В математике произведение Адамара (также известное как поэлементное произведение , начальное произведение [1] [2] : глава 5 или произведение Шура [3] ) - это бинарная операция, которая берет две матрицы одинаковой размерности и производит другую матрица той же размерности, что и операнды, где каждый элемент i , j является произведением элементов i , j исходных двух матриц. Его следует отличать от более распространенного матричного продукта. Он приписывается и назван в честь французского математика Жака Адамара или немецкого математика Иссаи Шура .
Произведение Адамара ассоциативно и распределительно . В отличие от матричного произведения, оно также коммутативно . [4]
Определение
Для двух матриц A и B одинаковой размерности m × n произведение Адамара (или же [1] [5] [6] [7] ) представляет собой матрицу той же размерности, что и операнды, с элементами, заданными как [4]
Для матриц разных размеров ( m × n и p × q , где m ≠ p или n ≠ q ) произведение Адамара не определено.
Пример
Например, произведение Адамара для матрицы A 3 × 3 с матрицей B 3 × 3 равно
Характеристики
- Произведение Адамара коммутативно (при работе с коммутативным кольцом), ассоциативно и дистрибутивно по сложению. То есть, если A , B и C - матрицы одного размера, а k - скаляр:
- Единичная матрица при умножении Адамара двух матриц размера m × n представляет собой матрицу размера m × n, в которой все элементы равны 1 . Это отличается от единичной матрицы при обычном умножении матриц, где только элементы главной диагонали равны 1. Кроме того, матрица имеет обратную матрицу при умножении Адамара тогда и только тогда, когда ни один из элементов не равен нулю. [8]
- Для векторов x и y и соответствующих диагональных матриц D x и D y с этими векторами в качестве главных диагоналей выполняется следующее тождество: [2] : 479
- Произведение Адамара является главной подматрицей произведения Кронекера .
- Произведение Адамара удовлетворяет ранговому неравенству
- Если A и B - положительно определенные матрицы , то справедливо следующее неравенство, включающее произведение Адамара: [10]
- Если D и Е являются диагональные матрицы , то [11]
- Произведение Адамара двух векторов а также то же самое, что матричное умножение одного вектора на соответствующую диагональную матрицу другого вектора:
Свойство смешанного продукта
- , где это продукт Кронекера
- , где обозначает продукт расщепления граней . [12]
- , где является произведением Хатри – Рао по столбцам .
Теорема Шура о произведении
Произведение Адамара двух положительно полуопределенных матриц положительно полуопределено. [4] [9] Это известно как теорема произведения Шура, [8] в честь русского математика Иссая Шура . Для двух положительно-полуопределенных матриц A и B также известно, что определитель их произведения Адамара больше или равен произведению их соответствующих определителей: [9]
В языках программирования
Умножение Адамара встроено в некоторые языки программирования под разными именами. В MATLAB , GNU Octave , GAUSS и HP Prime это известно как умножение массива или в широковещательном умножении Julia с символом . [13] В Fortran , R , [14] APL , J и Вольфрам язык ( Mathematica ), это делается с помощью простого оператора умножения , в то время как произведение матриц осуществляется с помощью функции , , , и операторы, соответственно. В Python с числовой библиотекой NumPy умножение объектов массива as дает произведение Адамара, а умножение as дает матричное произведение. С помощью символьной библиотеки SymPy умножение .*
*
matmul
%*%
+.×
+/ .*
.
a*b
a@b
объекты массива, поскольку оба a*b
и a@b
будут производить матричный продукт, с помощью которого можно получить произведение Адамара a.multiply_elementwise(b)
. [15] В C ++ библиотека Eigen предоставляет функцию- cwiseProduct
член для Matrix class ( a.cwiseProduct(b)
), а библиотека Armadillo использует оператор %
для создания компактных выражений ( a % b
; a * b
- матричное произведение). Пакет R matrixcalc представляет функцию hadamard.prod()
для произведения Адамара числовых матриц или векторов.
Приложения
Продукт Адамара появляется в алгоритмах сжатия с потерями , таких как JPEG . Этап декодирования включает в себя произведение "запись для ввода", другими словами, произведение Адамара. [ необходима цитата ]
Он также используется в литературе по машинному обучению , например, для описания архитектуры рекуррентных нейронных сетей как GRU или LSTM . [ необходима цитата ]
Аналогичные операции
Другие операции Адамара также рассматриваются в математической литературе, [16] , а именно корень Адамара и Адамара мощности (которые в действительности одно и то же из - за дробных индексов), определенная для матрицы таким образом, что:
Для
и для
Обратный Адамар гласит: [16]
Адамара деление определяется следующим образом: [17] [18]
Проникающий продукт для лица
Согласно определению В. Слюсаря, проникающее граневое произведение матрицы p × gи n -мерная матрица( n > 1) с p × g блоками () - матрица размера формы: [19]
Пример
Если
тогда
Основные свойства
- ; [19]
- ,
где обозначает произведение матриц, расщепляющее грани ,
- , где вектор.
