В геометрии обозначение многогранника Конвея , изобретенное Джоном Хортоном Конвеем и продвинутое Джорджем У. Хартом , используется для описания многогранников на основе исходного многогранника, модифицированного различными префиксными операциями . [1] [2]
Конвей и Харт расширили идею использования операторов, таких как усечение, как определено Кеплером , для построения связанных многогранников с одинаковой симметрией. Например, tC представляет усеченный куб , а taC , анализируемый как, является ( топологически ) усеченным кубооктаэдром . Простейший оператор выполняет двойную замену местами вершин и граней; например, двойной куб октаэдр: дС = O . Примененные последовательно, эти операторы позволяют генерировать много многогранников более высокого порядка. Конвей определил операторы abdegjkmost , а Харт добавил r и p . [3] В более поздних реализациях были названы дополнительные операторы, иногда называемые «расширенными» операторами. [4] [5] Базовых операций Конвея достаточно для создания архимедовых и каталонских тел из платоновых тел. Некоторые базовые операции могут быть совмещены с другими: например, двойное применение амвона - это операция расширения: aa = e , а усечение после амвона дает скос : ta = b .
Многогранники можно изучать топологически, с точки зрения того, как их вершины, ребра и грани соединяются вместе, или геометрически, с точки зрения размещения этих элементов в пространстве. Различные реализации этих операторов могут создавать геометрически разные, но топологически эквивалентные многогранники. Эти топологически эквивалентны многогранники можно рассматривать как один из многих вложений одного многогранного графа на сфере. Если не указано иное, в этой статье (и в литературе по операторам Конвея в целом) первоочередное внимание уделяется топологии. Многогранники с родом 0 (т. Е. Топологически эквивалентны сфере) часто принимают каноническую форму, чтобы избежать неоднозначности.
Операторы
В обозначениях Конвея операции с многогранниками применяются как функции, справа налево. Например, кубооктаэдр - это амвонический куб , [6] т.е., а усеченный кубооктаэдр -. Повторное применение оператора можно обозначить показателем степени: j 2 = o . В общем случае операторы Конвея не коммутативны .
Отдельные операторы могут быть визуализированы в терминах фундаментальных областей (или камер), как показано ниже. Каждый прямоугольный треугольник - это фундаментальная область . Каждая белая камера представляет собой повернутую версию других, как и каждая цветная камера. Для ахиральных операторов цветные камеры являются отражением белых камер, и все они транзитивны. С точки зрения групп, ахиральные операторы соответствуют группам диэдра D n, где n - количество сторон грани, а киральные операторы соответствуют циклическим группам C n, лишенным отражательной симметрии групп диэдра. Ахиральные и киральные операторы также называются локальными операциями, сохраняющими симметрию (LSP) и локальными операциями, сохраняющими ориентацию симметрии (LOPSP), соответственно. [7] [8] [9] LSP следует понимать как локальные операции, сохраняющие симметрию, а не как операции, сохраняющие локальную симметрию. Опять же, это симметрии в топологическом, а не геометрическом смысле: точные углы и длины ребер могут отличаться.
3 (треугольник) | 4 (квадрат) | 5 (Пентагон) | 6 (шестиугольник) |
---|---|---|---|
Фундаментальные области для групп полиэдров. Группы для ахиральных многогранников и для киральных многогранников. |
Харт ввел оператор отражения r , который дает зеркальное отображение многогранника. [6] Это не строго LOPSP, поскольку он не сохраняет ориентацию: он меняет ее местами, меняя местами белые и красные камеры. r не влияет на ахиральные многогранники, кроме ориентации, а rr = S возвращает исходный многогранник. Верхнюю черту можно использовать для обозначения другой хиральной формы оператора: s = rsr .
Операция неприводима, если она не может быть выражена как композиция операторов, кроме d и r . Большинство исходных операторов Конвея неприводимы: за исключением e , b , o и m .
Матричное представление
Икс | |
---|---|
xd | |
dx | |
dxd |
Связь между количеством вершин, ребер и граней семени и многогранника, созданного операциями, перечисленными в этой статье, может быть выражена в виде матрицы . Когда x - оператор, - вершины, ребра и грани семени (соответственно), а - вершины, ребра и грани результата, тогда
- .
