десятиугольник

Вводная часть этой статьи может быть слишком короткой, чтобы адекватно суммировать ключевые моменты . Рассмотрите возможность расширения лида, чтобы обеспечить доступный обзор всех важных аспектов статьи. ( май 2019 г. )

Правильный десятиугольник
Обычный десятиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	10
Символ Шлефли	{10}, т{5}
Диаграммы Кокстера – Дынкина
Группа симметрии	Двугранный (D ₁₀ ), заказ 2×10
Внутренний угол ( градусы )	144°
Характеристики	Выпуклая , циклическая , равносторонняя , изогональная , изотоксальная

В геометрии десятиугольник ( от греческого δέκα déka и γωνία gonía, «десять углов») представляет собой десятисторонний многоугольник или 10-угольник. ^[1] Суммарная сумма внутренних углов простого десятиугольника равна 1440°.

Самопересекающийся правильный десятиугольник известен как декаграмма .

Правильный десятиугольник

У правильного десятиугольника все стороны одинаковой длины, а каждый внутренний угол всегда будет равен 144°. ^[1] Его символ Шлефли равен {10} ^[2] и может быть также построен как усеченный пятиугольник , t{5}, квазиправильный десятиугольник, чередующий два типа ребер.

Площадь

Площадь правильного десятиугольника со стороной a определяется по формуле: [ ^3]

A={\frac {5}{2}}a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{10}}\right)={\frac {5}{2}}a^{2}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\simeq 7.694208843\,a^{2}

С точки зрения апофемы r (см. Также вписанный рисунок ), площадь равна:

A=10\tan \left({\frac {\pi }{10}}\right)r^{2}=2r^{2}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\simeq 3.249196962\,r^{2}

С точки зрения радиуса описанной окружности R площадь равна:

A=5\sin \left({\frac {\pi }{5}}\right)R^{2}={\frac {5}{2}}R^{2}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 2.938926261\,R^{2}

Альтернативная формула: где d - расстояние между параллельными сторонами, или высота, когда десятиугольник стоит на одной стороне в качестве основания, или диаметр вписанной окружности десятиугольника . По простой тригонометрии $A=2.5da$

d=2a\left(\cos {\tfrac {3\pi }{10}}+\cos {\tfrac {\pi }{10}}\right),

и это может быть записано алгебраически как

d=a{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}.

Стороны

Правильный десятиугольник имеет 10 сторон и является равносторонним . У него 35 диагоналей .

Строительство

Поскольку 10 = 2 × 5, степень, умноженная на двойное простое число Ферма , отсюда следует, что правильный десятиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки или путем деления правильного пятиугольника пополам . ^[4]

Строительство пятиугольника

Альтернативный (но похожий) метод заключается в следующем:

Постройте пятиугольник в окружности одним из способов, показанных при построении пятиугольника .
Протяните линию от каждой вершины пятиугольника через центр круга к противоположной стороне того же круга. Там, где каждая линия пересекает круг, находится вершина десятиугольника.
Пять углов пятиугольника составляют альтернативные углы десятиугольника. Соедините эти точки с соседними новыми точками, чтобы сформировать десятиугольник.

Невыпуклый правильный десятиугольник

Эта мозаика золотыми треугольниками, правильный пятиугольник , содержит звездчатую форму правильного десятиугольника , символ Шефли которого {10/3}.

Отношение длин двух неравных ребер золотого треугольника является золотым сечением , обозначаемым или его мультипликативной инверсией : ${\text{by }}\Phi {\text{,}}$

\Phi -1={\frac {1}{\Phi }}=2\,\cos 72\,^{\circ }={\frac {1}{\,2\,\cos 36\,^{\circ }}}={\frac {\,{\sqrt {5}}-1\,}{2}}{\text{.}}

Таким образом, мы можем получить свойства правильной десятиугольной звезды посредством мозаики золотыми треугольниками, заполняющими этот звездный многоугольник .

