Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В теории чисел , то теорема Бейкер-Хегнер-Старк [1] говорится , какие именно квадратичные поля мнимого числа допускают уникальные факторизации в их кольце целых чисел . Он решает частный случай проблемы числа классов Гаусса по определению числа мнимых квадратичных полей, которые имеют заданный фиксированный номер класса .

Пусть Q обозначает множество рациональных чисел , и пусть d не квадратное целое число . Тогда Q ( √ d ) представляет собой конечное расширение из Q степени 2, называется квадратичным расширением. Число классов из Q ( √ г ) есть число классов эквивалентности из идеалов кольца целых чисел Q ( √ г ), где два идеала I и J эквивалентны тогда и только тогда , когдасуществуют главные идеалы ( ) и ( Аргументы B ) таким образом, что ( ) Я = ( б ) J . Таким образом, кольцо целых чисел Q ( √ d ) является областью главных идеалов (и, следовательно, единственной областью факторизации ) тогда и только тогда, когда число классов Q ( √ d ) равно 1. Теорема Бейкера – Хегнера – Штарка можно тогда сформулировать следующим образом:

Если d <0, то номер класса Q ( √ d ) равен 1 тогда и только тогда, когда

Они известны как числа Хегнера .

Этот список также записывается, заменяя −1 на −4 и −2 на −8 (что не меняет поле), как: [2]

где D интерпретируется как дискриминант (либо числового поля, либо эллиптической кривой с комплексным умножением ). Это более стандартно, так как тогда D являются фундаментальными дискриминантами .

История [ править ]

Этот результат был впервые высказан Гауссом в разделе 303 его Disquisitiones Arithmeticae (1798). По сути, это было доказано Куртом Хегнером в 1952 году, но в доказательстве Хегнера были некоторые незначительные пробелы, и теорема не была принята до тех пор, пока Гарольд Старк не дал полное доказательство в 1967 году, которое имело много общего с работой Хегнера, но достаточно много различий, чтобы Старк считал доказательства отличаться. [3] Хегнер «умер прежде, чем кто-либо действительно понял, что он сделал». [4] Старк формально заполнил пробел в доказательстве Хегнера в 1969 году (в других современных работах были представлены различные аналогичные доказательства с помощью модулярных функций, но Старк сосредоточился на явном заполнении пробела Хегнера).[5]

Алан Бейкер дал совершенно другое доказательство немного раньше (1966 г.), чем работа Старка (или, точнее, Бейкер сократил результат до конечного количества вычислений, причем работа Старка в его диссертации 1963/4 г. уже обеспечивала это вычисление) и получил медаль Филдса. за его методы. Позднее Старк указал, что доказательство Бейкера, использующее линейные формы от 3 логарифмов, может быть сведено только к 2 логарифмам, тогда как результат был известен еще с 1949 года Гельфондом и Линником. [6]

В статье Старка 1969 года ( Stark 1969a ) также цитируется текст 1895 года Генриха Мартина Вебера и отмечается, что если бы Вебер «только заметил, что сводимость [определенного уравнения] привела бы к диофантову уравнению , проблема первого класса была бы были решены 60 лет назад ". Брайан Бёрч отмечает, что книга Вебера и, по сути, вся область модульных функций, на полвека перестали представлять интерес: «К сожалению, в 1952 году не осталось никого, кто достаточно разбирался в алгебре Вебера, чтобы оценить достижения Хегнера». [7]

Дойринг, Сигель и Чоула в первые годы после Старка дали несколько вариативные доказательства с помощью модульных функций . [8] Другие версии в этом жанре также появлялись с годами. Например, в 1985 году Монсур Кенку дал доказательство, используя квартику Клейна (хотя опять же с использованием модульных функций). [9] И снова, в 1999 году Имин Чен дал другое доказательство варианта с помощью модульных функций (следуя схеме Зигеля). [10]

Работа Гросса и Загьера (1986) ( Гросс и Загье 1986 ) в сочетании с работой Голдфельда (1976) также дает альтернативное доказательство. [11]

Реальный случай [ править ]

С другой стороны, неизвестно, существует ли бесконечно много d > 0, для которого Q ( √ d ) имеет класс номер 1. Результаты вычислений показывают, что таких полей много. Number Fields с классом номер один содержит список некоторых из них.

Примечания [ править ]

  1. ^ Элкис (1999) называет это теоремой Старка-Хегнера (аналог точек Старка-Хегнера, как на стр. Xiii Дармона (2004) ), но опускание имени Бейкера нетипично. Чоула (1970) бесплатно добавляет Дойринга и Сигеля в название своей статьи.
  2. ^ Elkies (1999) , стр. 93.
  3. ↑ Старк (2011), стр.42
  4. ^ Голдфельд (1985) .
  5. ↑ Старк (1969a)
  6. ↑ Старк (1969b)
  7. ^ Береза ​​(2004)
  8. ^ Чоула (1970)
  9. ^ Kenku (1985) .
  10. ^ Чен (1999)
  11. ^ Голдфельд (1985)

Ссылки [ править ]

  • Берч, Брайан (2004), «Очки Хегнера: Начало», Публикации ИИГС , 49 : 1–10[1]
  • Чен, Imin (1999), "О Зигеля Modular кривой 5 уровня и номер класса одной задачи", Ж. Теория чисел , 74 (2): 278-297, DOI : 10,1006 / jnth.1998.2320
  • Чоула, С. (1970), "Теорема Хегнера – Старка – Бейкера – Дойринга – Зигеля", Crelle , 241 : 47–48[2]
  • Дармон, Анри (2004), «Предисловие к очкам Хегнера и серии L Ранкина », Публикации ИИГС , 49 : ix – xiii[3]
  • Элкис, Ноам Д. (1999), «Кляйн-квартет в теории чисел» (PDF) , в Леви, Сильвио (ред.), Восьмеричный путь: красота четвертичной кривой Кляйна , Публикации ИИГС , 35 , Cambridge University Press, С. 51–101, MR  1722413
  • Голдфельда, Дориан (1985), «номер класса проблема Гаусса для мнимых квадратичных полей», Бюллетень Американского математического общества , 13 : 23-37, DOI : 10,1090 / S0273-0979-1985-15352-2 , MR  0788386
  • Гросс, Бенедикт Х .; Загира, Дон Б. (1986), "Хегнера точки и производные L-серии", Inventiones Mathematicae , 84 (2): 225-320, DOI : 10.1007 / BF01388809 , МР  0833192.
  • Хегнера, Курт (1952), "Diophantische анализ унд Modulfunktionen" [диофантову анализ и модульные функции] Mathematische Zeitschrift (на немецком), 56 (3): 227-253, DOI : 10.1007 / BF01174749 , МР  0053135
  • Kenku, MQ (1985), "Замечание о целых точках модульного кривого уровня 7", Mathematika , 32 : 45-48, DOI : 10,1112 / S0025579300010846 , МР  0817106
  • Леви, Сильвио, изд. (1999), Восьмеричный путь: красота кривой четвертого порядка Кляйна, Публикации ИИГС , 35 , Cambridge University Press
  • Старк, HM (1969a), "О пробеле в теореме Хегнера" (PDF) , Журнал теории чисел , 1 : 16–27, DOI : 10.1016 / 0022-314X (69) 90023-7
  • Stark, HM (1969b), "Историческая справка о комплексных квадратичных полях с классом номер один", Proc. Амер. Математика. Soc. , 21 : 254–255, DOI : 10.1090 / S0002-9939-1969-0237461-X
  • Старк, HM (2011), Происхождение гипотез «Штарка» , появляющихся в арифметике L-функций[4]