У этой статьи нечеткий стиль цитирования . Октябрь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) ( |
В математической дисциплине линейной алгебры , треугольная матрица представляет собой особый вид квадратной матрицы . Квадратная матрица называется нижней треугольной , если все элементы выше на главной диагонали , равны нулю. Точно так же, квадратная матрица называется верхней треугольной , если все элементы ниже на главной диагонали равны нулю.
Поскольку матричные уравнения с треугольными матрицами легче решать, они очень важны для численного анализа . С помощью алгоритма разложения LU обратимая матрица может быть записана как произведение нижней треугольной матрицы L и верхней треугольной матрицы U тогда и только тогда, когда все ее ведущие главные миноры не равны нулю.
Описание [ править ]
Матрица вида
называется нижнетреугольной матрицей или левотреугольной матрицей , и аналогично матрицей вида
называется верхнетреугольной матрицей или правотреугольной матрицей . Более низкая или слева треугольная матрица обычно обозначаются с переменной L , и верхняя или правая треугольная матрица обычно обозначаются с переменной U или R .
Матрица, имеющая одновременно верхний и нижний треугольники, диагональна . Матрицы, похожие на треугольные, называются треугольными .
Неквадратная (а иногда и любая) матрица с нулями над (под) диагональю называется нижней (верхней) трапециевидной матрицей. Ненулевые записи образуют форму трапеции .
Примеры [ править ]
Эта матрица
верхнетреугольная, и эта матрица
нижнетреугольная.
Прямая и обратная подстановка [ править ]
Матричное уравнение в форме или очень легко решить с помощью итерационного процесса, который называется прямой заменой для нижнетреугольных матриц и аналогичным образом обратной заменой для верхнетреугольных матриц. Процесс так называемый , потому что для нижних треугольных матриц, одна сначала вычисляет , затем заменители , что вперед в следующее уравнение для решения для и повторяет через к . В верхней треугольной матрице каждый работает в обратном направлении, сначала вычисляя , затем подставляя это обратно в предыдущее уравнение для решения и повторяя его до конца .
Обратите внимание, что это не требует инвертирования матрицы.
Прямая подстановка [ править ]
Матричное уравнение L x = b можно записать в виде системы линейных уравнений
Обратите внимание, что первое уравнение ( ) включает только , и, следовательно, можно решить напрямую. Второе уравнение включает только и , поэтому может быть решено после замены уже решенного значения на . Продолжая таким образом, -ое уравнение включает только , и можно решить, используя ранее решенные значения для .
В результате получаются следующие формулы:
Матричное уравнение с верхнетреугольной матрицей U может быть решено аналогичным образом, только в обратном направлении.
Приложения [ править ]
Форвардное замещение используется в финансовом бутстрэппинге для построения кривой доходности .
Свойства [ править ]
Транспонирования из верхней треугольной матрицы является нижней треугольной матрицей , и наоборот.
Матрица, которая является как симметричной, так и треугольной, диагональна. Аналогичным образом, матрица, которая является как нормальной (то есть A * A = AA * , где A * - сопряженное транспонирование ), так и треугольной, также является диагональной. Это можно увидеть, посмотрев на диагональные входы A * A и AA * .
Детерминант и перманентный треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов, так как могут быть проверены прямым вычислением.
На самом деле верно больше: собственные значения треугольной матрицы - это в точности ее диагональные элементы. Кроме того, каждый собственный происходит ровно к раз по диагонали, где к является его алгебраической кратностью , то есть, его кратность как корень из характеристического полинома из А . Другими словами, характеристический многочлен треугольной матрицы A размера n × n в точности равен
- ,
то есть единственный многочлен степени n , корни которого являются диагональными элементами матрицы A (с кратностями). Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что он также является треугольным и, следовательно, его определитель является произведением его диагональных элементов . [1]
Особые формы [ править ]
Унитреугольная матрица [ править ]
Если все элементы на главной диагонали (верхней или нижней) треугольной матрицы равны 1, матрица называется (верхней или нижней) унитреугольной .
Другие названия, используемые для этих матриц, - единичный (верхний или нижний) треугольный или очень редко нормированный (верхний или нижний) треугольник . Однако единичная треугольная матрица - это не то же самое, что единичная матрица , а нормированная треугольная матрица не имеет ничего общего с понятием нормы матрицы .
Все унитреугольные матрицы унипотентны .
Строго треугольная матрица [ править ]
Если все элементы на главной диагонали (верхней или нижней) треугольной матрицы равны 0, матрица называется строго (верхней или нижней) треугольной .
Все строго треугольные матрицы нильпотентны .
Атомная треугольная матрица [ править ]
Атомарный (верхняя или нижняя) треугольная матрица представляет собой особую форму унитреугольной матрицы, где все недиагональные элементы равны нулю, для записи в одном столбце , за исключением. Такая матрица также называется матрица Фробениуса , А матрица Гаусса , или матрица преобразования Гаусса .
