Таким образом, это удовлетворяет определению с A ( n ) = 1 и B ( n ) = n + 1 .
Принято вычитать главный член, поэтому предполагается , что β 0 равно 1. Многочлены могут быть разложены на линейные множители вида ( a j + n ) и ( b k + n ) соответственно, где a j и b k - комплексные числа .
По историческим причинам, предполагается , что (1 + п ) является фактором B . Если это еще не так, то оба A и B могут быть умножены на этот коэффициент; фактор отменяется, поэтому термины остаются неизменными и без потери общности.
Соотношение между последовательными коэффициентами теперь имеет вид
,
где с и d являются ведущими коэффициенты A и B . Тогда серия имеет вид
,
или, масштабируя z соответствующим коэффициентом и переставляя,
что можно было бы записать z a −1 e −z 2 F 0 (1− a , 1 ;; - z −1 ). Однако использование термина гипергеометрический ряд обычно ограничивается случаем, когда ряд определяет фактическую аналитическую функцию.
Серия без множителя n ! в знаменателе (суммированном по всем целым числам n , включая отрицательные) называется двусторонним гипергеометрическим рядом .
Условия сходимости
Существуют определенные значения a j и b k, для которых числитель или знаменатель коэффициентов равен 0.
Если любое a j является целым неположительным числом (0, −1, −2 и т. Д.), То ряд имеет только конечное число членов и фактически является многочленом степени - a j .
Если любое b k является неположительным целым числом (за исключением предыдущего случая с - b k < a j ), тогда знаменатели становятся 0, и ряд не определен.
За исключением этих случаев, для определения радиуса сходимости можно применить тест отношения .
Если p < q + 1, то отношение коэффициентов стремится к нулю. Это означает, что ряд сходится для любого конечного значения z и, таким образом, определяет целую функцию от z . Примером может служить степенной ряд для экспоненциальной функции.
Если p = q + 1, то отношение коэффициентов стремится к единице. Отсюда следует, что ряд сходится при | z | <1 и расходится при | z | > 1. Сходится ли он для | z | = 1 определить труднее. Аналитическое продолжение можно использовать для больших значений z .
Если p > q + 1, то отношение коэффициентов неограниченно растет. Отсюда следует, что кроме z = 0 ряд расходится. Тогда это расходящийся или асимптотический ряд, или его можно интерпретировать как символическое сокращение для дифференциального уравнения, которому сумма формально удовлетворяет.
Вопрос о сходимости при p = q +1, когда z находится на единичной окружности, более сложен. Можно показать, что ряд абсолютно сходится при z = 1, если
.
Далее, если p = q +1,и z является действительным, то имеет место следующий результат сходимости Quigley et al. (2013) :
.
Основные свойства
Непосредственно из определения следует, что порядок параметров a j или порядок параметров b k можно изменить без изменения значения функции. Кроме того, если какой-либо из параметров a j равен любому из параметров b k , тогда соответствующие параметры могут быть «аннулированы», с некоторыми исключениями, когда параметры являются неположительными целыми числами. Например,
.
Эта отмена является частным случаем формулы сокращения, которая может применяться всякий раз, когда параметр в верхней строке отличается от параметра в нижней строке неотрицательным целым числом. [1]
Интегральное преобразование Эйлера
Следующее основное тождество очень полезно, поскольку оно связывает гипергеометрические функции высшего порядка в терминах интегралов над функциями низшего порядка [2]
Дифференциация
Обобщенная гипергеометрическая функция удовлетворяет
а также
Кроме того,
Их объединение дает дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет w = p F q :
.
Непрерывная функция и связанные идентичности
Возьмем следующий оператор:
Из приведенных выше формул дифференцирования линейное пространство, натянутое на
содержит каждый из
Поскольку пространство имеет размерность 2, любые три из этих p + q +2 функций линейно зависимы. Эти зависимости могут быть записаны для создания большого количества идентификаторов, включающих.
