Если имеет конечную размерность , выбирая ортонормированный базис из и принимая клиновидное произведение соответствующих волновых функций${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{f}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle {\big (}\psi ^{u_{1}}\wedge \cdots \wedge \psi ^{u_{f}}{\big )}(x_{1},\ldots ,x_{f})}$

дает состояние фермионного фоковского пространства -частицы . Из-за полной антисимметризации это состояние зависит от выбора базиса только фазовым множителем. ^[12] Это соответствие объясняет, почему векторы в пространстве частиц следует интерпретировать как фермионы . Это также мотивирует название причинно- фермионная система.${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Основные физические принципы [ править ]

Причинные фермионные системы особым образом включают в себя несколько физических принципов:

• Локальный принцип калибровочной : Для того чтобы представить волновые функции в компонентах, один выбирает основы спиновых пространств. Обозначая подпись спин скалярного произведения на с , псевдо-ортонормированный базис из дается${\displaystyle x}$${\displaystyle ({\mathfrak {p}}_{x},{\mathfrak {q}}_{x})}$${\displaystyle ({\mathfrak {e}}_{\alpha }(x))_{\alpha =1,\ldots ,{\mathfrak {p}}_{x}+{\mathfrak {q}}_{x}}}$${\displaystyle S_{x}}$

${\displaystyle {\prec }{\mathfrak {e}}_{\alpha }|{\mathfrak {e}}_{\beta }{\succ }=s_{\alpha }{\,}\delta _{\alpha \beta }\quad {\text{with}}\quad s_{1},\ldots ,s_{{\mathfrak {p}}_{x}}=1,\;\;s_{{\mathfrak {p}}_{x}+1},\ldots ,s_{{\mathfrak {p}}_{x}+{\mathfrak {q}}_{x}}=-1{\,}.}$

Тогда волновую функцию можно представить с помощью компонентных функций,${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{\alpha =1}^{{\mathfrak {p}}_{x}+{\mathfrak {q}}_{x}}\psi ^{\alpha }(x){\,}{\mathfrak {e}}_{\alpha }(x){\,}.}$

Свобода выбора базисов независимо в каждой точке пространства-времени соответствует локальным унитарным преобразованиям волновых функций,${\displaystyle ({\mathfrak {e}}_{\alpha }(x))}$

${\displaystyle \psi ^{\alpha }(x)\rightarrow \sum _{\beta =1}^{{\mathfrak {p}}_{x}+{\mathfrak {q}}_{x}}U(x)_{\beta }^{\alpha }\,\,\psi ^{\beta }(x)\quad {\text{with}}\quad U(x)\in {\text{U}}({\mathfrak {p}}_{x},{\mathfrak {q}}_{x}){\,}.}$

Эти преобразования интерпретируются как локальные калибровочные преобразования . Калибровочная группа определяется как группа изометрий спинового скалярного произведения. Причинное действие калибровочно инвариантно в том смысле, что оно не зависит от выбора спинорных базисов.

• Принцип эквивалентности : для явного описания пространства-времени необходимо работать с локальными координатами. Свобода выбора таких координат обобщает свободу выбора общих систем отсчета в пространственно-временном многообразии. Таким образом, принцип эквивалентности в ОТО соблюдается. Причинное действие обычно ковариантно в том смысле, что оно не зависит от выбора координат.
• Принцип исключения Паули : фермионное фоковское состояние, связанное с причинной фермионной системой, позволяет описывать многочастичное состояние с помощью полностью антисимметричной волновой функции. Это согласуется с принципом исключения Паули .
• Принцип причинности включен в форму причинного действия в том смысле, что точки пространства-времени с пространственно-подобным разделением не взаимодействуют.

Предельные случаи [ править ]

Системы причинных фермионов имеют математически обоснованные предельные случаи, которые дают связь с обычными физическими структурами.

