В геометрии , А Джонсон твердое вещество является строго выпуклый многогранник каждая грань которого представляет собой правильный многоугольник . Не требуется, чтобы каждая грань была одним и тем же многоугольником или чтобы одни и те же многоугольники соединялись вокруг каждой вершины. Примером твердого тела Джонсона является квадратная пирамида с равносторонними сторонами ( J 1 ); у него 1 квадратная грань и 4 треугольных грани. Некоторые авторы требуют, чтобы твердое тело не было однородным (т. Е. Не Платоновым телом , твердым телом Архимеда , однородной призмой или однородной антипризмой).), прежде чем они назовут его «твердое тело Джонсона».
Как и в любом строго выпуклом твердом теле, по крайней мере, три грани пересекаются в каждой вершине, а сумма их углов меньше 360 градусов. Поскольку правильный многоугольник имеет углы не менее 60 градусов, отсюда следует, что не более пяти граней пересекаются в любой вершине. Пятиугольная пирамида ( J 2 ) представляет собой пример , который имеет степень 5-вершину.
Хотя нет очевидного ограничения на то, что любой данный правильный многоугольник не может быть гранью тела Джонсона, оказывается, что грани тел Джонсона, которые не являются однородными (т. Е. Не платоновым телом , твердым телом Архимеда , однородной призмой или однородной антипризмой) ) всегда имеет 3, 4, 5, 6, 8 или 10 сторон.
В 1966 году Норман Джонсон опубликовал список, в который вошли все 92 тела Джонсона (за исключением 5 Платоновых тел, 13 тел Архимеда, бесконечного множества однородных призм и бесконечного множества однородных антипризм), и дал им их имена и номера. Он не доказал, что их было только 92, но предположил, что других не было. Виктор Залгаллер в 1969 году доказал, что список Джонсона был полным.
Среди тел Джонсона удлиненная квадратная гиробикупола ( J 37 ), также называемая псевдоромбокубооктаэдром [1] , уникальна тем, что является локально однородной по вершинам: в каждой вершине есть 4 грани, и их расположение всегда одинаково: 3 квадрата и 1 треугольник. Однако он не является вершинно-транзитивным, поскольку имеет разную изометрию в разных вершинах, что делает его твердым телом Джонсона, а не архимедовым телом .
Имена
Именование твердых тел Джонсона следует гибкой и точной описательной формуле, так что многие твердые тела могут быть названы по-разному без ущерба для их точности описания. Твердые вещества Большинство Johnson могут быть построены из первых нескольких ( пирамид , cupolae и ротондах ), вместе с Платоновыми и Архимеда твердых тел, призм и антипризм ; центр названия конкретного твердого вещества будет отражать эти ингредиенты. Оттуда к слову добавляется серия префиксов, обозначающих добавления, вращения и преобразования:
- Bi - [<>] указывает, что две копии рассматриваемого твердого тела соединены основанием к основанию. Для куполов и ротондов твердые тела могут быть соединены таким образом, чтобы совпадали одинаковые грани ( орто- [c, r] ) или разные грани ( гиро- [ɔ, ɹ] ). Используя эту номенклатуру, октаэдр можно описать как квадратную бипирамиду , кубооктаэдр - как треугольную гиробикуполу , а икосододекаэдр - как пятиугольную гиробиротонду .
- Удлиненный [=] означает, что призма присоединена к основанию рассматриваемого твердого тела или между основаниями в случае би-твердых тел. Ромбокубооктаэдр таким образом , может быть описан как удлиненный квадратным orthobicupola .
- Гиро-удлинение [z] указывает на то, что антипризма присоединена к основанию рассматриваемого твердого тела или между основаниями в случае би-твердых тел. Таким образом, икосаэдр можно описать как гировидную пятиугольную бипирамиду .
- Увеличенный [+] указывает, что другой многогранник, а именно пирамида или купол , присоединен к одной или нескольким граням рассматриваемого тела.