Аналогично, дважды применяя формулы дифференцирования, получаем такие функции содержатся в
который имеет размерность три, поэтому любые четыре линейно зависимы. Это генерирует больше идентичностей, и процесс может быть продолжен. Созданные таким образом идентичности можно комбинировать друг с другом для создания новых по-разному.
Функция, полученная добавлением ± 1 ровно к одному из параметров a j , b k в
называется смежным с
Используя описанную выше технику, идентичность, относящаяся к и его две смежные функции могут быть даны, шесть тождеств, связанных и любые две из четырех смежных функций и пятнадцать тождеств, относящихся к и были найдены любые две из шести его смежных функций. (Первый вывод был получен в предыдущем абзаце. Последние пятнадцать были даны Гауссом в его статье 1812 года.)
Идентичности
Ряд других гипергеометрических функциональных тождеств был открыт в девятнадцатом и двадцатом веках. Вклад ХХ века в методологию доказательства этих идентичностей - метод Егорычева .
Мы можем получить этот результат, используя формулу с возрастающими факториалами, следующим образом:
Функции формы называются конфлюэнтными гипергеометрическими предельными функциями и тесно связаны с функциями Бесселя .
Отношения таковы:
Дифференциальное уравнение для этой функции имеет вид
или же
Когда a не является положительным целым числом, подстановка
дает линейно независимое решение
так что общее решение
где k , l - постоянные. (Если a - положительное целое число, независимое решение дается соответствующей функцией Бесселя второго рода.)
Сериал 1 Ж 1
Функции формы называются конфлюэнтными гипергеометрическими функциями первого рода , также записываются. Неполная гамма-функция это особый случай.
Дифференциальное уравнение для этой функции имеет вид
или же
Когда b не является положительным целым числом, подстановка
дает линейно независимое решение
так что общее решение
где k , l - постоянные.
Когда a - целое неположительное число, - n ,является многочленом. С точностью до постоянных множителей это полиномы Лагерра . Это означает, что полиномы Эрмита также могут быть выражены через 1 F 1 .
Сериал 2 Ж 0
Это происходит в связи с экспоненциальной интегральной функцией Ei ( z ).
Сериал 2 Ф 1
Исторически наиболее важными являются функции формы . Их иногда называют гипергеометрическими функциями Гаусса , классическими стандартными гипергеометрическими функциями или часто просто гипергеометрическими функциями. Термин « обобщенная гипергеометрическая функция» используется для функций p F q, если существует опасность путаницы. Эта функция была впервые подробно изучена Карлом Фридрихом Гауссом , который исследовал условия ее сходимости.
Дифференциальное уравнение для этой функции имеет вид
или же
Оно известно как гипергеометрическое дифференциальное уравнение . Когда c не является положительным целым числом, подстановка
дает линейно независимое решение
так что общее решение для | z | <1 это
где k , l - постоянные. Для других значений z могут быть получены разные решения . Фактически существует 24 решения, известных как решения Куммера , которые можно получить с использованием различных тождеств, действительных в разных областях комплексной плоскости.
Когда a - целое неположительное число, - n ,
является многочленом. С точностью до постоянных множителей и масштабирования это многочлены Якоби . Несколько других классов ортогональных многочленов, с точностью до постоянных множителей, являются частными случаями многочленов Якоби, поэтому они также могут быть выражены с помощью 2 F 1 . Это включает в себя полиномы Лежандра и многочлены Чебышева .
Широкий спектр интегралов элементарных функций можно выразить с помощью гипергеометрической функции, например:
Сериал 3 Ж 0
Это происходит в связи с полиномами Мотта . [5]
Сериал 3 F 1
Это происходит в теории функций Бесселя. Он предоставляет способ вычисления функций Бесселя с большими аргументами.
Дилогарифм
это дилогарифм [6]
Многочлены Хана
является многочленом Хана .
Многочлены Вильсона
является многочленом Вильсона .