Лоренцева спиновая геометрия глобально гиперболических пространств-времени [ править ]

Начиная с любого глобально гиперболического лоренцево спинового многообразия со спинорным расслоением , можно попасть в структуру причинных фермионных систем, выбрав в качестве подпространства пространство решений уравнения Дирака . Определение так называемого оператора локальной корреляции для by${\displaystyle ({\hat {M}},g)}$${\displaystyle S{\hat {M}}}$${\displaystyle ({\mathcal {H}},{\langle }.|.{\rangle }_{\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle F(p)}$${\displaystyle p\in {\hat {M}}}$

${\displaystyle {\langle }\psi |F(p)\phi {\rangle }_{\mathcal {H}}=-{\prec }\psi |\phi {\succ }_{p}}$

(где внутренний продукт на волокне ) и вводя универсальную меру как продвижение измерения объема на ,${\displaystyle {\prec }\psi |\phi {\succ }_{p}}$${\displaystyle S_{p}{\hat {M}}}$${\displaystyle {\hat {M}}}$

${\displaystyle \rho =F_{*}d\mu {\,},}$

получается причинная фермионная система. Чтобы локальные корреляционные операторы были четко определены, они должны состоять из непрерывных участков, что обычно требует введения регуляризации в микроскопическом масштабе . В пределе все внутренние структуры причинной фермионной системы (такие как причинная структура, связность и кривизна) переходят в соответствующие структуры на лоренцевом спиновом многообразии. ^[5] Таким образом, геометрия пространства-времени полностью закодирована в соответствующих причинных фермионных системах.${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon \searrow 0}$

Квантовая механика и классические уравнения поля [ править ]

Уравнения Эйлера-Лагранжа, соответствующие принципу причинного действия, имеют четко определенный предел, если пространства-времени причинных фермионных систем переходят в пространство Минковского . Более конкретно, рассматривается последовательность причинных фермионных систем (например, с конечномерными, чтобы гарантировать существование фермионикова фоковского состояния, а также минимизаторов причинного действия), такая, что соответствующие волновые функции переходят в конфигурация взаимодействующих морей Дирака с участием дополнительных состояний частиц или «дыр» в морях. Эта процедура, называемая континуальным пределом , дает эффективные уравнения, имеющие структуру уравнения Дирака, связанные с классическими уравнениями поля${\displaystyle M:={\text{supp}}\,\rho }$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. Например, для упрощенной модели, включающей три элементарных фермионных частицы со спином два, взаимодействие через классическое аксиальное калибровочное поле ^[2] описывается связанными уравнениями Дирака и Янга-Миллса.${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(i\partial \!\!\!/\ +\gamma ^{5}A\!\!\!/\ -m)\psi &=0\\C_{0}(\partial _{j}^{k}A^{j}-\Box A^{k})-C_{2}A^{k}&=12\pi ^{2}{\bar {\psi }}\gamma ^{5}\gamma ^{k}\psi \,.\end{aligned}}}$

Взяв нерелятивистский предел уравнения Дирака, можно получить уравнение Паули или уравнение Шредингера , дающее соответствие квантовой механике . Здесь и зависят от регуляризации и определяют константу связи, а также массу покоя.${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle C_{2}}$

Точно так же для системы, включающей нейтрино в размерности спина 4, можно эффективно получить массивное калибровочное поле, связанное с левым компонентом спиноров Дирака. ^[2] Фермионная конфигурация стандартной модели может быть описана в размерности спина 16. ^[1]${\displaystyle SU(2)}$

Уравнения поля Эйнштейна [ править ]

Для только что упомянутой системы, включающей нейтрино, ^[2] континуальный предел также дает уравнения поля Эйнштейна, связанные со спинорами Дирака:

${\displaystyle R_{jk}-{\frac {1}{2}}\,R\,g_{jk}+\Lambda \,g_{jk}=\kappa \,T_{jk}[\Psi ,A]\,,}$

с точностью до поправок более высокого порядка по тензору кривизны. Здесь космологическая постоянная не определена и обозначает тензор энергии-импульса спиноров и калибровочного поля. Постоянная тяготения зависит от длины регуляризации.${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle T_{jk}}$${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle \kappa }$

Квантовая теория поля в пространстве Минковского [ править ]

Исходя из связанной системы уравнений, полученной в непрерывном пределе, и разлагаясь по степеням константы связи, можно получить интегралы, которые соответствуют диаграммам Фейнмана на уровне дерева. Фермионные петлевые диаграммы возникают из-за взаимодействия с состояниями моря, тогда как бозонные петлевые диаграммы появляются при усреднении микроскопической (в целом негладкой) пространственно-временной структуры причинной фермионной системы (так называемое микроскопическое перемешивание ). ^[3] Подробный анализ и сравнение со стандартной квантовой теорией поля находятся в стадии разработки. ^[4]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Веб-платформа по причинно-фермионным системам