В математике , то комплексификация из векторного пространства V над полем действительных чисел ( «реальное векторным пространство») дает векторное пространство V C над комплексным числом полем , полученного путем формального расширения масштабирования векторов действительных числами , чтобы включить их масштабирование («умножение») комплексными числами. Любой базис для V (пробел над действительными числами) также может служить основой для V C над комплексными числами.
Формальное определение
Позволять быть реальным векторным пространством. Вкомплексификацией изVопределяется, принимаятензорное произведениеиз с комплексными числами (рассматриваемыми как двумерное векторное пространство над действительными числами):
Нижний индекс, , на тензорном произведении означает, что тензорное произведение берется по действительным числам (поскольку является реальным векторным пространством, в любом случае это единственный разумный вариант, поэтому нижний индекс можно смело опускать). В его нынешнем видеэто только реальное векторное пространство. Однако мы можем сделать в комплексное векторное пространство, задав комплексное умножение следующим образом:
В более общем смысле комплексификация - это пример расширения скаляров - здесь скаляры расширяются от действительных чисел до комплексных чисел - что может быть сделано для любого расширения поля или даже для любого морфизма колец.
Формально комплексификация - это функтор Vect R → Vect C из категории вещественных векторных пространств в категорию комплексных векторных пространств. Это сопряженный функтор - а именно левый сопряженный - к забывчивому функтору Vect C → Vect R, забывающий комплексную структуру.
Это забвение сложной структуры сложного векторного пространства называется декомплексирование (или иногда "реализация "). Декомплексирование комплексного векторного пространства с основанием устраняет возможность комплексного умножения скаляров, что дает реальное векторное пространство вдвое большей размерности с основанием [1]
Основные свойства
По характеру тензорного произведения каждый вектор v в V C однозначно записывается в виде
где V 1 и V 2 являются векторами в V . Обычной практикой является опустить символ произведения тензора и просто написать
Умножение на комплексное число a + ib затем дается обычным правилом
Тогда мы можем рассматривать V C как прямую сумму двух копий V :
с приведенным выше правилом умножения на комплексные числа.
Существует естественное вложение V в V C :
Векторное пространство V может затем рассматриваться как реальное подпространство в V C . Если V имеет базис { е я } (над полем R ) , то соответствующее основание для V C задается { е я ⊗ 1} над полем C . Комплексное измерение из V C , следовательно , равен реальному размеру V :
В качестве альтернативы, вместо использования тензорных произведений, можно использовать эту прямую сумму как определение комплексификации:
где задается линейной комплексной структурой оператором J, определенным какгде J кодирует операцию «умножения на i ». В матричной форме J определяется как:
Это дает идентичное пространство - реальное векторное пространство с линейной сложной структурой - это данные, идентичные сложному векторному пространству, хотя оно строит пространство по-разному. Соответственно, можно записать как или же отождествляя V с первым прямым слагаемым. Этот подход более конкретен и имеет то преимущество, что позволяет избежать использования технически сложного тензорного произведения, но является специальным.
Примеры
- Комплексификацией реального координатного пространства R n является комплексное координатное пространство C n .
- Аналогично, если V состоит из матриц размера m × n с действительными элементами, V C будет состоять из матриц размера m × n с комплексными элементами.
Удвоение Диксона
Процесс комплексификации путем перехода от R к C был абстрагирован математиками двадцатого века, включая Леонарда Диксона . Один начинается с использованием тождественного отображения х * = х , как тривиальная инволюция на R . Следующие две копии R используются для формирования z = ( a, b ) с комплексным сопряжением, введенным как инволюция z * = ( a , - b ) . Два элемента w и z в удвоенном наборе умножаются на
Наконец, удвоенному множеству дается норма N ( z ) = z * z . Если начать с R с тождественной инволюцией, удвоенным множеством будет C с нормой a 2 + b 2 . Если удвоить C и использовать сопряжение ( a, b ) * = ( a *, - b ), конструкция дает кватернионы . При удвоении снова образуются октонионы , также называемые числами Кэли. Именно в этот момент Диксон в 1919 году внес свой вклад в раскрытие алгебраической структуры.