Обобщения
Обобщенная гипергеометрическая функция связана с G-функцией Мейера и E-функцией Мак-Роберта . Гипергеометрические ряды были обобщены на несколько переменных, например, Полем Эмилем Аппелем и Жозефом Кампе де Фериет ; но для появления сопоставимой общей теории потребовалось много времени. Было найдено много личностей, некоторые весьма примечательные. Обобщение, аналоги q-рядов , названные базовыми гипергеометрическими рядами , были даны Эдуардом Гейне в конце девятнадцатого века. Здесь рассматриваемые отношения последовательных членов вместо рациональной функции n являются рациональной функцией q n . Другое обобщение, эллиптический гипергеометрический ряд , - это ряд, в котором отношение членов является эллиптической функцией (двоякопериодической мероморфной функцией ) от n .
В течение двадцатого века это была плодотворная область комбинаторной математики с многочисленными связями с другими областями. Есть ряд новых определений общих гипергеометрических функций , сделанных Аомото, Израилем Гельфандом и другими; и приложения, например, к комбинаторике расположения нескольких гиперплоскостей в комплексном N- пространстве (см. расположение гиперплоскостей ).
Специальные гипергеометрические функции встречаются как зональные сферические функции на римановых симметрических пространствах и полупростых группах Ли . Их важность и роль можно понять на следующем примере: гипергеометрический ряд 2 F 1 имеет многочлены Лежандра как частный случай, и, если рассматривать их в форме сферических гармоник , эти многочлены отражают, в определенном смысле, свойства симметрии двумерная сфера или, что то же самое, вращения, заданные группой Ли SO (3) . В разложении на тензорное произведение конкретных представлений этой группы встречаются коэффициенты Клебша – Гордана , которые можно записать в виде гипергеометрических рядов 3 F 2 .
Двусторонние гипергеометрические ряды - это обобщение гипергеометрических функций, в котором суммируются все целые числа, а не только положительные.
Функции Фокса – Райта являются обобщением обобщенных гипергеометрических функций, где символы Похгаммера в выражении ряда обобщаются на гамма-функции линейных выражений с индексом n .
Заметки
^ Прудников, А.П .; Брычков, Ю. А .; Маричев, О.И. (1990). Интегралы и ряды Том 3: Дополнительные специальные функции . Гордон и Брич. п. 439.
^ ( Слейтер 1966 , уравнение (4.1.2))
^ См. ( Slater 1966 , раздел 2.3.1) или ( Bailey 1935 , раздел 2.2) для доказательства.
^ См. ( Bailey 1935 , раздел 3.1) для подробного доказательства. Альтернативное доказательство можно найти в ( Slater 1966 , раздел 2.3.3).
Аски, РА; Даалхуис, Адри Б. Олде (2010), «Обобщенная гипергеометрическая функция» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
Эндрюс, Джордж Э .; Аски, Ричард и Рой, Ранджан (1999). Специальные функции . Энциклопедия математики и ее приложений. 71 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-78988-2. Руководство по ремонту 1688958 .
Бейли, WN (1935). Обобщенный гипергеометрический ряд . Кембриджские трактаты по математике и математической физике. 32 . Лондон: Издательство Кембриджского университета. Zbl 0011.02303 .
Диксон, AC (1902). «Суммирование определенного ряда» . Proc. Лондонская математика. Soc . 35 (1): 284–291. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s1-35.1.284 . JFM 34.0490.02 .
Дугалл, Дж. (1907). «О теореме Вандермонда и некоторых более общих разложениях» . Proc. Edinburgh Math. Soc . 25 : 114–132. DOI : 10.1017 / S0013091500033642 .
Эрдейи, Артур; Магнус, Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц; Трикоми, Франческо Г. (1955). Высшие трансцендентные функции. Vol. III . McGraw-Hill Book Company, Inc., Нью-Йорк-Торонто-Лондон. Руководство по ремонту 0066496 .
Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004). Базовый гипергеометрический ряд . Энциклопедия математики и ее приложений. 96 (2-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-83357-8. Руководство по ремонту 2128719 . Zbl 1129.33005 . (в первом издании ISBN 0-521-35049-2 )
Гаусс, Карл Фридрих (1813). "Disquisitiones generales circa seriam infinitam" 1 + α β 1 ⋅ γ Икс + α ( α + 1 ) β ( β + 1 ) 1 ⋅ 2 ⋅ γ ( γ + 1 ) Икс Икс + и т.п. {\ displaystyle 1 + {\ tfrac {\ alpha \ beta} {1 \ cdot \ gamma}} ~ х + {\ tfrac {\ alpha (\ alpha +1) \ beta (\ beta +1)} {1 \ cdot 2 \ cdot \ gamma (\ gamma +1)}} ~ x ~ x + {\ mbox {и т. д.}}}
" . Commentationes Societatis Regiae Scientarum Gottingensis Recentiores (на латыни). Геттинген. 2 .(перепечатку этой статьи можно найти у Карла Фридриха Гаусса, Werke , стр. 125)
Гриншпан, AZ (2013), "Обобщенные гипергеометрические функции: идентичность продукта и взвешенные неравенства нормы", Ramanujan Journal , 31 (1-2): 53-66, DOI : 10.1007 / s11139-013-9487-х , S2CID 121054930
Хекман, Геррит и Шлихткрулл, Хенрик (1994). Гармонический анализ и специальные функции на симметричных пространствах . Сан-Диего: Academic Press. ISBN 978-0-12-336170-7. (часть 1 посвящена гипергеометрическим функциям на группах Ли)
Lavoie, JL; Grondin, F .; Рати, AK; Арора, К. (1994). «Обобщения теоремы Диксона о сумме 3F2». Математика. Комп . 62 (205): 267–276. DOI : 10.2307 / 2153407 . JSTOR 2153407 .
Миллер, АР; Париж, РБ (2011). «Преобразования типа Эйлера для обобщенной гипергеометрической функции r + 2 F r + 1 » . З. Энгью. Математика. Phys . 62 : 31–45. DOI : 10.1007 / s00033-010-0085-0 . S2CID 30484300 .
Quigley, J .; Wilson, KJ; Стены, л .; Бедфорд, Т. (2013). «Байесовский линейный байесовский метод для оценки частоты коррелированных событий» (PDF) . Анализ рисков . 33 (12): 2209–2224. DOI : 10.1111 / risa.12035 . PMID 23551053 .
Рати, Арджун К .; Погани, Тибор К. (2008). «Новая формула суммирования для 3 F 2 (1/2) и преобразования типа Куммера II для 2 F 2 ( x )» . Математические коммуникации . 13 : 63–66. Руководство по ремонту 2422088 . Zbl 1146.33002 .
Ракха, Массачусетс; Рати, Арджун К. (2011). «Расширения преобразования Эйлера типа II и теоремы Заальшуца» . Бык. Корейская математика. Soc . 48 (1): 151–156. DOI : 10.4134 / bkms.2011.48.1.151 .
Заальшютц, Л. (1890). "Eine Summationsformel". Zeitschrift für Mathematik und Physik (на немецком языке). 35 : 186–188. JFM 22.0262.03 .
Слейтер, Люси Джоан (1966). Обобщенные гипергеометрические функции . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-06483-5. Руководство по ремонту 0201688 . Zbl 0135.28101 . (есть мягкая обложка 2008 года с ISBN 978-0-521-09061-2 )
Ёсида, Масааки (1997). Гипергеометрические функции, моя любовь: модульные интерпретации конфигурационных пространств . Брауншвейг / Висбаден: Фридр. Vieweg & Sohn. ISBN 978-3-528-06925-4. Руководство по ремонту 1453580 .
Внешние ссылки
Книга «A = B» , эту книгу можно бесплатно загрузить из Интернета.
MathWorld
Вайсштейн, Эрик В. «Обобщенная гипергеометрическая функция» . MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. «Гипергеометрическая функция» . MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. "Конфлюэнтная гипергеометрическая функция первого рода" . MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. "Конфлюэнтная гипергеометрическая предельная функция" . MathWorld .