- Уменьшение [-] указывает на то, что пирамида или купол удалены с одной или нескольких граней рассматриваемого твердого тела.
- Гират указывает на то, что купол, установленный на рассматриваемом твердом теле или представленный в нем, вращается так, что разные края совпадают, как в разнице между орто- и гиробикуполами.
Последние три операции - увеличение , уменьшение и вращение - могут выполняться несколько раз для некоторых крупных твердых тел. Bi- и Tri- обозначают двойную и тройную операцию соответственно. Например, твердое тело бигирата имеет два повернутых купола, а твердое тело, уменьшенное в три раза, имеет три удаленных пирамиды или купола.
В некоторых крупных твердых телах различают твердые тела, у которых измененные грани параллельны, и твердые тела, у которых измененные грани являются наклонными. Пара- указывает первое, что рассматриваемое твердое тело изменило параллельные грани, а мета -второе - изменило наклонные грани. Например, у парабиаугментированного твердого тела были увеличены две параллельные грани, а у метабигиратного твердого тела - две наклонные грани, повернутые по спирали.
Последние несколько тел Джонсона имеют названия, основанные на определенных комплексах многоугольников, из которых они собраны. Эти имена определены Джонсоном [2] со следующей номенклатурой:
- Луночка представляет собой комплекс из двух треугольников , прикрепленных к противоположным сторонам квадрата.
- Spheno - указывает на клиновидный комплекс, образованный двумя соседними лунками. Дисфено- указывает на два таких комплекса.
- Hebespheno - указывает на тупой комплекс двух луночек, разделенных третьей луной.
- Корона представляет собой короноподобный комплекс из восьми треугольников.
- Мегакорона - это более крупный короноподобный комплекс из 12 треугольников.
- Суффикс - cingulum обозначает пояс из 12 треугольников.
Перечисление
Пирамиды, купола и ротонда
Первые 6 тел Джонсона представляют собой пирамиды, купола или ротонды с не более чем 5 боковыми гранями. Пирамиды и купола с 6 или более боковыми гранями компланарны и, следовательно, не являются телами Джонсона.
Пирамиды
Первые два тела Джонсона, J1 и J2, являются пирамидами . Треугольная пирамида является регулярным тетраэдр , так что не Джонсон твердого вещества. Они представляют собой сечения правильных многогранников.
Обычный | J1 | J2 |
---|---|---|
3> | 4> | 5> |
Треугольная пирамида ( Тетраэдр ) | Квадратная пирамида | Пятиугольная пирамида |
Связанные правильные многогранники | ||
Тетраэдр | Октаэдр | Икосаэдр |
Купола и ротонда
Следующие четыре тела Джонсона - это три купола и одна ротонда . Они представляют собой сечения однородных многогранников.
Купол | Ротонда | |||
---|---|---|---|---|
Униформа | J3 | J4 | J5 | J6 |
2c | 3c | 4c | 5c | 5r |
Вершина темени (дигональные купола) ( треугольная призма ) | Треугольный купол | Квадратный купол | Пятиугольный купол | Пятиугольная ротонда |
Связанные однородные многогранники | ||||
Кубооктаэдр | Ромбокубооктаэдр | Ромбикосододекаэдр | Икосидодекаэдр | |
Модифицированные пирамиды
Твердые тела Джонсона с 7 по 17 являются производными пирамид.
Удлиненные и гиродлинные пирамиды
В гиродлинной треугольной пирамиде три пары соседних треугольников компланарны и образуют неквадратные ромбы, поэтому это не твердое тело Джонсона.