Процесс также можно запустить с помощью C и тривиальной инволюции z * = z . Норма производится просто г 2 , в отличие от генерации C путем удвоения R . Когда этот C удваивается, он дает бикомплексные числа , а удвоение дает бикватернионы , а удвоение снова приводит к биоктонионам . Когда базовая алгебра ассоциативна, алгебра, полученная с помощью этой конструкции Кэли-Диксона, называется композиционной алгеброй, поскольку можно показать, что она обладает свойством
Комплексное сопряжение
Комплексное векторное пространство V C имеет более структурную структуру, чем обычное комплексное векторное пространство. Он поставляется с канонической картой комплексного сопряжения :
определяется
Отображение χ можно рассматривать либо как сопряженно-линейное отображение из V C в себя, либо как комплексный линейный изоморфизм из V C в его комплексно сопряженное .
Наоборот, дано комплексное векторное пространство W с комплексным сопряжением χ , W изоморфно как комплексное векторное пространство комплексификации V C вещественного подпространства
Другими словами, все комплексные векторные пространства с комплексным сопряжением являются комплексификацией реального векторного пространства.
Например, когда W = C n со стандартным комплексным сопряжением
инвариантное подпространство V - это просто вещественное подпространство R n .
Линейные преобразования
Для действительного линейного преобразования f : V → W между двумя действительными векторными пространствами существует естественное комплексное линейное преобразование
дано
Карта называется комплексификацию из е . Комплексификация линейных преобразований удовлетворяет следующим свойствам
На языке теории категорий говорят, что комплексификация определяет ( аддитивный ) функтор из категории вещественных векторных пространств в категорию комплексных векторных пространств.
Отображение f C коммутирует со сопряжением и, таким образом, отображает вещественное подпространство V C в вещественное подпространство W C (через отображение f ). Более того, комплексное линейное отображение g : V C → W C является комплексификацией вещественного линейного отображения тогда и только тогда, когда оно коммутирует со сопряжением.
В качестве примера рассмотрим линейное преобразование из R n в R m, представленное как матрица размера m × n . Комплексификация этого преобразования представляет собой точно такую же матрицу, но теперь рассматривается как линейное отображение от C n до C m .
Двойственные пространства и тензорные произведения
Двойного вещественного векторного пространства V пространство V * всех действительных линейных отображений из V в R . Комплексификацию V * естественно рассматривать как пространство всех вещественных линейных отображений из V в C (обозначаемых Hom R ( V , C ) ). Это,
Изоморфизм задается формулой
где φ 1 и φ 2 - элементы V * . Комплексное сопряжение тогда дается обычной операцией
Учитывая реальное линейное отображение ф : V → C , мы можем расширить по линейности , чтобы получить комплексное линейное отображение ф : V C → C . Это,
Это расширение дает изоморфизм Hom R ( V , C ) в Hom C ( V C , C ) . Последнее является просто комплексным двойственным пространством к V C , поэтому мы имеем естественный изоморфизм :
В более общем смысле, для данных вещественных векторных пространств V и W существует естественный изоморфизм
Комплексификация также коммутирует с операциями взятия тензорных произведений , внешних степеней и симметричных степеней . Например, если V и W - вещественные векторные пространства, существует естественный изоморфизм
Обратите внимание, что левое тензорное произведение берется по действительным числам, а правое - по комплексам. То же самое и в целом. Например, есть
Во всех случаях изоморфизмы являются «очевидными».
Смотрите также
Рекомендации
- ↑ Кострикин, Алексей I .; Манин Ю. И. (14 июля 1989 г.). Линейная алгебра и геометрия . CRC Press. п. 75. ISBN 978-2881246838.
- Халмос, Пол (1974) [1958]. Конечномерные векторные пространства . Springer. стр. 41 и §77 Комплексификация, стр. 150–153. ISBN 0-387-90093-4.
- Шоу, Рональд (1982). Линейная алгебра и представления групп . Vol. I: Линейная алгебра и введение в представления групп. Академическая пресса. п. 196 . ISBN 0-12-639201-3.
|volume=
имеет дополнительный текст ( справка )
- Роман, Стивен (2005). Продвинутая линейная алгебра . Тексты для выпускников по математике. 135 (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-24766-1.