В математике , бинарная операция является коммутативной , если меняется порядок операндов не изменяет результат. Это фундаментальное свойство многих бинарных операций, и от него зависят многие математические доказательства . Наиболее знакомое название свойства - «3 + 4 = 4 + 3» или «2 × 5 = 5 × 2» , свойство также можно использовать в более сложных настройках. Имя необходимо, потому что есть операции, такие как деление и вычитание , у которых его нет (например, «3 - 5 ≠ 5 - 3» ); такие операции не коммутативны и поэтому называютсянекоммутативные операции . Идея коммутативности простых операций, таких как умножение и сложение чисел, в течение многих лет предполагалась неявно. Таким образом, это свойство не было названо до XIX века, когда математика начала формализоваться. [1] [2] Соответствующее свойство существует для бинарных отношений ; бинарное отношение называется симметричным, если отношение применяется независимо от порядка его операндов; например, равенство симметрично, поскольку два равных математических объекта равны независимо от их порядка. [3]
Общее использование
Свойство коммутативности (или закон коммутативности ) - это свойство, обычно связанное с бинарными операциями и функциями . Если свойство коммутативности выполняется для пары элементов при определенной бинарной операции, то говорят, что эти два элемента коммутируют при этой операции.
Математические определения
Термин «коммутативный» используется в нескольких связанных смыслах. [4] [5]
- Бинарная операция на множестве S называется коммутативным, если: Операция, не удовлетворяющая указанному выше свойству, называется некоммутативной .
- Говорят, что x коммутирует с y при если:
- Бинарная функция называется коммутативным, если:
Примеры
Коммутативные операции в повседневной жизни
- Надевание носков похоже на коммутационную операцию, поскольку неважно, какой носок надеть первым. В любом случае результат (если надеты оба носка) будет одинаковым. Напротив, надевание нижнего белья и брюк не является перекрестным.
- Коммутативность сложения соблюдается при оплате товара наличными. Независимо от порядка подачи счетов, они всегда дают одинаковую сумму.
Коммутативные операции в математике
Два хорошо известных примера коммутативных бинарных операций: [4]
- Сложение из действительных чисел коммутативно, так какНапример, 4 + 5 = 5 + 4, поскольку оба выражения равны 9.
- Умножение из действительных чисел коммутативно, так как
Например, 3 × 5 = 5 × 3, поскольку оба выражения равны 15.
Как прямое следствие этого, также верно, что выражения в форме y% от z и z% от y являются коммутативными для всех действительных чисел y и z. [6] Например, 64% от 50 = 50% от 64, поскольку оба выражения равны 32, а 30% от 50% = 50% от 30%, поскольку оба этих выражения равны 15%.
Некоторые двоичные функции истинности также являются коммутативными, поскольку таблицы истинности для функций остаются неизменными при изменении порядка операндов.
Например, логическая двусмысленная функция p ↔ q эквивалентна q ↔ p. Эта функция также записывается как p IFF q, или как p ≡ q, или как E pq .
Последняя форма представляет собой пример наиболее сжатой записи в статье о функциях истинности, в которой перечислены шестнадцать возможных двоичных функций истинности, из которых восемь являются коммутативными: V pq = V qp ; A pq (OR) = A qp ; D pq (И-НЕ) = D qp ; E pq (IFF) = E qp ; J pq = J qp ; K pq (И) = K qp ; X pq (NOR) = X qp ; O pq = O qp .
- Дальнейшие примеры коммутативных бинарных операций включают в себя сложение и умножение комплексных чисел , сложение и скалярное умножение на векторы , и пересечение и объединение из множеств .
Некоммутативные операции в повседневной жизни
- Конкатенация , объединение символьных строк вместе, является некоммутативной операцией. Например,
- EA + T = ЕСТЬ ≠ ЧАЙ = T + EA
- Стирка и сушка белья похожи на некоммутативную операцию; стирка с последующей сушкой дает результат, совершенно отличный от сушки и последующей стирки.
- Поворот книги на 90 ° вокруг вертикальной оси, а затем на 90 ° вокруг горизонтальной оси дает другую ориентацию, чем когда вращения выполняются в противоположном порядке.
- Повороты кубика Рубика некоммутативны. Это можно изучить с помощью теории групп .
- Мыслительные процессы некоммутативны: человек, задавший вопрос (А), а затем вопрос (В), может давать разные ответы на каждый вопрос, чем человек, который сначала задал (В), а затем (А), потому что задание вопроса может изменить состояние человека. ума.
- Акт одевания может быть коммутативным или некоммутативным, в зависимости от предметов. Носить нижнее белье и обычную одежду нельзя. Надевание левых и правых носков коммутативно.
- Перетасовка колоды карт некоммутативна. Учитывая два способа тасования колоды, A и B, сначала выполнить A, а затем B, в общем, не то же самое, что сначала выполнить B, а затем A.
Некоммутативные операции в математике
Некоторые некоммутативные бинарные операции: [7]
Деление и вычитание
Деление некоммутативно, так как.
Вычитание некоммутативно, так как. Однако более точно он классифицируется как антикоммутативный , поскольку.