Возможность треугольной формы[ редактировать ]
Матрица, похожая на треугольную, называется треугольной . Абстрактно это эквивалентно стабилизации флага : верхнетреугольные матрицы - это в точности те, которые сохраняют стандартный флаг , который задается стандартным упорядоченным базисом и результирующим флагом. Все флаги сопряжены (поскольку общая линейная группа действует транзитивно на базисах), поэтому любая матрица, стабилизирующая флаг, аналогична матрице, стабилизирующей стандартный флаг.
Любая комплексная квадратная матрица треугольная. [1] Фактически, матрица A над полем, содержащая все собственные значения A (например, любая матрица над алгебраически замкнутым полем ), подобна треугольной матрице. Это можно доказать с помощью индукции по тому факту, что A имеет собственный вектор, взяв фактор-пространство по собственному вектору и проведя индукцию, чтобы показать, что A стабилизирует флаг и, таким образом, является треугольным относительно базиса этого флага.
Более точное утверждение дается теоремой Жордана о нормальной форме , которая утверждает, что в этой ситуации A подобна верхнетреугольной матрице очень конкретной формы. Однако более простого результата триангуляризации часто бывает достаточно, и в любом случае он используется при доказательстве теоремы Жордана о нормальной форме. [1] [2]
В случае комплексных матриц можно сказать больше о триангуляризации, а именно о том, что любая квадратная матрица A имеет разложение Шура . Это означает, что A унитарно эквивалентна (т. Е. Подобна, используя унитарную матрицу в качестве замены базиса) верхней треугольной матрице; это следует из взятия эрмитовой основы для флага.
Одновременная треугольная возможность [ править ]
Набор матриц называется одновременно треугольным, если существует базис, при котором все они являются верхнетреугольными; эквивалентно, если они являются верхне-триангулируемыми с помощью одной матрицы подобия P. Такой набор матриц легче понять, рассматривая алгебру матриц, которую он порождает, а именно все многочлены в обозначенной одновременной треугольной изменяемости означает, что эта алгебра сопряжена в подалгебру Ли. верхнетреугольных матриц и эквивалентно тому, что эта алгебра является подалгеброй Ли борелевской подалгебры .
Основной результат состоит в том, что (над алгебраически замкнутым полем) коммутирующие матрицы или, в более общем смысле , одновременно триангулируемы. Это можно доказать, сначала показав, что коммутирующие матрицы имеют общий собственный вектор, а затем проведя индукцию по размерности, как и раньше. Это было доказано Фробениусом, начиная с 1878 г. для коммутирующей пары, как обсуждалось при коммутирующих матрицах . Что касается одиночной матрицы, над комплексными числами они могут быть треугольными с помощью унитарных матриц.
Тот факт, что коммутирующие матрицы имеют общий собственный вектор, можно интерпретировать как результат Nullstellensatz Гильберта : коммутирующие матрицы образуют коммутативную алгебру, над которой можно интерпретировать как многообразие в k -мерном аффинном пространстве, и существование (общего) собственного значения ( и, следовательно, общий собственный вектор) соответствует этому разнообразию, имеющему точку (непустую), которая является содержанием (слабого) Nullstellensatz. В алгебраических терминах эти операторы соответствуют представлению алгебры полиномиальной алгебры от k переменных.
Это обобщается теоремой Ли , которая показывает, что любое представление разрешимой алгебры Ли одновременно верхне-триангулируемо, причем случай коммутирующих матриц является случаем абелевой алгебры Ли , причем абелева является разрешимой тем более.
В более общем смысле и точно, множество матриц одновременно triangularisable тогда и только тогда , когда матрица является нильпотентное для всех полиномов р в K Non -commuting переменные, где это коммутатор ; для коммутации коммутатор обращается в нуль, значит, это верно. Это было доказано в ( Drazin, Dungey & Gruenberg 1951 ); краткое доказательство приведено в ( Прасолов 1994 , с. 178–179 ). Одно из направлений ясны: если матрицы одновременно triangularisable, то это строго верхняя triangularizable (отсюда нильпотентная), которая сохраняется умножением на любом или их комбинация - у него все еще будут нули по диагонали в основе треугольника.
Алгебры треугольных матриц [ править ]
Верхнюю треугольность сохраняют многие операции:
- Сумма двух верхнетреугольных матриц является верхнетреугольной.
- Произведение двух верхнетреугольных матриц является верхнетреугольным.
- Матрица, обратная верхнетреугольной матрице, если существует, является верхнетреугольной.
- Произведение верхнетреугольной матрицы и скаляра является верхнетреугольным.