Приложения
Проникающее лицевое произведение используется в тензорно- матричной теории цифровых антенных решеток . [19] Эта операция также может использоваться в моделях искусственных нейронных сетей , в частности, в сверточных слоях. [20]
Смотрите также
- Внутренний продукт Фробениуса
- Точечный продукт
- Кронекер продукт
- Хатри – Рао продукт
Рекомендации
- ^ a b «Исчерпывающий список символов алгебры» . Математическое хранилище . 2020-03-25 . Проверено 6 сентября 2020 .
- ^ а б Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (2012). Матричный анализ . Издательство Кембриджского университета.
- ^ Дэвис, Чендлер (1962). «Норма эксплуатации изделия Schur». Numerische Mathematik . 4 (1): 343–44. DOI : 10.1007 / bf01386329 .
- ^ а б в Миллион, Элизабет (12 апреля 2007 г.). «Произведение Адамара» (PDF) . buzzard.ups.edu . Проверено 6 сентября 2020 года .
- ^ «Продукт Адамара - Глоссарий машинного обучения» . machinelearning.wtf .
- ^ "линейная алгебра - что означает точка в круге?" . Обмен математическими стеками .
- ^ "Элементарная (или поточечная) запись операций?" . Обмен математическими стеками .
- ^ а б Миллион, Элизабет. «Произведение Адамара» (PDF) . Проверено 2 января 2012 года .
- ^ а б в Styan, Джордж PH (1973), "Адамара Продукты и многомерного статистического анализа", Линейная алгебра и ее применения , 6 : 217-240, DOI : 10,1016 / 0024-3795 (73) 90023-2 , ЛВП : 10338.dmlcz / 102190
- ^ Хайай, Фумио; Линь, Минхуа (февраль 2017 г.). «О неравенстве собственных значений с участием произведения Адамара» . Линейная алгебра и ее приложения . 515 : 313–320. DOI : 10.1016 / j.laa.2016.11.017 .
- ^ «Проект» (PDF) . buzzard.ups.edu. 2007 . Проверено 18 декабря 2019 .
- ^ Слюсарь В.И. (27 декабря 1996 г.). «Конечные продукты в матрицах в радиолокационных приложениях» (PDF) . Радиоэлектроника и системы связи.– 1998, Вып. 41; Номер 3 : 50–53.
- ^ «Арифметические операторы + - * / \ ^ '-» . Документация MATLAB . MathWorks. Архивировано из оригинального 24 апреля 2012 года . Проверено 2 января 2012 года .
- ^ «Матричное умножение» . Введение в R . Проект R для статистических вычислений. 16 мая 2013 . Проверено 24 августа 2013 года .
- ^ https://docs.sympy.org/latest/modules/matrices/common.html?highlight=multiply_elementwise#sympy.matrices.common.MatrixCommon.multiply
- ^ а б Ремс, Роберт (1999). «Обратные Адамара, квадратные корни и произведения почти полуопределенных матриц». Линейная алгебра и ее приложения . 288 : 35–43. DOI : 10.1016 / S0024-3795 (98) 10162-3 .
- ^ Ветцштейн, Гордон; Ланман, Дуглас; Хирш, Мэтью; Раскар, Рамеш. «Дополнительные материалы: тензорные дисплеи: синтез сжатого светового поля с использованием многослойных дисплеев с направленной подсветкой» (PDF) . MIT Media Lab .
- ^ Цыганек, Богуслав (2013). Обнаружение и распознавание объектов в цифровых изображениях: теория и практика . Джон Вили и сыновья. п. 109. ISBN 9781118618363.
- ^ а б в Слюсарь В.И. (13 марта 1998 г.). «Семейство граней произведений матриц и его свойства» (PDF) . Кибернетика и системный анализ C / C Кибернетика и Системный анализ. 1999 . 35 (3): 379–384. DOI : 10.1007 / BF02733426 .
- ^ Ха Д., Дай AM, Le QV (2017). «Гиперсети» . Международная конференция по обучающим представлениям (ICLR) 2017. - Тулон, 2017 .: Стр. 6. arXiv : 1609.09106 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )