В теории моделей и связанных с ними областях математики , тип является объектом , который описывает , как элемент (реальный или возможно) или конечный набор элементов в математической структуре могут вести себя. Точнее, это набор формул первого порядка в языке L со свободными переменными x 1 , x 2 ,…, x n , которые истинны для последовательности элементов L -структуры. В зависимости от контекста типы могут быть полными или частичными, и они могут использовать фиксированный набор констант A из структуры. Вопрос о том, какие типы представляют собой фактические элементыприводит к идеям насыщенных моделей и исключения типов .
Формальное определение
Рассмотрим структуру для языка L . Пусть M - вселенная структуры. Для каждого A ⊆ M , пусть L ( ) быть языком , полученный из L , добавив константу с для каждого а ∈ A . Другими словами,
Тип 1 (из) над A - это множество p ( x ) формул в L ( A ) с не более чем одной свободной переменной x (следовательно, 1-типа), такое что для каждого конечного подмножества p 0 ( x ) ⊆ p ( x ) существует некоторое b ∈ M , в зависимости от p 0 ( x ), причем(т.е. все формулы в p 0 ( x ) верны вкогда x заменяется на b ).
Аналогично n -тип (из) над A определяется как набор p ( x 1 ,…, x n ) = p ( x ) формул в L ( A ), каждая из которых имеет свои свободные переменные, встречающиеся только среди заданных n свободных переменных x 1 ,…, x n , такое что для любого конечного подмножества p 0 ( x ) ⊆ p ( x ) существуют элементы b 1 ,…, b n ∈ M с.
Полный вид изнад A - максимальное по включению. Равно как для каждого либо или же . Любой неполный тип называется частичным типом . Таким образом, слово тип в целом относится к любому n -типу, частичному или полному, по любому выбранному набору параметров (возможно, к пустому набору).
П - типа р ( х ) называетсяреализовано в если существует такой элемент b ∈ M n , что. Существование такой реализации в гарантируются для любого типа по теореме компактности , хотя реализация может иметь место в некотором элементарном расширении в, а не в сам. Если полный тип реализуется посредством b в, то тип обычно обозначается и упоминается как вполне тип Ь над А .
Тип p ( x ) называется изолированным, для , если . Поскольку конечные подмножества типа всегда реализуются в, всегда найдется элемент b ∈ M n такой, что φ ( b ) истинно в; т.е., таким образом, b реализует весь изолированный тип. Таким образом, изолированные типы будут реализованы в каждой элементарной подструктуре или расширении. Из-за этого нельзя исключать изолированные типы (см. Ниже).
Модель, которая реализует максимально возможное разнообразие типов, называется насыщенной моделью , а сверхмощная конструкция обеспечивает один из способов создания насыщенных моделей.
Примеры типов
Рассмотрим язык с одной бинарной связкой, которую мы обозначим как . Позволять быть структурой для этого языка, который является порядковым со стандартной хорошей упорядоченностью. Позволять обозначают теорию .
Рассмотрим набор формул . Во-первых, мы утверждаем, что это тип. Позволять быть конечным подмножеством . Нам нужно найти который удовлетворяет всем формулам в . Что ж, мы можем просто взять преемника самого большого порядкового номера, упомянутого в наборе формул. Тогда это будет явно содержать все порядковые номера, упомянутые в. Таким образом, мы имеемэто тип. Затем обратите внимание, что не реализуется в . Ибо, если бы это было, были бы некоторые который содержит каждый элемент . Если бы мы хотели реализовать тип, у нас могло бы возникнуть соблазн рассмотреть модель, которая действительно является супермоделью что понимает тип. К сожалению, это расширение не элементарно, то есть эта модель не должна удовлетворять. В частности, приговор доволен этой моделью, а не .
Итак, мы хотим реализовать тип в простейшем расширении. Мы можем сделать это, определив новую структуру на языке, которую мы обозначим. Домен структуры будет где набор целых чисел, украшенный таким образом, что . Позволять обозначают обычный порядок . Интерпретируем символ в нашей новой структуре . Идея в том, что мы добавляем "-chain », или копию целых чисел, прежде всего конечных ординалов. Очевидно, что любой элемент понимает тип . Более того, можно убедиться, что это расширение элементарно.
Другой пример: полный тип числа 2 над пустым набором, рассматриваемым как член натуральных чисел, будет набором всех операторов первого порядка, описывающих переменную x , которые истинны, когда x = 2. Этот набор будет включать такие формулы, как, , а также . Это пример изолированного типа, поскольку, работая над теорией натуральных чисел, формула подразумевает все остальные формулы, относящиеся к числу 2.