Золотое сечение в десятиугольнике

Как в построении с заданной описанной окружностью ^[5] , так и с заданной длиной стороны определяющим элементом построения является золотое сечение, делящее отрезок внешним делением .

В построении с заданной описанной окружностью дуга окружности вокруг G с радиусом GE ₃ образует отрезок AH , деление которого соответствует золотому сечению.

{\frac {\overline {AM}}{\overline {MH}}}={\frac {\overline {AH}}{\overline {AM}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}}

В конструкции с заданной длиной стороны ^[6] дуга окружности вокруг D с радиусом DA образует отрезок E ₁₀ F , деление которого соответствует золотому сечению .

{\frac {\overline {E_{1}E_{10}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{10}F}}{\overline {E_{1}E_{10}}}}={\frac {R}{a}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}}

Десятиугольник с описанной окружностью, ^[5] анимация

Десятиугольник с заданной длиной стороны, ^[6] анимация

Симметрия

Симметрии правильного десятиугольника. Вершины окрашены в соответствии с их положением симметрии. Синие зеркала рисуются через вершины, а фиолетовые — через ребра. В центре даны приказы по вращению.

Правильный десятиугольник имеет симметрию Dih 10 , порядок 20. Имеется 3 подгрупповые диэдральные симметрии: Dih ₅ , Dih ₂ и Dih ₁ и 4 циклические групповые симметрии: Z ₁₀ , Z ₅ , Z ₂ и Z ₁ .

Эти 8 симметрий можно увидеть в 10 различных симметриях десятиугольника, большем количестве, потому что линии отражения могут проходить либо через вершины, либо через ребра. Джон Конвей маркирует их буквой и групповым порядком. ^[7] Полная симметрия правильной формы равна r20 , и никакая симметрия не помечена как a1 . Двугранные симметрии делятся в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров), и когда линии отражения проходят через ребра и вершины. Циклические симметрии в среднем столбце отмечены буквой g для их центральных порядков вращения.

Каждая симметрия подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g10 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные ребра .

Неправильные десятиугольники с наивысшей симметрией - это d10 , изогональный десятиугольник, построенный из пяти зеркал, которые могут чередовать длинные и короткие края, и p10 , изотоксальный десятиугольник, построенный с равными длинами ребер, но вершинами, чередующими два разных внутренних угла. Эти две формы двойственны друг другу и имеют половину порядка симметрии правильного десятиугольника.

рассечение

10-кубовая проекция	40 ромбовидное рассечение

Коксетер утверждает, что любой зоногон (2- метровый -угольник, противоположные стороны которого параллельны и имеют одинаковую длину) можно разрезать на m ( m -1)/2 параллелограмма. ^[8] В частности, это верно для правильных многоугольников с четным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Для правильного десятиугольника m = 5 , и его можно разделить на 10 ромбов, примеры показаны ниже. Это разложение можно рассматривать как 10 из 80 граней в плоскости проекции многоугольника Петри 5-куба . Разрез основан на 10 из 30 граней ромбического триаконтаэдра . Список ОЭИС: A006245 определяет количество решений как 62, с 2 ориентациями для первой симметричной формы и 10 ориентациями для остальных 6.

Правильный десятиугольник, разделенный на 10 ромбов
5-куб

Косой десятиугольник

3 правильных косых зигзагообразных десятиугольника
{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }

Правильный косой десятиугольник рассматривается как зигзагообразные края пятиугольной антипризмы , пентаграммной антипризмы и пентаграммной скрещенной антипризмы .

Косой десятиугольник — это косой многоугольник с 10 вершинами и ребрами, но не лежащий в одной плоскости. Внутренняя часть такого десятиугольника обычно не определена. Косой зигзагообразный десятиугольник имеет вершины, чередующиеся между двумя параллельными плоскостями.

Правильный косой десятиугольник является вершинно-транзитивным с равными длинами ребер. В 3-х измерениях это будет зигзагообразный косой десятиугольник, и его можно увидеть в вершинах и боковых гранях пятиугольной антипризмы , пентаграммной антипризмы и пентаграммной скрещенной антипризмы с той же симметрией D _5d , [2 ⁺ ,10], заказ 20.

