В математической физике геометрическое квантование — математический подход к определению квантовой теории , соответствующей данной классической теории . Он пытается осуществить квантование , для которого вообще не существует точного рецепта, таким образом, чтобы некоторые аналогии между классической теорией и квантовой теорией оставались очевидными. Например, следует предусмотреть сходство между уравнением Гейзенберга в гейзенберговской картине квантовой механики и уравнением Гамильтона в классической физике.
Одной из первых попыток естественного квантования было квантование Вейля , предложенное Германом Вейлем в 1927 году. Здесь делается попытка связать квантово-механическую наблюдаемую ( самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве ) с вещественнозначной функцией на классическом фазовом пространстве . Положение и импульс в этом фазовом пространстве отображаются в образующие группы Гейзенберга , а гильбертово пространство появляется как групповое представление группы Гейзенберга . В 1946 году Х. Дж. Гроэневолдрассмотрел произведение пары таких наблюдаемых и спросил, какой будет соответствующая функция в классическом фазовом пространстве. [1] Это привело его к открытию звездного произведения фазового пространства пары функций.
Современная теория геометрического квантования была разработана Бертрамом Костантом и Жаном-Мари Сурио в 1970-х годах. Одним из мотивов теории было понимание и обобщение метода орбит Кириллова в теории представлений.
В более общем смысле этот метод приводит к деформационному квантованию , где ★-произведение считается деформацией алгебры функций на симплектическом многообразии или многообразии Пуассона . Однако как естественная схема квантования (функтор) отображение Вейля не является удовлетворительным. Например, карта Вейля классического квадрата углового момента представляет собой не только квантовый оператор квадрата углового момента, но и содержит постоянный член 3× 2 /2. (Этот дополнительный член на самом деле имеет физический смысл, поскольку он объясняет ненулевой угловой момент боровской орбиты в основном состоянии в атоме водорода. [2] ) Однако в качестве простого изменения представления карта Вейля лежит в основе альтернативногоформулировка традиционной квантовой механики в фазовом пространстве .
Процедура геометрического квантования делится на следующие три этапа: предварительное квантование, поляризация и метаплектическая коррекция. Предварительное квантование создает естественное гильбертово пространство вместе с процедурой квантования наблюдаемых, которая точно преобразует скобки Пуассона на классической стороне в коммутаторы на квантовой стороне. Тем не менее предквантовое гильбертово пространство обычно понимается как «слишком большое». [3] Идея состоит в том, что затем следует выбрать коммутирующий по Пуассону набор из n переменных на 2 n -мерном фазовом пространстве и рассмотреть функции (или, точнее, сечения), которые зависят только от этих n переменных. п _переменные могут быть либо вещественными, что приводит к гильбертовому пространству позиционного стиля, либо комплексным значениям, создавая что-то вроде пространства Сигала-Баргмана . [a] Поляризация — это независимое от координат описание такого выбора n функций, коммутирующих по Пуассону. Метаплектическая коррекция (известная также как коррекция полуформы) является технической модификацией описанной выше процедуры, необходимой в случае реальных поляризаций и часто удобной для сложных поляризаций.