Матрица для композиции двух операторов - это просто произведение матриц для двух операторов. Различные операторы могут иметь одинаковую матрицу, например p и l . Счетчик краев результата является целым числом, кратным числу начального числа d : это называется темпом инфляции или краевым фактором. [7]
Простейшие операторы, тождественный оператор S и дуальный оператор d , имеют простую матричную форму:
- ,
Два двойных оператора сокращаются; dd = S , а квадрат- единичная матрица . Применительно к другим операторам дуальный оператор соответствует горизонтальному и вертикальному отражениям матрицы. Операторы могут быть сгруппированы в группы по четыре (или меньше, если некоторые формы совпадают) путем идентификации операторов x , xd (оператор двойственного), dx (двойственного оператора) и dxd (сопряженного оператора). В этой статье дана только матрица для x , так как остальные являются простыми отражениями.
Количество операторов
Количество LSP для каждого уровня инфляции составляет начиная с уровня инфляции 1. Однако не все LSP обязательно создают многогранник, ребра и вершины которого образуют 3-связный граф , и, как следствие теоремы Стейница, не обязательно создают выпуклый многогранник из выпуклого семени. Количество 3-связанных LSP для каждого уровня инфляции составляет. [8]
Исходные операции
Строго говоря, seed ( S ), Need ( n ) и zip ( z ) не были включены Конвеем, но они связаны с исходными операциями Конвея по двойственности, поэтому включены здесь.
С этого момента операции визуализируются с семенами куба, нарисованными на поверхности этого куба. Синие грани пересекают края семени, а розовые грани лежат над вершинами семени. Существует некоторая гибкость в точном размещении вершин, особенно с киральными операторами.
Краевой фактор | Матрица | Икс | xd | dx | dxd | Заметки |
---|---|---|---|---|---|---|
1 | Семя : S | Двойной : d | Семя : dd = S | Dual заменяет каждую грань вершиной, а каждую вершину - гранью. | ||
2 | Присоединиться : j | Амбо : а | Соединение создает четырехугольные грани. Амбо создает вершины четвертой степени, и в теории графов его еще называют ректификацией , или медиальным графом. [10] | |||
3 | Кис : к | Игла : n | Почтовый индекс : z | Усечь : t | Кис поднимает пирамиду на каждой грани, и ее также называют акисией, Kleetope , кумуляцией, [11] наращиванием или увеличением пирамиды . Truncate обрезает многогранник по его вершинам, но оставляет часть исходных ребер. [12] Zip также называется усечением битов . | |
4 | Орто : o = jj | Развернуть : e = aa | ||||
5 | Гироскоп : г | gd = rgr | sd = rsr | Курносый : s | Киральные операторы. См. Snub (геометрия) . В отличие от Харта, [3] gd не то же самое, что g : это его киральная пара. [13] | |
6 | Мета : m = kj | Фаска : b = ta |
Семена
Любой многогранник может служить семенем, если над ним можно выполнять операции. Обычным семенам присвоена буква. В Платоновых тела представлены по первой букве их имени ( Т etrahedron , О ctahedron , С Ube , я cosahedron , D odecahedron ); в р risms ( Р п ) для п -gonal форм; а нтипризмы ( А н ); c u polae ( U n ); anticupolae ( V n ); и р у ramids ( У п ). Любой J ohnson твердого вещества можно ссылаться как J п , для п = 1..92.
Все пять правильных многогранников могут быть сгенерированы из призматических образующих от нуля до двух операторов: [14]
- Треугольная пирамида : Y 3 (тетраэдр - особая пирамида)
- Т = Y 3
- O = aT (амботетраэдр)
- C = jT (соединить тетраэдр)
- I = sT ( плоскостный тетраэдр)
- D = gT ( гиротетраэдр )
- Треугольная антипризма : A 3 (октаэдр - особая антипризма)
- О = А 3
- C = dA 3
- Квадратная призма : P 4 (куб - это особая призма)
- C = P 4
- Пятиугольная антипризма : A 5
- I = k 5 A 5 (Специальная гиро-удлиненная дипирамида )
- D = t 5 dA 5 (Особый усеченный трапецоэдр )
Обычные евклидовы мозаики также можно использовать в качестве семян:
- Q = Кадриль = Квадратная плитка
- H = Hextille = Шестиугольная мозаика = dΔ
- Δ = Deltille = Треугольная мозаика = dH
Расширенные операции
Это операции, созданные по оригинальному набору Конвея. Обратите внимание, что существует гораздо больше операций, чем было названо; просто потому, что здесь нет операции, не означает, что она не существует (или не является LSP или LOPSP). Для упрощения в этот список включены только неприводимые операторы: другие могут быть созданы путем объединения операторов вместе.