Удлиненные пирамиды | Гиро-удлиненные пирамиды | ||||
---|---|---|---|---|---|
J7 | J8 | J9 | Копланарный | J10 | J11 |
3 => | 4 => | 5 => | 3z> | 4z> | 5z> |
Удлиненная треугольная пирамида | Удлиненная квадратная пирамида | Удлиненная пятиугольная пирамида | Гироудлиненная треугольная пирамида ( уменьшенный треугольный трапецоэдр ) | Гиро-удлиненная квадратная пирамида | Гиро-удлиненная пятиугольная пирамида |
Дополнен из многогранников | |||||
тетраэдр треугольная призма | квадратная пирамида куб | пятиугольная пирамида пятиугольная призма | тетраэдр октаэдр | квадратная пирамида квадратная антипризма | пятиугольная пирамида пятиугольная антипризма |
Бипирамиды
Площадь бипирамида является регулярным октаэдр , в то время как gyroelongated пятиугольной бипирамида является регулярным икосаэдр , поэтому они не являются Джонсон твердых веществ. В гиродлинной треугольной бипирамиде шесть пар соседних треугольников компланарны и образуют неквадратные ромбы, поэтому она также не является твердым телом Джонсона.
Бипирамиды | Удлиненные бипирамиды | Гиро-удлиненные бипирамиды | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
J12 | Обычный | J13 | J14 | J15 | J16 | Копланарный | J17 | Обычный |
3 <> | 4 <> | 5 <> | 3 <=> | 4 <=> | 5 <=> | 3 | 4 | 5 |
Треугольная бипирамида | Квадратная бипирамида ( октаэдр ) | Пятиугольная бипирамида | Удлиненная треугольная бипирамида | Удлиненная квадратная бипирамида | Удлиненная пятиугольная бипирамида | Гироудлиненная треугольная бипирамида ( треугольный трапецииэдр ) | Гиро-удлиненная квадратная бипирамида | Гиро-удлиненная пятиугольная бипирамида ( икосаэдр ) |
Дополнен из многогранников | ||||||||
тетраэдр | квадратная пирамида | пятиугольная пирамида | тетраэдр треугольная призма | квадратная пирамида куб | пятиугольная пирамида пятиугольная призма | тетраэдр октаэдр | квадратная пирамида квадратная антипризма | пятиугольная пирамида пятиугольная антипризма |
Измененные купола и ротонды
Твердые тела Джонсона с 18 по 48 происходят от куполов и ротондов.
Вытянутые и гировидные купола и ротонды.
Вытянутый купол | Удлиненная ротонда | Гиро-удлиненный купол | Гиро-удлиненная ротонда | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Копланарный | J18 | J19 | J20 | J21 | Вогнутый | J22 | J23 | J24 | J25 |
2c = | 3c = | 4c = | 5c = | 5r = | 2cz | 3cz | 4cz | 5cz | 5rz |
Удлиненный фастигиум | Вытянутый треугольный купол | Вытянутый квадратный купол | Вытянутый пятиугольный купол | Удлиненная пятиугольная ротонда | Гиро-удлиненный фастигиум | Гиро-удлиненный треугольный купол | Гиро-удлиненный квадратный купол | Гиро-удлиненный пятиугольный купол | Гиро-удлиненная пятиугольная ротонда |
Дополнен из многогранников | |||||||||
Квадратная призма Треугольная призма | Шестиугольная призма Треугольный купол | Восьмиугольная призма Квадратный купол | Десятиугольная призма Пятиугольный купол | Десятиугольная призма Пятиугольная ротонда | квадратная антипризма Треугольная призма | Шестиугольная антипризма Треугольный купол | Восьмиугольный антипризматический квадратный купол | Десятиугольная антипризма Пятиугольный купол | Десятиугольная антипризма Пятиугольная ротонда |
Bicupolae
Треугольная гиробикупола - это архимедово твердое тело (в данном случае кубооктаэдр ), поэтому это не твердое тело Джонсона.