Их также можно увидеть в этих 4 выпуклых многогранниках с икосаэдрической симметрией . Многоугольники по периметру этих проекций представляют собой правильные косые десятиугольники.

Ортогональные проекции многогранников на оси 5-го порядка
Додекаэдр	Икосаэдр	Икосододекаэдр	Ромбический триаконтаэдр

Многоугольники Петри

Правильный косой десятиугольник является многоугольником Петри для многих многогранников более высокой размерности, показанных в этих ортогональных проекциях в различных плоскостях Кокстера : ^[9] Число сторон в многоугольнике Петри равно числу Кокстера , h , для каждого семейства симметрии.

А ₉	Д ₆		Б ₅
9-симплекс	4 11	1 31	5-ортоплекс	5-куб

Смотрите также

Десятиугольное число и десятиугольное число по центру , фигурные числа по образцу десятиугольника
Decagram , звездчатый многоугольник с теми же позициями вершин, что и у обычного десятиугольника.

использованная литература

^ a b Sidebotham, Томас Х. (2003), Математика от А до Я: Базовое руководство , John Wiley & Sons, с. 146, ISBN 9780471461630.
^ Веннингер, Магнус Дж. (1974), Модели многогранников , Cambridge University Press, с. 9, ISBN 9780521098595.
^ Элементы плоской и сферической тригонометрии , Общество распространения христианских знаний, 1850 г., с. 59. Обратите внимание, что этот источник использует a как длину ребра и дает аргумент котангенса как угол в градусах, а не в радианах.
↑ Ладлоу, Генри Х. (1904), Геометрическая конструкция правильного десятиугольника и пятиугольника, вписанного в круг , The Open Court Publishing Co..
^ a b Грин, Генри (1861 г.), Плоская геометрия Евклида, книги III–VI, Практическое применение или градации Евклида, часть II , Лондон: Симпкин, Маршалл и Ко., с. 116. Проверено 10 февраля 2016 г.
^ a b Келлер, Юрген (2005), Regelmäßiges Zehneck, → 3. Раздел «Formeln, Ist die Seite a gegeben ...» (на немецком языке). Проверено 10 февраля 2016 г.
↑ Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275- 278)
↑ Коксетер , Математические развлечения и очерки, тринадцатое издание, стр. 141.
^ Коксетер, Правильные многогранники, 12.4 Многоугольник Петри, стр. 223-226.

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. «Декагон» . Мир Математики .
Определение и свойства десятиугольника С интерактивной анимацией

[sidebotham-1] Sidebotham, Томас Х. (2003), Математика от А до Я: Базовое руководство , John Wiley & Sons, с. 146, ISBN 9780471461630.

[2] Веннингер, Магнус Дж. (1974), Модели многогранников , Cambridge University Press, с. 9, ISBN 9780521098595.

[3] Элементы плоской и сферической тригонометрии , Общество распространения христианских знаний, 1850 г., с. 59. Обратите внимание, что этот источник использует a как длину ребра и дает аргумент котангенса как угол в градусах, а не в радианах.

[ludlow-4] Ладлоу, Генри Х. (1904), Геометрическая конструкция правильного десятиугольника и пятиугольника, вписанного в круг , The Open Court Publishing Co..

[Henry_Green-5] Грин, Генри (1861 г.), Плоская геометрия Евклида, книги III–VI, Практическое применение или градации Евклида, часть II , Лондон: Симпкин, Маршалл и Ко., с. 116. Проверено 10 февраля 2016 г.

[Jürgen_Köller-6] Келлер, Юрген (2005), Regelmäßiges Zehneck, → 3. Раздел «Formeln, Ist die Seite a gegeben ...» (на немецком языке). Проверено 10 февраля 2016 г.

[7] Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275- 278)

[8] Коксетер , Математические развлечения и очерки, тринадцатое издание, стр. 141.

[9] Коксетер, Правильные многогранники, 12.4 Многоугольник Петри, стр. 223-226.

[1]