Краевой фактор | Матрица | Икс | xd | dx | dxd | Заметки |
---|---|---|---|---|---|---|
4 | Фаска : c | cd = du | dc = ud | Подразделить : u | Фаска - это форма соединения l . См. Раздел Фаска (геометрия) . | |
5 | Пропеллер : p | dp = pd | dpd = p | Киральные операторы. Оператор пропеллера был разработан Джорджем Хартом. [15] | ||
5 | Лофт : l | ld | дл | dld | ||
6 | Quinto : q | qd | dq | dqd | ||
6 | Соединить кружево : L 0 | L 0 d | дл 0 | дл 0 д | См. Ниже объяснение нотации соединения. | |
7 | Кружево : L | Ld | дл | dLd | ||
7 | Ставка : K | Kd | dK | dKd | ||
7 | Вихрь : w | wd = dv | vd = dw | Улитка : v | Киральные операторы. | |
8 | Присоединяйтесь-кис-кис : | Иногда по имени Дж . [4] См. Ниже объяснение нотации соединения. Несоединенная форма kk не является неприводимой. | ||||
10 | Крест : X | Xd | dX | dXd |
Индексированные расширенные операции
Ряд операторов можно сгруппировать по некоторым критериям или изменить их поведение с помощью индекса. [4] Они записываются как оператор с индексом: x n .
Увеличение
Операции по увеличению сохраняют исходные края. Они могут применяться к любому независимому подмножеству граней или могут быть преобразованы в форму соединения путем удаления исходных ребер. Обозначение Конвея поддерживает необязательный индекс для этих операторов: 0 для формы соединения или 3 или выше для количества сторон затронутых граней. Например, k 4 Y 4 = O: если взять пирамиду с квадратным основанием и приклеить другую пирамиду к квадратному основанию, получится октаэдр.
Оператор | k | л | L | K | (кк) |
---|---|---|---|---|---|
Икс | |||||
х 0 | к 0 = j | l 0 = c | L 0 | K 0 = jk | |
Увеличение | Пирамида | Призма | Антипризма |
Оператор усечения t также имеет индексную форму t n , указывающую, что усекаются только вершины определенной степени. Это эквивалентно dk n d .
Некоторые из расширенных операторов могут быть созданы в особых случаях с помощью операторов k n и t n . Например, куб с фаской , cC , может быть построен как t 4 daC , как ромбический додекаэдр , daC или jC , с усеченными вершинами степени 4. Поднятый куб, lC совпадает с t 4 kC . Квинто-додекаэдр, QD может быть выполнен в виде т 5 DAAD или т 5 DED или т 5 О.Д. , в дельтоидальном гексеконтаэдр , DED или О.Д. , с его градусоднями 5 вершин усеченных.
Мета / скос
Meta добавляет вершины в центре и по краям, а Bevel добавляет грани в центре, исходные вершины и по краям. Индекс показывает, сколько вершин или граней добавлено по краям. Мета (в его Неиндексированной форме) также называют cantitruncation или omnitruncation . Обратите внимание, что 0 здесь не означает то же самое, что и для операций увеличения: это означает, что по ребрам добавляются нулевые вершины (или грани). [4]
п | Краевой фактор | Матрица | Икс | xd | dx | dxd |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 3 | к = м 0 | п | г = б 0 | т | |
1 | 6 | м = м 1 = кдж | б = б 1 = та | |||
2 | 9 | м 2 | м 2 д | б 2 | б 2 г | |
3 | 12 | м 3 | м 3 д | б 3 | б 3 г | |
п | 3 п +3 | m n | м н д | б н | б н д |
Медиальный
Медиал похож на мета, за исключением того, что он не добавляет ребер от центра к каждой исходной вершине. Форма индекса 1 идентична операторам орто и раскрытия Конвея: расширение также называется раскосом и расширением . Обратите внимание, что o и e имеют свои собственные индексированные формы, описанные ниже. Также обратите внимание, что некоторые реализации начинают индексацию с 0 вместо 1. [4]
п | Краевой фактор | Матрица | Икс | xd | dx | dxd |
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 4 | M 1 = o = jj | е = аа | |||
2 | 7 | Средний : M = M 2 | Мкр | дМ | dMd | |
п | 3 п +1 | M n | М н д | dM n | dM n d |
Гольдберг-Коксетер
Операторы Гольдберга-Кокстера (ГК) Конвея - это два бесконечных семейства операторов, которые являются расширением конструкции Голдберга-Кокстера . [16] [17] Конструкцию GC можно представить как взятие треугольного сечения треугольной решетки или квадратного сечения квадратной решетки и наложение его на каждую грань многогранника. Эту конструкцию можно распространить на любую грань, указав камеры треугольника или квадрата («главный многоугольник»). [7] Операторы в треугольном семействе могут использоваться для построения многогранников Гольдберга и геодезических многогранников : формулы см. В Списке геодезических многогранников и многогранниках Гольдберга .
