Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В абстрактной алгебре , когомологическая размерность является инвариантом группы , которая измеряет гомологическую сложность его представлений. Он имеет важные приложения в геометрической теории групп , топологии и теории алгебраических чисел .

Когомологическое измерение группы [ править ]

Как и большинство когомологических инвариантов, когомологическая размерность включает в себя выбор «кольца коэффициентов» R , с выдающимся частным случаем, заданным R  =  Z , кольцом целых чисел . Пусть G - дискретная группа , R - ненулевое кольцо с единицей, а RG - групповое кольцо . Группа G имеет когомологическую размерность, меньшую или равную n , обозначаемую cd R ( G ) ≤  n , если тривиальный RG -модуль R имеетпроективное разрешение длиной п , т.е. существует проективная РГ -модули Р 0 , ..., Р п и РГ - модуль гомоморфизмы д к : Р к Р к  - 1 ( к = 1, ..., п ) и д - : P 0 R , такой, что образ d k совпадает с ядром d k  - 1 при k = 1, ..., n и ядромd n тривиально.

Эквивалентно, когомологическая размерность меньше или равна п , если для произвольного РГ - модуль М , то когомологий из G с коэффициентами в М равна нулю в градусах к > п , т, Н к ( G , М ) = 0 , когда K > п . Р -cohomological размер для простого р аналогично определяется в терминах р -кручения группы Н к ( G , М ) {p }. [1]

Наименьшее п такое , что когомологическая размерность G меньше или равно п представляет собой когомологическую размерность в G (с коэффициентами R ), который обозначается .

Свободное разрешение может быть получено из свободного действия группы G на стягиваемом топологическом пространстве X . В частности, если X - стягиваемый CW комплекс размерности n со свободным действием дискретной группы G, которая переставляет клетки, то .

Примеры [ править ]

Пусть в первой группе примеров кольцо коэффициентов R равно .

Рассмотрим теперь случай общего кольца R .

  • Группа G имеет размерность 0 когомологическую тогда и только тогда , когда ее групповое кольцо RG является полупрост . Таким образом , конечная группа имеет размерность когомологическую 0 тогда и только тогда , когда ее порядок (или, что то же самое, порядки ее элементов) обратим в R .
  • Обобщая теорему Сталлингса-Лебедь для , Мартин Данвуди доказал , что группа имеет когомологическую размерность не более одного над произвольным кольцом R тогда и только тогда , когда она является фундаментальной группой связного графа конечных групп , порядки которых обратимы в R .

Когомологическая размерность поля [ править ]

Р -cohomological размерность поля К является р -cohomological размерности группы Галуа о наличии сепарабельному закрытия из K . [4] Когомологическая размерность K - это верхняя грань p- когомологической размерности по всем простым числам p . [5]

Примеры [ править ]

  • Каждое поле ненулевой характеристики p имеет p -когомологическую размерность не выше 1. [6]
  • Каждое конечное поле имеет абсолютную группу Галуа, изоморфную ей, и поэтому имеет когомологическую размерность 1. [7]
  • Поле формальных рядов Лорана над алгебраически замкнутым полем k ненулевой характеристики также имеет абсолютную группу Галуа, изоморфную и, следовательно, когомологическую размерность 1. [7]

См. Также [ править ]

  • Гипотеза Эйленберга-Ганеа
  • Групповые когомологии
  • Глобальное измерение

Ссылки [ править ]

  1. ^ Гилле и Самуэли (2006) стр.136
  2. ^ Баумслаг, Gilbert (2012). Разделы комбинаторной теории групп . Springer Basel AG. п. 16. CS1 maint: discouraged parameter (link)
  3. ^ Грюнберг, Карл В. (1975). «Обзор гомологий в теории групп Урса Штаммбаха» . Бюллетень Американского математического общества . 81 : 851–854. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1975-13858-4 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
  4. ↑ Shatz (1972), стр.94
  5. ↑ Гилле и Самуэли (2006), стр.138
  6. ↑ Гилле и Самуэли (2006), стр.139
  7. ^ a b Гилле и Самуэли (2006) стр.140
  • Браун, Кеннет С. (1994). Когомологии групп . Тексты для выпускников по математике . 87 (Исправленная перепечатка оригинального издания 1982 г.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-90688-6. Руководство по ремонту  1324339 . Zbl  0584.20036 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
  • Дикс, Уоррен (1980). Группы, деревья и проективные модули . Конспект лекций по математике. 790 . Берлин: Springer-Verlag . DOI : 10.1007 / BFb0088140 . ISBN 3-540-09974-3. Руководство по ремонту  0584790 . Zbl  0427.20016 .
  • Дыдак, Ежи (2002). «Когомологическая теория размерности». В Давермане, Р.Дж. (ред.). Справочник по геометрической топологии . Амстердам: Северная Голландия . С. 423–470. ISBN 0-444-82432-4. MR  1886675 . Zbl  0992.55001 .
  • Жиль, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006). Центральные простые алгебры и когомологии Галуа . Кембриджские исследования в области высшей математики. 101 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-86103-9. Zbl  1137.12001 .
  • Серр, Жан-Пьер (1997). Когомологии Галуа . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61990-9. Zbl  0902.12004 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
  • Шац, Стивен С. (1972). Проконечные группы, арифметика и геометрия . Анналы математических исследований. 67 . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN 0-691-08017-8. Руководство по ремонту  0347778 . Zbl  0236.12002 .
  • Столлингс, Джон Р. (1968). «О группах без кручения с бесконечным числом концов». Анналы математики . Вторая серия. 88 : 312–334. DOI : 10.2307 / 1970577 . ISSN  0003-486X . Руководство по ремонту  0228573 . Zbl  0238.20036 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
  • Свон, Ричард Г. (1969). «Группы когомологической размерности один». Журнал алгебры . 12 : 585–610. DOI : 10.1016 / 0021-8693 (69) 90030-1 . ISSN  0021-8693 . Руководство по ремонту  0240177 . Zbl  0188.07001 . CS1 maint: discouraged parameter (link)