Функции правды
Некоторые функции истинности некоммутативны, поскольку таблицы истинности для функций различаются при изменении порядка операндов. Например, таблицы истинности для (A ⇒ B) = (¬A ∨ B) и (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) являются
А B А ⇒ Б B ⇒ A F F Т Т F Т Т F Т F F Т Т Т Т Т
Функциональная композиция линейных функций
Композиция функций из линейных функций от действительных чисел до действительных чисел почти всегда некоммутативна. Например, пусть а также . потом
а также
Это также применимо в более общем случае для линейных и аффинных преобразований из векторного пространства в себя (см. Ниже матричное представление).
Умножение матриц
Умножение матриц из квадратных матриц почти всегда некоммутативно, например:
Векторный продукт
Векторное произведение (или векторное произведение ) двух векторов в трех измерениях является анти-коммутативное ; т.е. b × a = - ( a × b ).
История и этимология
Записи о неявном использовании коммутативного свойства восходят к древним временам. В Египтяне использовали коммутативное свойство умножения для упрощения вычислительных продуктов . [8] [9] Евклид, как известно, предположил коммутативное свойство умножения в своей книге « Элементы» . [10] Формальное использование коммутативности возникло в конце 18 и начале 19 веков, когда математики начали работать над теорией функций. Сегодня коммутативность - это хорошо известное и основное свойство, используемое в большинстве разделов математики.
Первое зарегистрированное использование термина коммутативность было в мемуарах Франсуа Сервуа в 1814 году [1] [11], в котором слово коммутативы использовалось при описании функций, обладающих тем, что сейчас называется коммутативным свойством. Это слово представляет собой комбинацию французского слова « пригородный», означающего «заменять или переключать», и суффиксного падежа, означающего « стремиться к», поэтому слово буквально означает «стремление заменить или переключить». Затем этот термин появился на английском языке в 1838 году [2] в статье Дункана Фаркухарсона Грегори , озаглавленной «О реальной природе символической алгебры», опубликованной в 1840 году в « Трудах Королевского общества Эдинбурга» . [12]
Логика высказываний
Правило замены
В истинности функциональной логики, коммутация , [13] [14] или коммутативности [15] относятся к двум действительным правилам замены . Правила позволяют переносить пропозициональные переменные в логические выражения в логических доказательствах . Правила следующие:
а также
где ""- металогический символ, представляющий" может быть заменено в доказательстве на ".
Функциональные связки истины
Коммутативность - это свойство некоторых логических связок функциональной логики высказываний истинности . Следующие логические эквивалентности демонстрируют, что коммутативность является свойством определенных связок. Ниже приведены функциональные тавтологии истины .
- Коммутативность конъюнкции
- Коммутативность дизъюнкции
- Коммутативность импликации (также называемая законом перестановки)
- Коммутативность эквивалентности (также называемая полным коммутативным законом эквивалентности)
Теория множеств
В теории групп и множеств многие алгебраические структуры называются коммутативными, если определенные операнды удовлетворяют свойству коммутативности. В более высоких разделах математики, таких как анализ и линейная алгебра, коммутативность хорошо известных операций (таких как сложение и умножение действительных и комплексных чисел) часто используется (или неявно предполагается) в доказательствах. [16] [17] [18]
Математические структуры и коммутативность
- Коммутативной полугруппы есть множество наделено общей, ассоциативной и коммутативной операцией.
- Если операция дополнительно имеет единичный элемент , мы имеем коммутативный моноид
- Абелева группа , или коммутативная группа представляет собой группу , чья группа операция коммутативна. [17]
- Коммутативное кольцо является кольцом которого умножение коммутативно. (Сложение в кольце всегда коммутативно.) [19]
- В поле и сложение, и умножение коммутативны. [20]
Связанные свойства
Ассоциативность
Ассоциативное свойство тесно связано с коммутативным свойством. Свойство ассоциативности выражения, содержащего два или более вхождения одного и того же оператора, гласит, что порядок выполнения операций не влияет на конечный результат, пока порядок терминов не изменяется. Напротив, свойство коммутативности утверждает, что порядок терминов не влияет на окончательный результат.
Большинство встречающихся на практике коммутативных операций также ассоциативны. Однако коммутативность не означает ассоциативности. Контрпримером является функция
который явно коммутативен (перестановка x и y не влияет на результат), но не ассоциативен (поскольку, например, но ). Больше таких примеров можно найти в коммутативных неассоциативных магмах .
Распределительный
Симметрия
Некоторые формы симметрии могут быть напрямую связаны с коммутативностью. Когда коммутативный оператор записывается как двоичная функция, тогда результирующая функция симметрична по строке. В качестве примера, если мы позволим функции f представлять сложение (коммутативную операцию), так что тогда - симметричная функция, которую можно увидеть на соседнем изображении.
Для отношений симметричное отношение аналогично коммутативной операции в том смысле, что если отношение R симметрично, то.