Ортобикупола | Гиробикупола | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Копланарный | J27 | J28 | J30 | J26 | Полурегулярный | J29 | J31 |
2сс | 3сс | 4сс | 5сс | 2cɔ | 3cɔ | 4cɔ | 5cɔ |
Ортобифастигиум | Ортобикупола треугольная | Квадрат ортобикупола | Пятиугольная ортобикупола | Gyrobifastigium | Гиробикупола треугольная ( кубооктаэдр ) | Гиробикупола квадратная | Пятиугольная гиробикупола |
Дополнен многогранником | |||||||
Треугольная призма | Треугольный купол | Квадратный купол | Пятиугольный купол | Треугольная призма | Треугольный купол | Квадратный купол | Пятиугольный купол |
Купола-ротонды и биротонды
Пятиугольная гиробиротонда - это архимедово твердое тело (в данном случае икосододекаэдр ), поэтому это не твердое тело Джонсона.
Купол-ротонда | Биротунда | ||
---|---|---|---|
J32 | J33 | J34 | Полурегулярный |
5rc | 5r | 5рр | 5r |
Пятиугольная ортокуполаротонда | Пятиугольная гирокуполаротонда | Пятиугольная ортобиротонда | Пятиугольная гиробиротонда ( икосододекаэдр ) |
Дополнен из многогранников | |||
Пятиугольный купол Пятиугольная ротонда | Пятиугольная ротонда | ||
Удлиненные двуполые
Вытянутая квадратная ортобикупола представляет собой архимедово твердое тело (в данном случае ромбокубооктаэдр ), поэтому это не твердое тело Джонсона.
Ортобикупола удлиненная | Гиробикупола удлиненная | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Копланарный | J35 | Полурегулярный | J38 | Копланарный | J36 | J37 | J39 |
2c = c | 3c = c | 4c = c | 5c = c | 2c = ɔ | 3c = ɔ | 4c = ɔ | 5c = ɔ |
Ортобифастигиум удлиненной формы | Ортобикупола удлиненной треугольной формы | Ортобикупола продолговатая квадратная ( ромбокубооктаэдр ) | Ортобикупола удлиненная пятиугольная | Гиробифастигий удлиненный | Гиробикупола удлиненной треугольной формы | Гиробикупола удлиненная квадратная | Гиробикупола удлиненная пятиугольная |
Дополнен из многогранников | |||||||
Квадратная призма Треугольная призма | Шестиугольная призма Треугольный купол | Восьмиугольная призма Квадратный купол | Десятиугольная призма Пятиугольный купол | Квадратная призма Треугольная призма | Шестиугольная призма Треугольный купол | Восьмиугольная призма Квадратный купол | Десятиугольная призма Пятиугольный купол |
Вытянутые купола-ротонды и биротонды
Вытянутый купол-ротонда | Удлиненная биротонда | ||
---|---|---|---|
J40 | J41 | J42 | J43 |
5r = c | 5r = ɔ | 5r = r | 5r = ɹ |
Пятиугольная удлиненная ортокуполаротонда | Удлиненная пятиугольная гирокуполаротонда | Пятиугольная удлиненная ортобиротонда | Удлиненная пятиугольная гиробиротонда |
Дополнен из многогранников | |||
Десятиугольная призма Пятиугольный купол Пятиугольная ротонда | Десятиугольная призма Пятиугольная ротонда | ||
Гироудлиненные двупольные, купола-ротонды и биротонды.
Эти твердые вещества Джонсона имеют 2 хиральные формы.
