Теорема Гаусса – Лукаса

В комплексном анализе , раздел математики, то теорема Гаусса-Лукас дает геометрическое соотношение между корнями одного многочленом Р и корнями его производной Р ' . Множество корней действительного или комплексного многочлена - это множество точек на комплексной плоскости . Теорема утверждает , что корни Р ' все лежат в пределах выпуклой оболочки корней P , то есть наименьшее выпуклый многоугольник , содержащий корни P . Когда Pимеет единственный корень, тогда эта выпуклая оболочка является единственной точкой, и когда корни лежат на прямой, выпуклая оболочка является сегментом этой прямой. Теорема Гаусса – Лукаса, названная в честь Карла Фридриха Гаусса и Феликса Лукаса, по духу аналогична теореме Ролля .

Воспроизвести медиа

Иллюстрация теоремы Гаусса-Лукаса, показывающая эволюцию корней производных многочлена.

Официальное заявление [ править ]

Если P является (непостоянная) многочлен с комплексными коэффициентами, все нули из Р ' принадлежит выпуклой оболочке множества нулей  Р . ^[1]

Особые случаи [ править ]

Легко видеть , что если Р ( х ) = ах ² + BX + C является многочленом второй степени , нуль Р ' ( х ) = 2 ах + Ь является средним из корней P . В этом случае выпуклая оболочка - это отрезок прямой с двумя корнями в качестве конечных точек, и ясно, что среднее значение корней является средней точкой отрезка.

Для комплексного многочлена P третьей степени ( кубическая функция ) с тремя различными нулями теорема Мардена утверждает, что нули P ′ являются фокусами эллипса Штейнера, который является единственным эллипсом, касающимся середины треугольника, образованного нулями P .

Для комплексного многочлена P четвертой степени ( функция четвертой степени ) с четырьмя различными нулями, образующими вогнутый четырехугольник , один из нулей P лежит в выпуклой оболочке трех других; все три нулей P ' лежат в двух из трех треугольников , образованных внутренний нуль Р и двух других нулей P . ^[2]

Кроме того, если многочлен степени п от действительных коэффициентов имеет п различных действительных нулей , мы видим, используя теорему Ролля , что нули производной многочлена в интервале , который является выпуклой оболочкой множества корней.${\ Displaystyle x_ {1} <x_ {2} <\ cdots <x_ {n},}$${\ displaystyle [x_ {1}, x_ {n}]}$

Выпуклая оболочка корней многочлена

${\ displaystyle p_ {n} x ^ {n} + p_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + p_ {0}}$

в частности, включает точку

${\ displaystyle - {\ frac {p_ {n-1}} {n \ cdot p_ {n}}}.}$

Доказательство [ править ]

Над комплексными числами P - произведение простых множителей

${\ Displaystyle P (z) = \ альфа \ prod _ {i = 1} ^ {n} (z-a_ {i})}$

где комплексные числа являются - не обязательно различны - нули полинома Р , комплексное число является ведущим коэффициент Р и п есть степень Р . Пусть z - любое комплексное число, для которого Тогда для логарифмической производной имеем${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle P (z) \ neq 0.}$

${\displaystyle {\frac {P^{\prime }(z)}{P(z)}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{z-a_{i}}}.}$

В частности, если z является нулем и , то${\displaystyle P'}$${\displaystyle P(z)\neq 0}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{z-a_{i}}}=0}$

или же

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {{\overline {z}}-{\overline {a_{i}}}}{|z-a_{i}|^{2}}}=0.}$

Это также можно записать как

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{|z-a_{i}|^{2}}}\right){\overline {z}}=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{|z-a_{i}|^{2}}}{\overline {a_{i}}}\right).}$

Взяв их сопряженные, мы видим, что это взвешенная сумма с положительными коэффициентами, которые в сумме составляют единицу или барицентр в аффинных координатах комплексных чисел (с разной массой, присвоенной каждому корню, веса которого в совокупности равны 1).${\displaystyle z}$${\displaystyle a_{i}}$

Если тогда${\displaystyle P(z)=P'(z)=0,}$

${\displaystyle z=1\cdot a_{i}+\left(\sum _{j=1,j\neq i}^{n}0\cdot {a_{j}}\right)}$

для некоторого i , и по-прежнему является выпуклой комбинацией корней .${\displaystyle P}$

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Лукас, Феликс (1874). "Propriétés géométriques des Fractionnes rationnelles". CR Acad. Sci. Париж . 77 : 431–433.
• Моррис Марден, Геометрия многочленов , AMS, 1966.

Внешние ссылки [ править ]

• «Теорема Гаусса-Лукаса» . Энциклопедия математики . EMS Press . 2001 [1994].
• Теорема Лукаса – Гаусса Брюса Торренса, Демонстрационный проект Вольфрама .