Вместе эти факты означают , что верхние треугольные матрицы образуют алгебру в ассоциативной алгебре квадратных матриц для заданного размера. Кроме того, это также показывает, что верхнетреугольные матрицы можно рассматривать как подалгебру Ли алгебры Ли квадратных матриц фиксированного размера, где скобка Ли [ a , b ] задается коммутатором ab - ba . Алгебра Ли всех верхнетреугольных матриц является разрешимой алгеброй Ли . Ее часто называют борелевской подалгеброй алгебры Ли всех квадратных матриц.
Все эти результаты остаются в силе, если верхний треугольник полностью заменен нижним треугольником ; в частности, нижнетреугольные матрицы также образуют алгебру Ли. Однако операции смешивания верхних и нижних треугольных матриц, как правило, не дают треугольных матриц. Например, сумма верхней и нижней треугольных матриц может быть любой матрицей; произведение нижнего треугольника на верхнюю треугольную матрицу также не обязательно треугольное.
Набор унитреугольных матриц образует группу Ли .
Множество строго верхний (или нижний) треугольные матрицы образуют нильпотентную алгебра Ли , обозначаемое Эта алгебра является производной алгеброй Ли из , алгебры Ли все верхних треугольных матриц; в символах, Кроме того, это алгебра Ли группы Ли унитреугольных матриц.
Фактически, по теореме Энгеля любая конечномерная нильпотентная алгебра Ли сопряжена с подалгеброй строго верхнетреугольных матриц, то есть конечномерная нильпотентная алгебра Ли одновременно строго верхнетреугольной алгебры.
Алгебры верхнетреугольных матриц имеют естественное обобщение в функциональном анализе, которое дает алгебры гнезд на гильбертовых пространствах .
Борелевские подгруппы и борелевские подалгебры [ править ]
Множество обратимых треугольных матриц данного вида (верхнего или нижнего) образует группу , в действительности группу Ли , которая является подгруппой общей линейной группы всех обратимых матриц. Треугольная матрица обратима именно тогда, когда ее диагональные элементы обратимы (ненулевые).
В случае вещественных чисел эта группа отключена и имеет компоненты соответственно, поскольку каждая диагональная запись является положительной или отрицательной. Компонент единицы - это обратимые треугольные матрицы с положительными элементами на диагонали, а группа всех обратимых треугольных матриц является полупрямым произведением этой группы и группы диагональных матриц с на диагонали, соответствующих компонентам.
Алгебра Ли группы Ли обратимых верхних треугольных матриц является множество всех верхних треугольных матриц, не обязательно обратимых, и это разрешимая алгебра Ли . Это, соответственно, стандартная борелевская подгруппа B группы Ли GL n и стандартная борелевская подалгебра алгебры Ли gl n .
Верхнетреугольные матрицы - это как раз те, которые стабилизируют стандартный флаг . Обратимые среди них образуют подгруппу общей линейной группы, сопряженные подгруппы которой определены как стабилизатор некоторого (другого) полного флага. Эти подгруппы являются борелевскими подгруппами . Группа обратимых нижнетреугольных матриц является такой подгруппой, поскольку она является стабилизатором стандартного флага, связанного со стандартным базисом в обратном порядке.
Стабилизатор частичного флага, полученный забыванием некоторых частей стандартного флага, можно описать как набор блочных верхнетреугольных матриц (но не все его элементы являются треугольными матрицами). Сопряженные с такой группой подгруппы определены как стабилизатор некоторого частичного флага. Эти подгруппы называются параболическими подгруппами .
Примеры [ править ]
Группа из 2 × 2 верхних унитреугольных матриц изоморфна к аддитивной группе поля скаляров; в случае комплексных чисел это соответствует группе параболических преобразований Мёбиуса ; верхние унитреугольные матрицы 3 × 3 образуют группу Гейзенберга .
См. Также [ править ]
- Гауссово исключение
- QR-разложение
- Разложение Холецкого
- Матрица Гессенберга
- Трехдиагональная матрица
- Инвариантное подпространство
Ссылки [ править ]
- ^ a b c ( Axler 1996 , стр. 86–87, 169)
- ^ ( Херштейн 1975 , стр. 285–290)
- Акслер, Шелдон (1996), линейная алгебра, сделанная правильно , Springer-Verlag, ISBN 0-387-98258-2
- Дразин, депутат; Данжи, JW; Gruenberg, KW (1951), "Некоторые теоремы о коммутативных матрицах" , J. London Math. Soc. , 26 (3): 221-228, DOI : 10.1112 / jlms / s1-26.3.221
- Херштейн, И. Н. (1975), Темы алгебры (2-е изд.), Джон Уайли и сыновья, ISBN 0-471-01090-1
- Прасолов, Виктор (1994), Проблемы и теоремы линейной алгебры , ISBN 9780821802366