Гиро-удлиненная двуполость | Гировидный купол-ротонда | Гироудлиненная биротонда | |||
---|---|---|---|---|---|
Вогнутый | J44 | J45 | J46 | J47 | J48 |
2czc | 3czc | 4czc | 5czc | 5rzc | 5rzr |
Гиро-удлиненный бифастигий | Гиро-продолговатая треугольная двуправая | Гиро-удлиненная квадратная двуправая | Гиро-удлиненная пятиугольная двуправая | Гиро-удлиненная пятиугольная куполаротонда | Гиро-удлиненная пятиугольная биротонда |
Дополнен из многогранников | |||||
Треугольная призма Квадратная антипризма | Треугольный купол Шестиугольная антипризма | Квадратный купол Восьмиугольная антипризма | Пятиугольный купол Десятиугольная антипризма | Пятиугольный купол Пятиугольная ротонда Десятиугольная антипризма | Пятиугольная ротонда Десятиугольная антипризма |
Увеличенные призмы
Твердые тела Джонсона с 49 по 57 построены путем добавления сторон призм квадратных пирамид.
Увеличенные треугольные призмы | Увеличенные пятиугольные призмы | Увеличенные шестиугольные призмы | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
J49 | J50 | J51 | J52 | J53 | J54 | J55 | J56 | J57 |
3 = + | 3 = ++ | 3 = +++ | 5 = + | 5 = ++ | 6 = + | 6 = ++ | 6 = + х | 6 = +++ |
Расширенная треугольная призма | Двусторонняя треугольная призма | Трехгранная треугольная призма | Расширенная пятиугольная призма | Двухугольная пятиугольная призма | Расширенная шестиугольная призма | Парабиаугментированная шестиугольная призма | Метабиауглеродная шестиугольная призма | Трехгранная шестиугольная призма |
Дополнен из многогранников | ||||||||
Треугольная призма Квадратная пирамида | Пятиугольная призма Квадратная пирамида | Шестиугольная призма Квадратная пирамида | ||||||
Модифицированные Платоновы тела
Твердые тела Джонсона с 58 по 64 строятся путем увеличения или уменьшения количества Платоновых тел.
Дополненные додекаэдры
J58 | J59 | J60 | J61 |
---|---|---|---|
D ++ | D ++ | D + x | D +++ |
Дополненный додекаэдр | Парабиаугментированный додекаэдр | Метабиауглеродный додекаэдр | Триаугментированный додекаэдр |
Дополнен из многогранников | |||
Додекаэдр и пятиугольная пирамида | |||
Уменьшенные и увеличенные уменьшенные икосаэдры
Уменьшенный икосаэдр | Увеличенный трехуменьшенный икосаэдр | |||
---|---|---|---|---|
J11 (Повторяется) | Униформа | J62 | J63 | J64 |
Я- | Я-- | Я-/ | Я--- | Я --- + |
Уменьшенный икосаэдр ( гировидная пятиугольная пирамида ) | Парабидоуменьшенный икосаэдр ( пятиугольная антипризма ) | Метабидоуменьшенный икосаэдр | Треугольник икосаэдр | Увеличенный трехуменьшенный икосаэдр |
Модифицированные архимедовы тела
Твердые тела Джонсона 65-83 построены путем увеличения, уменьшения или вращения архимедовых тел.
Дополненные архимедовы тела
Увеличенный усеченный тетраэдр | Дополненные усеченные кубики | Дополненные усеченные додекаэдры | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
J65 | J66 | J67 | J68 | J69 | J70 | J71 |
tT + | tC + | tC ++ | tD + | tD ++ | tD + x | tD +++ |
Увеличенный усеченный тетраэдр | Дополненный усеченный куб | Усеченный двуугловой куб | Увеличенный усеченный додекаэдр | Парабиаугментированный усеченный додекаэдр | Усеченный додекаэдр с метабиаугментацией | Триаугментированный усеченный додекаэдр |
Дополнен из многогранников | ||||||
усеченный тетраэдр треугольный купол | усеченный куб квадратный купол | усеченный додекаэдр пятиугольный купол | ||||
Гиратные и уменьшенные ромбикосододекаэдры
Гиратные ромбикосододекаэдры | |||
---|---|---|---|
J72 | J73 | J74 | J75 |
Гиратный ромбикосододекаэдр | Парабигиратный ромбоикосододекаэдр | Метабигиратный ромбикосододекаэдр | Тригиратный ромбоикосододекаэдр |
Уменьшенные ромбикосододекаэдры | |||
J76 | J80 | J81 | J83 |
Уменьшенный ромбикосододекаэдр | Парабидоусиленный ромбоикосододекаэдр | Метабидоуменьшенный ромбикосододекаэдр | Трехкоординатный ромбоикосододекаэдр |
Гиратные уменьшенные ромбикосододекаэдры | |||
J77 | J78 | J79 | J82 |
Парагиратный уменьшенный ромбикосододекаэдр | Метагират уменьшенный ромбикосододекаэдр | Бигират уменьшенный ромбикосододекаэдр | Гиратный двумерный ромбикосододекаэдр |
J37 также может появиться здесь как дубликат (это круговой ромбокубооктаэдр).
