Гипотеза Черна для аффинно плоских многообразий была предложена Шиинг-Шеном Черном в 1955 году в области аффинной геометрии . По состоянию на 2018 год это остается нерешенной математической проблемой.
Гипотеза утверждает Черна , что эйлерова характеристика о наличии компактных аффинных многообразия обращается в нуль.
Подробности
В случае если соединение ∇ является связность Леви-Чивита из римановой метрики , по формуле Черна-Гаусса-Бонне :
означает, что эйлерова характеристика равна нулю. Однако не все плоские соединения без кручения надопускают совместимую метрику, и, следовательно, теория Черна – Вейля не может использоваться, вообще говоря, для записи класса Эйлера в терминах кривизны.
История
Известно, что гипотеза верна в нескольких частных случаях:
- когда компактное аффинное многообразие двумерно (как было показано Жан-Полем Бензекри в 1955 году, а затем Джоном Милнором в 1957 году [1] )
- когда компактное аффинное многообразие является полным (т.е. аффинно диффеоморфно к фактор - пространству в аффинном пространстве под надлежащим действием дискретной группы из аффинных преобразований , то гипотеза верна, то результат показала Bertram Костант и Dennis Sullivan в 1975 году ; результат также немедленно следует из гипотезы Ауслендера ; Костант и Салливан показали, что замкнутое многообразие с ненулевой эйлеровой характеристикой не может допускать полной аффинной структуры)
- когда компактное аффинное многообразие является неприводимым локально симметричным многообразием более высокого ранга (как показали Уильям Голдман и Моррис Хирш в 1984 году; они показали, что неприводимое локально симметричное многообразие более высокого ранга никогда не может допускать аффинной структуры)
- когда компактное аффинное многообразие является локально произведением гиперболических плоскостей (как показали Мишель Бухер и Цачик Геландер в 2011 г.)
- когда компактное аффинное многообразие допускает параллельную форму объема (т. е. с линейной голономией в SL; его показал Бруно Клинглер в 2015 году; этот более слабый доказанный случай был известен как гипотеза Черна для специальных аффинных многообразий ; гипотеза Markus предсказывает это эквивалентно , чтобы быть полным)
- когда компактное аффинное многообразие представляет собой комплексную гиперболическую поверхность (как показано Хестером Питерсом в 2016 г.)
Дополнительно получены похожие результаты:
- В 1958 году Милнор доказал неравенства, полностью характеризующие ориентированные расслоения ранга два над поверхностью, допускающие плоскую связность.
- В 1977 году Смилли доказал, что условие отсутствия кручения в соединении имеет значение. Для каждого четного измерения больше 2 Смилли построил замкнутые многообразия с ненулевой эйлеровой характеристикой, допускающие плоскую связность на касательном расслоении [2]
Для плоских псевдоримановых многообразий или комплексных аффинных многообразий это следует из теоремы Черна – Гаусса – Бонне .
Кроме того, как было доказано М. В. Хиршем и Уильямом Терстоном в 1975 году для неполных аффинных многообразий, гипотеза верна, если группа голономии является конечным расширением, свободным произведением аменабельных групп (однако их результат применим к любым плоским расслоениям над многообразиями). [3]
В 1977 году Джон Смилли построил многообразие с касательным расслоением с ненулевой плоской связностью кручения и ненулевой эйлеровой характеристикой, таким образом, он опроверг сильную версию гипотезы о том, равна ли нулю эйлерова характеристика замкнутого плоского многообразия. [2]
Позже Хайк Ким и Хюнку Ли доказали для аффинных многообразий и в более общем плане проективных многообразий, развивающихся в анаффинное пространство с аменабельной голономией, с помощью другой техники, используя нестандартную полиэдральную теорему Гаусса – Бонне, разработанную Итаном Блохом, Кимом и Ли. [4] [5]
В 2002 году Сухён Чой слегка обобщил результат Хирша и Терстона о том, что если голономия замкнутого аффинного многообразия изоморфна аменабельным группам, объединенным или HNN-расширенным вдоль конечных групп, то эйлерова характеристика многообразия равна 0. Он показал, что если четномерное многообразие получается из операции связной суммы из K ( π , 1) s с аменабельными фундаментальными группами, то многообразие не допускает аффинной структуры (обобщение результата Смилли). [6]
В 2008 году, после простых примеров замкнутых многообразий с плоскими касательными расслоениями Смилли (они имели бы аффинные связности с нулевой кривизной, но, возможно, с ненулевым кручением), Бухер и Геландер получили дальнейшие результаты в этом направлении.
В 2015 году Михаил Кокос предложил возможный способ решения гипотезы и доказал, что эйлерова характеристика замкнутого четномерного аффинного многообразия равна нулю.
В 2016 году Хуэйтао Фэн ( кит . :冯惠涛) и Вэйпин Чжан , оба из Нанкайского университета , заявили, что доказывают это предположение в общем случае, но был обнаружен серьезный недостаток, поэтому впоследствии требование было отозвано. После исправления их текущий результат - формула, которая считает число Эйлера плоского векторного расслоения через вершины трансверсальных открытых покрытий. [7]
Как известно, внутренняя теорема Черна – Гаусса – Бонне, доказанная Черном о том, что эйлерова характеристика замкнутого аффинного многообразия равна нулю, применима только к ортогональным связностям, а не к линейным, поэтому гипотеза остается открытой в этой общности (аффинные многообразия значительно сложнее чем римановы многообразия , где метрическая полнота эквивалентна геодезической полноте).