Эти два семейства - это треугольное семейство GC, c a, b и u a, b , и семейство четырехугольника GC, e a, b и o a, b . Оба семейства GC индексируются двумя целыми числами а также . Они обладают множеством приятных качеств:
- Индексы семейств связаны с определенными евклидовыми областями над комплексными числами: целыми числами Эйзенштейна для треугольного семейства GC и гауссовыми целыми числами для четырехугольного семейства GC.
- Операторы в столбцах x и dxd в одном семействе коммутируют друг с другом.
Операторы делятся на три класса (примеры написаны в терминах c, но применяются ко всем 4 операторам):
- Класс I: . Ахиральный, сохраняет оригинальные края. Может быть записано с подавленным нулевым индексом, например c a , 0 = c a .
- Класс II: . Тоже ахирал. Можно разложить как c a, a = c a c 1,1
- Класс III: все остальные операторы. Они хиральные, а c a, b и c b, a - хиральные пары друг друга.
Из оригинальных операций Конвея единственные, которые не попадают в семейство GC, - это g и s (gyro и snub). Meta и bevel ( m и b ) могут быть выражены одним оператором из семейства треугольников и одним оператором из семейства четырехугольников.
Треугольный
а | б | Класс | Краевой фактор T = a 2 + ab + b 2 | Матрица | Главный треугольник | Икс | xd | dx | dxd |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 0 | я | 1 | и 1 = S | d | c 1 = S | |||
2 | 0 | я | 4 | u 2 = u | Округ Колумбия | ду | с 2 = с | ||
3 | 0 | я | 9 | u 3 = nn | нк | zt | c 3 = zz | ||
4 | 0 | я | 16 | u 4 = uu | uud = dcc | duu = ccd | c 4 = cc | ||
5 | 0 | я | 25 | u 5 | u 5 d = dc 5 | ду 5 = с 5 д | в 5 | ||
6 | 0 | я | 36 | u 6 = unn | unk | czt | u 6 = czz | ||
7 | 0 | я | 49 | u 7 = u 2,1 u 1,2 = vrv | vrvd = dwrw | dvrv = wrwd | c 7 = c 2,1 c 1,2 = wrw | ||
8 | 0 | я | 64 | и 8 = и 3 | u 3 d = dc 3 | ду 3 = с 3 д | с 8 = с 3 | ||
9 | 0 | я | 81 год | u 9 = n 4 | n 3 k = kz 3 | tn 3 = z 3 t | с 9 = г 4 | ||
1 | 1 | II | 3 | и 1,1 = п | k | т | c 1,1 = z | ||
2 | 1 | III | 7 | v = u 2,1 | vd = dw | dv = wd | ш = с 2,1 | ||
3 | 1 | III | 13 | u 3,1 | u 3,1 d = dc 3,1 | ду 3,1 = c 3,1 d | в 3,1 | ||
3 | 2 | III | 19 | u 3,2 | u 3,2 d = dc 3,2 | ду 3,2 = с 3,2 д | в 3,2 | ||
4 | 3 | III | 37 | u 4,3 | u 4,3 d = dc 4,3 | ду 4,3 = с 4,3 д | в 4,3 | ||
5 | 4 | III | 61 | u 5,4 | u 5,4 d = dc 5,4 | ду 5,4 = с 5,4 д | в 5,4 | ||
6 | 5 | III | 91 | u 6,5 = u 1,2 u 1,3 | u 6,5 d = dc 6,5 | ду 6,5 = с 6,5 д | с 6,5 = с 1,2 с 1,3 | ||
7 | 6 | III | 127 | u 7,6 | u 7,6 d = dc 7,6 | ду 7,6 = с 7,6 д | в 7,6 | ||
8 | 7 | III | 169 | и 8,7 = и 3,1 2 | u 8,7 d = dc 8,7 | ду 8,7 = с 8,7 д | с 8,7 = с 3,1 2 | ||
9 | 8 | III | 217 | u 9,8 = u 2,1 u 5,1 | u 9,8 d = dc 9,8 | ду 9,8 = с 9,8 д | с 9,8 = с 2,1 с 5,1 | ||
I, II или III | ... | ты а, б | u a, b d = dc a, b | du a, b = c a, b d | в а, б | ||||
I или III | ... | ты а, б | u a, b d = dc a, b | du a, b = c a, b d | в а, б |
Согласно основной теории чисел, для любых значений a и b ,.