Другие вращающиеся и уменьшенные архимедовы тела
Другие архимедовы твердые тела могут вращаться и уменьшаться, но все они приводят к ранее подсчитанным твердым телам.
J27 | J3 | J34 | J6 | J37 | J19 | Униформа |
---|---|---|---|---|---|---|
Гиратный кубооктаэдр ( треугольный ортобикупола ) | Уменьшенный кубооктаэдр ( треугольный купол ) | Гиратный икосододекаэдр ( пятиугольная ортобиротонда ) | Уменьшенный икосододекаэдр ( пятиугольная ротонда ) | Гират ромбикубооктаэдр ( гиробикупола продолговатая квадратная ) | Уменьшенный ромбокубооктаэдр ( вытянутый квадратный купол ) | Двунаправленный ромбокубооктаэдр ( восьмиугольная призма ) |
Гирированные или уменьшенные из многогранников | ||||||
Кубооктаэдр | Икосидодекаэдр | Ромбокубооктаэдр | ||||
Элементарные твердые тела
Твердые тела Джонсона с 84 по 92 не получены в результате манипуляций с однородными твердыми телами "разрезать и вставить" .
Курносые антипризмы
В Snub антипризм может быть построена как чередование усеченного антипризмы. Гиробиантикуполы - еще одна конструкция курносых антипризм. Только курносые антипризмы с не более чем четырьмя сторонами могут быть построены из правильных многоугольников. Курносая треугольная антипризма - это правильный икосаэдр , поэтому это не твердое тело Джонсона.
J84 | Обычный | J85 |
---|---|---|
Курносый дисфеноид сс {2,4} | Икосаэдр ss {2,6} | Плоская квадратная антипризма из нержавеющей стали {2,8} |
Дигональные гиробиантикуполы | Гиробиантикупола треугольная | Гиробиантикупола квадратная |
Другие
J86 | J87 | J88 | |
---|---|---|---|
Sphenocorona | Увеличенная сфенокорона | Sphenomegacorona | |
J89 | J90 | J91 | J92 |
Hebesphenomegacorona | Дисфеноцингулум | Bilunabirotunda | Гебешфеноротунда треугольная |
Классификация по типам лиц
Треугольные тела Джонсона
Пять тел Джонсона - это дельтаэдры , у которых все грани равностороннего треугольника:
|
|
Треугольные и квадратные тела Джонсона
Двадцать четыре тела Джонсона имеют только треугольные или квадратные грани:
|
|
|
Треугольники и пятиугольники тела Джонсона
Одиннадцать тел Джонсона имеют только треугольные и пятиугольные грани:
|
|
Треугольники, квадраты и пятиугольники тела Джонсона
Двадцать тел Джонсона имеют только треугольные, квадратные и пятиугольные грани:
|
|
Треугольные, квадратные и шестиугольные тела Джонсона
Восемь тел Джонсона имеют только треугольные, квадратные и шестиугольные грани:
|
|
Треугольные, квадратные и восьмиугольные тела Джонсона
Пять тел Джонсона имеют только треугольные, квадратные и восьмиугольные грани:
|
|
Треугольники, пятиугольники и десятиугольники с гранями тела Джонсона
Два тела Джонсона имеют только грани треугольника, пятиугольника и десятиугольника:
|
Треугольники, квадраты, пятиугольники и шестиугольники с гранями тела Джонсона
Только одно тело Джонсона имеет грани треугольника, квадрата, пятиугольника и шестиугольника:
|