В качестве дальнейшего примера утверждения
а также
описание квадратного корня из 2 согласуется с аксиомами упорядоченных полей и может быть расширено до полного типа. Этот тип не реализуется в упорядоченном поле рациональных чисел, но реализуется в упорядоченном поле вещественных чисел. Точно так же бесконечный набор формул (над пустым набором) {x> 1, x> 1 + 1, x> 1 + 1 + 1, ...} не реализуется в упорядоченном поле действительных чисел, а реализуется в упорядоченном поле гиперреалов . Если мы разрешаем параметры, например все вещественные числа, мы можем указать типэто реализуется бесконечно малым гиперреальным, что нарушает свойство Архимеда .
Причина, по которой полезно ограничить параметры определенным подмножеством модели, заключается в том, что это помогает отличать типы, которые могут быть удовлетворены, от тех, которые не могут. Например, используя весь набор действительных чисел в качестве параметров, можно сгенерировать бесчисленное множество формул типа, , ... это явно исключило бы все возможные действительные значения x и, следовательно, никогда не могло бы быть реализовано в рамках реальных чисел.
Каменные пространства
Множество полных n -типов над A полезно рассматривать как топологическое пространство . Рассмотрим следующее отношение эквивалентности формул в свободных переменных x 1 ,…, x n с параметрами в A :
Можно показать, что тогда и только тогда, когда они содержатся в точно таких же полных типах.
Множество формул от свободных переменных x 1 ,…, x n над A с точностью до этого отношения эквивалентности является булевой алгеброй (и канонически изоморфно множеству A -определяемых подмножеств в M n ). Полные n -типы соответствуют ультрафильтрам этой булевой алгебры. Набор полных n -типов можно превратить в топологическое пространство, взяв наборы типов, содержащие данную формулу, в качестве базовых открытых множеств. Это создает пространство Камня , которое является компактным , хаусдорфовым и полностью отключенным .
Пример . Полная теория алгебраически замкнутых полей в характерном 0 имеет квантор элиминации , что позволяет один , чтобы показать , что возможных полных 1-типов (по пустому множеству) , соответствуют:
- Корни данного неприводимого непостоянного многочлена над рациональными числами со старшим коэффициентом 1. Например, тип квадратных корней из 2. Каждый из этих типов является открытой точкой пространства Стоуна.
- Трансцендентные элементы, не являющиеся корнями ненулевого многочлена. Этот тип - точка в пространстве Камня, которая закрыта, но не открыта.
Другими словами, 1-типы в точности соответствуют первичным идеалам кольца многочленов Q [ x ] над рациональными числами Q : если r является элементом модели типа p , то идеал, соответствующий p, является множеством многочленов с корнем r (который является нулевым многочленом, если r трансцендентно). В более общем смысле, полные n -типы соответствуют первичным идеалам кольца многочленов Q [ x 1 , ..., x n ], другими словами, точкам простого спектра этого кольца. (Камень пространства топология может на самом деле следует рассматривать как Зарискому топологии в виде булева кольца индуцированного естественным образом из булевой алгебры. В то время как топология Зариской в общем случае не Хаусдорф, то в случае булевых колец). Например , если q ( x , y ) - неприводимый многочлен от двух переменных, существует 2-тип, реализации которого (неформально) пары ( x , y ) элементов с q ( x , y ) = 0.
Теорема об исключении типов
Для полного n -типа p можно спросить, существует ли модель теории, в которой p отсутствует , другими словами, в модели, реализующей p, нет n -набора . Если p - изолированная точка в пространстве Стоуна, т.е. если { p } - открытое множество, легко видеть, что каждая модель реализует p (по крайней мере, если теория полна). Теорема об исключении типов говорит, что наоборот, если p не изолирован, то существует счетная модель, в которой p не используется (при условии, что язык счетный).
Пример : В теории алгебраически замкнутых полей характеристики 0 существует 1-тип, представленный элементами, трансцендентными над простым полем . Это неизолированная точка пространства Стоуна (фактически единственная неизолированная точка). Поле алгебраических чисел - это модель, в которой этот тип опускается, а алгебраическое замыкание любого трансцендентного расширения рациональных чисел - модель, реализующая этот тип.
Все остальные типы являются «алгебраическими числами» (точнее, они представляют собой наборы утверждений первого порядка, которым удовлетворяет некоторое заданное алгебраическое число), и все такие типы реализуются во всех алгебраически замкнутых полях характеристики 0.
Рекомендации
- Ходжес, Уилфрид (1997). Более короткая модельная теория . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-58713-1.
- Чанг, СС ; Кейслер, Х. Джером (1989). Теория моделей (третье изд.). Эльзевир . ISBN 0-7204-0692-7.
- Маркер, Дэвид (2002). Теория моделей: Введение . Тексты для выпускников по математике 217. Springer. ISBN 0-387-98760-6.