Четырехугольник
а | б | Класс | Краевой фактор T = a 2 + b 2 | Матрица | Мастер-сквер | Икс | xd | dx | dxd |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 0 | я | 1 | o 1 = S | е 1 = d | о 1 = dd = S | |||
2 | 0 | я | 4 | о 2 = о = j 2 | е 2 = е = а 2 | ||||
3 | 0 | я | 9 | o 3 | e 3 | o 3 | |||
4 | 0 | я | 16 | о 4 = оо = j 4 | e 4 = ee = a 4 | ||||
5 | 0 | я | 25 | o 5 = o 2,1 o 1,2 = прп | е 5 = е 2,1 е 1,2 | o 5 = dprpd | |||
6 | 0 | я | 36 | о 6 = о 2 о 3 | е 6 = е 2 е 3 | ||||
7 | 0 | я | 49 | o 7 | e 7 | o 7 | |||
8 | 0 | я | 64 | о 8 = о 3 = j 6 | е 8 = е 3 = а 6 | ||||
9 | 0 | я | 81 год | о 9 = о 3 2 | е 9 = е 3 2 | o 9 | |||
10 | 0 | я | 100 | о 10 = оо 2,1 о 1,2 | e 10 = ee 2,1 e 1,2 | ||||
1 | 1 | II | 2 | о 1,1 = j | е 1,1 = а | ||||
2 | 2 | II | 8 | о 2,2 = j 3 | е 2,2 = а 3 | ||||
1 | 2 | III | 5 | o 1,2 = p | е 1,2 = dp = pd | п | |||
I, II или III | Т даже | ... | о а, б | д а, б | |||||
I или III | Т нечетный | ... | о а, б | д а, б | о а, б |
Примеры
См. Также Список геодезических многогранников и многогранников Гольдберга .
Архимедовы и каталонские твердые тела
Исходный набор операторов Конвея может создавать все твердые тела Архимеда и каталонские твердые тела , используя Платоновы твердые тела в качестве затравки. (Обратите внимание, что оператор r не нужен для создания обеих хиральных форм.)
Усеченный тетраэдр
tTКубооктаэдр
aC = aaTУсеченный куб
tCУсеченный октаэдр
tO = bTРомбокубооктаэдр eC
= a 3 Tусеченный кубооктаэдр
bCкурносый куб
sCикосододекаэдр
aDусеченный додекаэдр
tDусеченный икосаэдр
tIrhombicosidodeca-гранник
еОусеченный икосододекаэдр
bDкурносый додекаэдр
sD & sI
Тетраэдр
Триаки kTРомбический додекаэдр
jCОктаэдр Triakis
kOШестигранник Тетракиса
kCДельтоидальный икоситетраэдр
oCDisdyakis додекаэдр
мКлПятиугольный icositetrahedron
дсРомбический триаконтаэдр
jDТриакис икосаэдр
kIДодекаэдр пентакиса
кДДельтоидальный гексеконтаэдр
oDГекзакисикосаэдр
мДПятиугольный гексеконтаэдр
gD & gI
Составные операторы
Усеченный икосаэдр , Т.И. = Zd , может быть использован в качестве затравки , чтобы создать какие - то более визуально приятные многогранники, хотя они не являются ни вершинами , ни лицом транзитивно .
tI = zD
atI
ttI
ztI
etI
btI
stI
nI = кД
jtI
ntI
ktI
ОТИ
mtI
gtI
На самолете
Каждую из выпуклых однородных мозаик можно создать, применяя операторы Конвея к регулярным мозаикам Q, H и Δ.