Треугольники, квадраты, пятиугольники и десятиугольники тела Джонсона
Шестнадцать тел Джонсона имеют только грани треугольника, квадрата, пятиугольника и десятиугольника:
|
|
Объявляемые твердые тела Джонсона
25 тел Джонсона имеют вершины на поверхности сферы : 1–6,11,19,27,34,37,62,63,72–83. Все они связаны с правильным или однородным многогранником путем вращения, уменьшения или рассечения. [3]
Октаэдр | Кубооктаэдр | Ромбокубооктаэдр | |||
---|---|---|---|---|---|
J1 | J3 | J27 | J4 | J19 | J37 |
Икосаэдр | Икосидодекаэдр | ||||
---|---|---|---|---|---|
J2 | J11 | J62 | J63 | J6 | J34 |
Ромбикосододекаэдр | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
J5 | J72 | J73 | J74 | J75 | J76 | J77 |
J78 | J79 | J80 | J81 | J82 | J83 |
Смотрите также
- Почти мисс Джонсон солид
- Каталонский твердый
- Тороидальный многогранник
Рекомендации
- Джонсон, Норман У. (1966). «Выпуклые тела с правильными гранями». Канадский математический журнал . 18 : 169–200. DOI : 10.4153 / cjm-1966-021-8 . ISSN 0008-414X . Zbl 0132.14603 . Содержит исходное перечисление 92 тел и гипотезу о том, что других нет.
- Залгаллер, Виктор А. (1967). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Зап. Научн. Семин. Ленингр. Отд. Мат. Inst. Стеклова . 2 : 1–221. ISSN 0373-2703 . Zbl 0165.56302 .Первое доказательство того, что тел Джонсона всего 92. Английский перевод: Залгаллер, Виктор А. (1969). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Семинары по математике, В. А. Стеклов Матем. Ин-т, Ленинград . Бюро консультантов. 2 . ISSN 0080-8873 . Zbl 0177.24802 .
- Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Калифорнийский университет Press в Беркли. ISBN 0-520-03056-7. Глава 3 Дальнейшие выпуклые многогранники
- ^ GWH. «Псевдо ромбокубооктаэдры» . www.georgehart.com . Проверено 17 апреля 2018 года .
- ^ Джордж Харт (цитирует Джонсона) (1996). «Джонсон Солидс» . Виртуальные многогранники . Проверено 5 февраля 2014 .
- ^ Клитцинг, доктор Ричард. «Джонсон солидс и др.» . bendwavy.org . Проверено 17 апреля 2018 года .
Внешние ссылки
- Ганьон, Сильвен (1982). « Выпуклые многогранники с правильными гранями » [Выпуклые многогранники с правильными гранями] (PDF) . Структурная топология (6): 83–95.
- Бумажные модели многогранников Многие ссылки
- Джонсон Солидс Джорджа У. Харта.
- Изображения всех 92 твердых тел с разбивкой по категориям на одной странице
- Вайсштейн, Эрик В. «Джонсон Солид» . MathWorld .
- VRML-модели Johnson Solids от Джима Макнила
- VRML модели тел Джонсона Владимира Булатова
- CRF проект открытия polychora попытки обнаружить КРФ polychora ( С onvex 4-мерными многогранниками с R Регулярными многоугольниками как 2-мерными F тузов), обобщением твердых веществ Джонсона 4-мерного пространство
- https://levskaya.github.io/polyhedronisme/ генератор многогранников и примененные к ним операции Конвея , включая твердые тела Джонсона.