В области математических финансов модель Кокса – Ингерсолла – Росса (CIR) описывает эволюцию процентных ставок . Это разновидность «однофакторной модели» (модели краткосрочной ставки ), поскольку она описывает движения процентных ставок, обусловленные только одним источником рыночного риска . Модель может использоваться при оценке производных финансовых инструментов по процентной ставке . Он был представлен в 1985 году Джоном К. Коксом , Джонатаном Э. Ингерсоллом и Стивеном А. Россом как расширение модели Васичека .
Модель
Модель CIR определяет, что мгновенная процентная ставка следует стохастическому дифференциальному уравнению , также называемому процессом CIR:
где - винеровский процесс (моделирование случайного фактора рыночного риска) и, , а также являются параметры . Параметр соответствует скорости приспособления к среднему , а также к непостоянству. Коэффициент дрейфа,, точно такая же, как и в модели Васичека. Это обеспечивает средний возврат процентной ставки к долгосрочному значению., со скоростью настройки, регулируемой строго положительным параметром .
Коэффициент стандартного отклонения ,, избегает возможности отрицательных процентных ставок для всех положительных значений а также . Нулевая процентная ставка также не допускается, если условие
встречается. В более общем плане, когда ставка () близко к нулю, стандартное отклонение () также становится очень малым, что ослабляет влияние случайного скачка на скорость. Следовательно, когда ставка приближается к нулю, в ее эволюции доминирует фактор дрейфа, который подталкивает ставку вверх (к равновесию ).
Этот процесс можно определить как сумму квадратов процесса Орнштейна – Уленбека . CIR - это эргодический процесс, имеющий стационарное распределение. Тот же процесс используется в модели Хестона для моделирования стохастической волатильности.
Распределение
- Будущее распространение
- Распределение будущих значений процесса CIR может быть вычислено в закрытой форме:
- где , а Y - нецентральное распределение хи-квадрат с степень свободы и параметр нецентральности . Формально функция плотности вероятности:
- где , , , а также - модифицированная функция Бесселя первого вида порядка .
- Асимптотическое распределение
- Из-за возврата к среднему, когда время становится большим, распределение приблизится к гамма-распределению с плотностью вероятности:
- где а также .
Вывод асимптотического распределения. |
---|
Чтобы получить асимптотическое распределение для модели CIR мы должны использовать уравнение Фоккера-Планка : Наш интерес представляет частный случай, когда , что приводит к упрощенному уравнению: Определение а также а перестановка членов приводит к уравнению: Интеграция показывает нам, что: По всему диапазону , эта плотность описывает гамма-распределение. Следовательно, асимпотическое распределение модели CIR является гамма-распределением. |
Характеристики
- Среднее обращение ,
- Волатильность, зависящая от уровня (),
- Для данного положительного процесс никогда не коснется нуля, если ; в противном случае он может случайно коснуться нулевой точки,
- , поэтому долгосрочное среднее значение ,
Калибровка
- Непрерывный SDE можно дискретизировать следующим образом
- что эквивалентно
- при условии есть niid (0,1). Это уравнение можно использовать для линейной регрессии.
- Оценка Мартингейла
- Максимальная вероятность
Моделирование
Стохастическое моделирование процесса CIR может быть достигнуто с использованием двух вариантов:
- Дискретность
- Точный
Цены на облигации
При условии отсутствия арбитража цена облигации может оцениваться с использованием этого процесса процентной ставки. Цена облигации экспоненциально сродни процентной ставке:
где
Расширения
Процесс CIR - это частный случай диффузии базового аффинного скачка , который по-прежнему допускает выражение в закрытой форме для цен облигаций. В модель можно ввести изменяющиеся во времени функции, заменяющие коэффициенты, чтобы привести ее в соответствие с заранее заданной временной структурой процентных ставок и, возможно, волатильности. Самый общий подход изложен в Maghsoodi (1996). Более гибкий подход содержится в Brigo and Mercurio (2001b), где в модель добавляется внешний временной сдвиг для согласованности с входной временной структурой ставок. Существенное расширение модели CIR на случай стохастического среднего и стохастической волатильности дано Линь Ченом (1996) и известно как модель Чена . Более недавнее расширение - это так называемый CIR # от Орландо, Мининни и Буфало (2018, [1] 2019, [2] [3] ).
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Орландо, Джузеппе; Минини, Роза Мария; Буфало, Микеле (2018). «Новый подход к моделированию краткосрочных ставок CIR». Новые методы моделирования с фиксированным доходом . Вклад в науку управления. Издательство Springer International: 35–43. DOI : 10.1007 / 978-3-319-95285-7_2 . ISBN 978-3-319-95284-0.
- ^ Орландо, Джузеппе; Минини, Роза Мария; Буфало, Микеле (1 января 2019 г.). «Новый подход к прогнозированию рыночных процентных ставок с помощью модели CIR». Исследования в области экономики и финансов . опережающий печать (опережающий печать). DOI : 10.1108 / SEF-03-2019-0116 . ISSN 1086-7376 .
- ^ Орландо, Джузеппе; Минини, Роза Мария; Буфало, Микеле (19 августа 2019 г.). «Калибровка процентных ставок с помощью модели CIR». Журнал риск-финансирования . 20 (4): 370–387. DOI : 10.1108 / JRF-05-2019-0080 . ISSN 1526-5943 .
Дальнейшие ссылки
- Халл, Джон С. (2003). Опционы, фьючерсы и другие производные инструменты . Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Prentice Hall . ISBN 0-13-009056-5.
- Кокс, Дж. К., Дж. Ингерсолл и С. А. Росс (1985). «Теория временной структуры процентных ставок». Econometrica . 53 (2): 385–407. DOI : 10.2307 / 1911242 . JSTOR 1911242 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- Магсуди, Ю. (1996). «Решение расширенной срочной структуры CIR и оценки опционов на облигации». Математические финансы . 6 (6): 89–109. DOI : 10.1111 / j.1467-9965.1996.tb00113.x .
- Дамиано Бриго; Фабио Меркурио (2001). Модели процентных ставок - теория и практика с улыбкой, инфляции и кредита (2-е изд., 2006 г.). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
- Бриго, Дамиано; Фабио Меркурио (2001b). «Расширение детерминированного сдвига аналитически податливых и однородных по времени моделей коротких ставок» . Финансы и стохастика . 5 (3): 369–388. DOI : 10.1007 / PL00013541 . S2CID 35316609 .
- Библиотека с открытым исходным кодом, реализующая процесс CIR на Python
- Орландо, Джузеппе; Минини, Роза Мария; Буфало, Микеле (2020). «Прогнозирование процентных ставок с помощью моделей Vasicek и CIR: подход разделения». Журнал прогнозирования . 39 (4): 569–579. arXiv : 1901.02246 . DOI : 10.1002 / for.2642 . ISSN 1099-131X . S2CID 126507446 .