Также существует родственная гипотеза Михаила Леонидовича Громова об обращении в нуль ограниченных когомологий аффинных многообразий. [8]
Связанные предположения
Гипотезу Черна можно рассматривать как частный случай следующей гипотезы:
Замкнутое асферическое многообразие с ненулевой эйлеровой характеристикой не допускает плоской структуры
Первоначально эта гипотеза была сформулирована для общих замкнутых многообразий, а не только для асферических (но благодаря Смилли есть контрпример), а сама она, в свою очередь, также может считаться частным случаем еще более общей гипотезы:
Замкнутое асферическое многообразие с ненулевым симплициальным объемом не допускает плоской структуры
Обобщая таким образом гипотезу Черна об аффинных многообразиях, она известна как обобщенная гипотеза Черна для многообразий, которые являются локально произведением поверхностей.
Рекомендации
- ^ Дж. Милнор, О существовании связи с нулевой кривизной, Commentarii Mathematici Helvetici , том 32 (1957), стр. 215–223
- ^ a b Дж. Смилли, Плоские многообразия с ненулевой эйлеровой характеристикой, Commentarii Mathematici Helvetici, том 52 (1977), стр. 453–456
- ^ М. Хирш и У. Терстон, Слоенные расслоения, инвариантные меры и плоские многообразия, Анналы математики , том 101 (1975), стр. 369–390
- ^ Х. Ким и Х. Ли, Эйлерова характеристика проективно плоских многообразий с аменабельными фундаментальными группами, Труды Американского математического общества , том 118 (1993), стр. 311–315
- ^ Х. Ким и Х. Ли, Эйлерова характеристика определенного класса проективно плоских многообразий, Топология и ее приложения, том 40 (1991), стр. 195–201
- ^ С. Чой, Гипотеза Черна для аффинно плоских многообразий с использованием комбинаторных методов, Geometriae Dedicata , volume 97 (2003), стр. 81–92
- ^ Фэн, Хуэйтао; Чжан, Вэйпин (2017). «Плоские векторные расслоения и открытые накрытия». arXiv : 1603.07248v3 [ math.DG ].
- ^ М. Громов, Асимптотические инварианты бесконечных групп. Геометрическая теория групп. Том 2 (1993), 8.A
дальнейшее чтение
- Дж. П. Бенцекри, Местные пластины Вариет, доктор философии Принстонского университета . дипломная работа (1955)
- JP Benzécri, Sur les varétés localement affines et projectives, Bulletin de la Société Mathématique de France , том 88 (1960), стр. 229–332
- У. Голдман и М. Хирш, Препятствие к сиянию и параллельные формы на аффинных многообразиях, Труды Американского математического общества , том 286, номер 2 (1984), стр. 629–649
- М. Бухер и Т. Геландер, Неравенства Милнора-Вуда для многообразий, которые являются локально произведением поверхностей, Успехи в математике , том 228 (2011), стр. 1503–1542
- Х. Питерс, Гиперболические пространства и ограниченные когомологии, доктор философии Женевского университета . дипломная работа (2016)
- Б. Костант и Д. Салливан, Эйлерова характеристика аффинной пространственной формы равна нулю, Бюллетень Американского математического общества , том 81, номер 5 (1975), стр. 937–938
- Дж. Милнор, О существовании связи с нулевой кривизной, Commentarii Mathematici Helvetici , том 32 (1957), стр. 215–223.
- Б. Клинглер, Гипотеза Черна для специальных аффинных многообразий, препринт 2015 г.
- Б. Клинглер, Гипотеза Черна для специальных аффинных многообразий, Анналы математики , том 186 (2017), стр. 1–27
- М. Хирш и В. Терстон, Слоенные расслоения, инвариантные меры и плоские многообразия, Анналы математики , том 101 (1975), стр. 369–390
- Дж. Смилли, Плоские многообразия с ненулевой эйлеровой характеристикой, Commentarii Mathematici Helvetici, том 52 (1977), стр. 453–456
- Х. Ким, Х. Ли, Эйлерова характеристика одного класса проективно плоских многообразий, Топология и ее приложения, том 40 (1991), стр. 195–201.
- Х. Ким и Х. Ли, Эйлерова характеристика проективно плоских многообразий с аменабельными фундаментальными группами, Труды Американского математического общества , том 118 (1993), стр. 311–315
- Э. Блох, Угловой дефект для произвольных многогранников, Beiträge zur Algebra und Geometrie, том 39 (1998), стр. 379–393
- Х. Ким, Полиэдральная формула Гаусса-Бонне и проективно плоские многообразия, препринт GARC, Сеульский национальный университет
- С. Чой, Гипотеза Черна для аффинно плоских многообразий с использованием комбинаторных методов, Geometriae Dedicata , том 97 (2003), стр. 81–92
- М. Бухер и Т. Геландер, Неравенства Милнора-Вуда для многообразий, локально изометричных произведению гиперболических плоскостей, Comptes Rendus Mathematique , том 346, номера 11–12 (2008), стр. 661–666
- Кокос, Михаил (2015). «Квазиметрические связности и гипотеза Черна об аффинных многообразиях». arXiv : 1504.04852v3 [ math.DG ].
- Фэн, Хуэйтао; Чжан, Вэйпин (2017). «Плоские векторные расслоения и открытые накрытия». arXiv : 1603.07248v3 [ math.DG ].
- М. ГРОМОВ. Асимптотические инварианты бесконечных групп. Геометрическая теория групп. Том 2 (1993), 8.A