Квадратная мозаика
Q = dQУсеченная квадратная мозаика
tQКвадратная плитка Тетракиса
kQПлоская черепица квадратная
sQКаир пятиугольная черепица
gQ
Шестиугольная мозаика
H = dΔТрехгексагональная мозаика
aH = aΔУсеченная шестиугольная мозаика
tHРомбитрихексагональный тайлинг
eH = eΔУсеченная
трехгексагональная мозаика bH = bΔSnub trihexagonal плиточные
Sh = sΔ
Треугольник
Δ = dHРомбильная мозаика
jΔ = jHТреугольная
мозаика Триакиса kΔДельтоидальная трехгексагональная мозаика
oΔ = oHПлитка
кисромбиля mΔ = mHПятиугольная
мозаика Floret gΔ = gH
На торе
Операторы Конвея также могут применяться к тороидальным многогранникам и многогранникам с несколькими отверстиями.
Правильный квадратный тор 1x1, {4,4} 1,0
Правильный квадратный тор 4x4, {4,4} 4,0
tQ24 × 12 в проекции на тор
taQ24 × 12 в проекции на тор
actQ24 × 8 в проекции на тор
tH24 × 12 в проекции на тор
taH24 × 8 в проекции на тор
kH24 × 12 в проекции на тор
Смотрите также
- Симметроэдр
- Зоноэдр
- Символ Шлефли
Рекомендации
- ^ Джон Хортон Конвей; Хайди Берджел; Хаим Гудман-Штрасс (2008). «Глава 21: Именование архимедовых и каталонских многогранников и плиток». Симметрии вещей . ISBN 978-1-56881-220-5.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Обозначение многогранника Конвея" . MathWorld .
- ^ а б Джордж У. Харт (1998). «Обозначение Конвея для многогранников» . Виртуальные многогранники .
- ^ а б в г д Адриан Росситер. "Конвей - преобразования обозначений Конвея" . Программное обеспечение для моделирования антипризм многогранников .
- ^ Ансельм Левская. «полигедронизм» .
- ^ а б Харт, Джордж (1998). «Обозначение Конвея для многогранников» . Виртуальные многогранники . (См. Четвертую строку таблицы: «a = ambo».)
- ^ а б в Brinkmann, G .; Goetschalckx, P .; Шейн, С. (2017). «Гольдберг, Фуллер, Каспар, Клуг и Кокстер и общий подход к локальным операциям, сохраняющим симметрию». Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки . 473 (2206): 20170267. arXiv : 1705.02848 . Bibcode : 2017RSPSA.47370267B . DOI : 10,1098 / rspa.2017.0267 . S2CID 119171258 .
- ^ а б Гетшалькс, Питер; Coolsaet, Крис; Ван Клемпут, Нико (12 апреля 2020). «Генерация локальных операций, сохраняющих симметрию». arXiv : 1908.11622 [ math.CO ].
- ^ Гетшалькс, Питер; Coolsaet, Крис; Ван Клемпут, Нико (2020-04-11). "Локальные операции сохранения ориентации симметрии на многогранниках". arXiv : 2004.05501 [ math.CO ].
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Исправление» . MathWorld .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Накопление» . MathWorld .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Усечение» . MathWorld .
- ^ «Антипризма - проблема хиральности в Конвее» .
- ^ Ливио Зефиро (2008). «Образование икосаэдра пересечением пяти тетраэдров: геометрические и кристаллографические особенности промежуточных многогранников» . Висмат .
- ^ Джордж У. Харт (август 2000 г.). Скульптура на основе пропеллоризированных многогранников . Труды MOSAIC 2000. Сиэтл, Вашингтон. С. 61–70.
- ^ Деза, М .; Дютур, М. (2004). «Конструкции Гольдберга – Кокстера для 3- и 4-валентных плоских графов» . Электронный журнал комбинаторики . 11 : # R20. DOI : 10.37236 / 1773 .
- ^ Деза, М.-М .; Сикирич, доктор медицины; Штогрин М.И. (2015). «Построение и параметризация Голдберга – Кокстера» . Геометрическая структура химико-релевантных графов: зигзаги и центральные схемы . Springer. С. 131–148. ISBN 9788132224495.
Внешние ссылки
- polyHédronisme : генерирует многогранники на холсте HTML5, принимая в качестве входных данных нотацию Конвея.