Некоммутирующие операторы в квантовой механике
В квантовой механике, сформулированной Шредингером , физические переменные представлены линейными операторами, такими как (имеется в виду умножить на ), а также . Эти два оператора не ходят на работу, что можно увидеть, если учесть влияние их состава. а также (также называемые произведениями операторов) на одномерной волновой функции :
В соответствии с принципом неопределенности в Гейзенберга , если два оператора , представляющие собой пару переменных не коммутируют, то , что пара переменных взаимно дополняют друг друга , что означает , что они не могут быть одновременно измерены или известны точно. Например, положение и количество движения в-направления частицы представлены операторами а также соответственно (где - приведенная постоянная Планка ). Это тот же пример, за исключением константы, так что снова операторы не коммутируют, и физический смысл состоит в том, что положение и линейный импульс в данном направлении дополняют друг друга.
Смотрите также
- Антикоммутативное свойство
- Центратор и нормализатор (также называемый коммутантом)
- Коммутативная диаграмма
- Коммутативный (нейрофизиология)
- Коммутатор
- Закон параллелограмма
- Статистика частиц (для коммутативности в физике )
- Квазикоммутативное свойство
- Моноид трассировки
- Вероятность переезда
Заметки
- ^ a b Cabillón & Miller , коммутатор и дистрибутив
- ^ a b Флуд, Раймонд; Райс, Адриан; Уилсон, Робин , ред. (2011). Математика в викторианской Британии . Издательство Оксфордского университета . п. 4. ISBN 9780191627941.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Симметричное отношение» . MathWorld .
- ^ a b Краун, стр.1
- ↑ Weisstein, Commute , p.1.
- ^ «Совместимые числа для упрощения процента проблем» . Дата обращения 17 июля 2020 .
- ^ Ярк , стр. 1
- ^ Lumpkin 1997 , стр. 11
- ^ Гей и Шут 1987
- ^ О'Коннор & Robertson Real Numbers
- ^ О'Коннор & Robertson, Servois
- ^ Григорий, Д.Ф. (1840 г.). «О настоящей природе символической алгебры» . Труды Королевского общества Эдинбурга . 14 : 208–216.
- ^ Мур и Паркер
- ^ Копи и Коэн 2005
- ^ Херли и Ватсон 2016
- ^ Axler 1997 , стр. 2
- ^ a b Галлиан 2006 , стр. 34
- ^ Gallian 2006 , стр. 26,87
- ^ Gallian 2006 , стр. 236
- ^ Gallian 2006 , стр. 250
Рекомендации
Книги
- Акслер, Шелдон (1997). Линейная алгебра сделано правильно, 2e . Springer. ISBN 0-387-98258-2.
- Абстрактная теория алгебры. Охватывает коммутативность в этом контексте. Использует собственность на протяжении всей книги.
- Копи, Ирвинг М .; Коэн, Карл (2005). Введение в логику (12-е изд.). Прентис Холл. ISBN 9780131898349.
- Галлиан, Джозеф (2006). Современная абстрактная алгебра (6е изд.). Хоутон Миффлин. ISBN 0-618-51471-6.
- Теория линейной алгебры. Объясняет коммутативность в главе 1, использует ее повсюду.
- Гудман, Фредерик (2003). Алгебра: абстрактное и конкретное, Симметрия напряжений (2-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-067342-0.
- Абстрактная теория алгебры. В книге используется свойство коммутативности.
- Херли, Патрик Дж .; Уотсон, Лори (2016). Краткое введение в логику (12-е изд.). Cengage Learning. ISBN 978-1-337-51478-1.
Статьи
- Лумпкин, Б. (1997). «Математическое наследие Древнего Египта - ответ Роберту Палтеру» (PDF) (неопубликованная рукопись). Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь )- Статья с описанием математических способностей древних цивилизаций.
- Гей, Робинс Р .; Шут, Чарльз CD (1987). Математический папирус Райнда: древнеегипетский текст . Британский музей. ISBN 0-7141-0944-4.
- Перевод и интерпретация Математического папируса Райнда .
Интернет-ресурсы
- "Коммутативность" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Краун, Аарон, Commutative at PlanetMath ., Доступ 8 августа 2007 г.
- Определение коммутативности и примеры коммутативных операций
- Вайсштейн, Эрик В. «Поездка на работу» . MathWorld ., По состоянию на 8 августа 2007 г.
- Пояснение к термину коммутируют
- «Ярк» . Примеры некоммутативных операций в PlanetMath ., По состоянию на 8 августа 2007 г.
- Примеры, доказывающие некоторые некоммутативные операции
- О'Коннер, Джей Джей; Робертсон, Э. Ф. "История действительных чисел" . MacTutor . Проверено 8 августа 2007 года .
- Статья с историей реальных чисел
- Кабильон, Хулио; Миллер, Джефф. «Самые ранние известные виды использования математических терминов» . Источник +22 Ноября 2 008 .
- Страница, охватывающая самые ранние употребления математических терминов
- О'Коннер, Джей Джей; Робертсон, Э. Ф. "Биография Франсуа Сервуа" . MacTutor . Проверено 8 августа 2007 года .
- Биография Франсуа Сервуа, который первым использовал термин