Формулировка фазового пространства

Часть серии по
Квантовая механика
${\ Displaystyle я \ HBAR {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Родившееся правило Комптоновская длина волны Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Слабое измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовая Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер Пространство фока
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген Космологический де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

Формулировка фазового пространства квантовой механики помещает позицию и импульс переменные на равном, в фазовом пространстве . Напротив, картина Шредингера использует представления положения или импульса (см. Также пространство положения и импульса ). Две ключевые особенности формулировки фазового пространства заключаются в том, что квантовое состояние описывается распределением квазивероятностей (вместо волновой функции , вектора состояния или матрицы плотности ), а операторное умножение заменяется звездным произведением .

Теория была полностью разработана Hilbrand Groenewold в 1946 году в своей докторской диссертации, ^[1] и независимо друг от друга Джо Мойэл , ^[2] каждое здание на более ранние идеи по Вейлю ^[3] и Юджин Вигнер . ^[4]

Главное преимущество формулировки фазового пространства состоит в том, что она делает квантовую механику максимально похожей на гамильтонову механику , избегая операторного формализма, тем самым «освобождая» квантование от «бремени» гильбертова пространства ». ^[5] Эта формулировка является статистической по своей природе и предлагает логические связи между квантовой механикой и классической статистической механикой, позволяя естественное сравнение между ними (см. Классический предел ). Квантовой механике в фазовом пространстве часто отдают предпочтение в определенных приложениях квантовой оптики (см. Оптическое фазовое пространство ) или при изучении декогеренции.и ряд специализированных технических проблем, хотя в остальном формализм менее часто используется в практических ситуациях. ^[6]

Концептуальные идеи, лежащие в основе развития квантовой механики в фазовом пространстве, разветвились на математические ответвления, такие как деформационно-квантование Концевича (см. Формулу квантования Концевича ) и некоммутативную геометрию .

Распределение в фазовом пространстве [ править ]

Распределение квантового состояния f ( x ,  p ) в фазовом пространстве является распределением квазивероятностей. В формулировке фазового пространства распределение фазового пространства можно рассматривать как фундаментальное, примитивное описание квантовой системы без какой-либо ссылки на волновые функции или матрицы плотности. ^[7]

Существует несколько различных способов представления распределения, и все они взаимосвязаны. ^{[8] [9]} Наиболее примечательным является представление Вигнера , W ( x ,  p ) , открытое первым. ^[4] Другие представления (примерно в порядке убывания распространенности в литературе) включают представления Глаубера – Сударшана P , ^{[10] [11]} Хусими Q , ^[12] Кирквуда – Рихачека, Мехта, Ривье и Борна – Джордана. ^{[13] [14]} Эти альтернативы наиболее полезны, когда гамильтониан принимает конкретную форму, например нормальный порядокдля P-представления Глаубера – Сударшана. Поскольку представление Вигнера является наиболее распространенным, эта статья обычно придерживается его, если не указано иное.

Распределение в фазовом пространстве обладает свойствами, близкими к плотности вероятности в 2 n -мерном фазовом пространстве. Например, это действительное значение , в отличие от обычно комплексной волновой функции. Мы можем понять вероятность нахождения в пределах позиционного интервала, например, интегрировав функцию Вигнера по всем импульсам и по позиционному интервалу:

${\ displaystyle \ operatorname {P} [a \ leq X \ leq b] = \ int _ {a} ^ {b} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} W (x, p) \, dx \, dp.}$

Если Â ( x ,  p ) - оператор, представляющий наблюдаемую, он может быть отображен в фазовое пространство как A ( x , p ) с помощью преобразования Вигнера . Наоборот, этот оператор можно восстановить преобразованием Вейля .

Среднее значение наблюдаемой относительно распределения в фазовом пространстве равно ^{[2] [15]}

${\ displaystyle \ langle {\ hat {A}} \ rangle = \ int A (x, p) W (x, p) \, dp \, dx.}$

Однако следует предостеречь: несмотря на внешнее сходство, W ( x ,  p ) не является подлинным совместным распределением вероятностей , потому что области под ним не представляют взаимоисключающие состояния, как требуется в третьей аксиоме теории вероятностей . Более того, он может, как правило, принимать отрицательные значения даже для чистых состояний, за единственным исключением (необязательно сжатых ) когерентных состояний , что нарушает первую аксиому .

Регионы такого отрицательного значения доказуемы быть «маленькими»: они не могут распространяться на компактные областях больше , чем несколько ħ , и , следовательно , исчезают в классическом пределе . Они экранируется принципом неопределенности , которая не позволяет точную локализацию внутри фазового пространства областей меньше , чем ħ , и , следовательно , оказывает такие «отрицательные вероятности» менее парадоксальной. Если левую часть уравнения следует интерпретировать как математическое ожидание в гильбертовом пространстве относительно оператора, то в контексте квантовой оптики это уравнение известно как теорема оптической эквивалентности . (Подробнее о свойствах и интерпретации функции Вигнера см.основная статья .)

Альтернативный подход к квантовой механике с фазовым пространством направлен на определение волновой функции (а не только плотности квазивероятностей) на фазовом пространстве, обычно с помощью преобразования Сегала – Баргмана . Чтобы быть совместимым с принципом неопределенности, волновая функция фазового пространства не может быть произвольной функцией, иначе она может быть локализована в сколь угодно малой области фазового пространства. Скорее преобразование Сигала – Баргмана является голоморфной функцией от . С волновой функцией в фазовом пространстве связана плотность квазивероятностей; это представление Husimi Q волновой функции положения.${\ displaystyle x + ip}$

Звездный продукт [ править ]

Фундаментальный некоммутативный бинарный оператор в формулировке фазового пространства, заменяющий стандартное операторное умножение, - это звездное произведение , представленное символом ★ . ^[1] Каждое представление распределения фазового пространства имеет различное характеристическое звездное произведение. Для конкретности мы ограничим это обсуждение звездным произведением, относящимся к представлению Вигнера-Вейля.

Для удобства обозначений введем понятие левой и правой производных . Для пары функций f и g левая и правая производные определяются как

${\ displaystyle {\ begin {align} f {\ overleftarrow {\ partial}} _ {x} g & = {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} \ cdot g \\ [5pt] f {\ overrightarrow {\ partial}} _ {x} g & = f \ cdot {\ frac {\ partial g} {\ partial x}}. \ end {align}}}$

Дифференциальное определение звездного продукта

${\displaystyle f\star g=f\,\exp {\left({\frac {i\hbar }{2}}\left({\overleftarrow {\partial }}_{x}{\overrightarrow {\partial }}_{p}-{\overleftarrow {\partial }}_{p}{\overrightarrow {\partial }}_{x}\right)\right)}\,g}$

где аргумент экспоненциальной функции можно интерпретировать как степенной ряд. Дополнительные дифференциальные соотношения позволяют записать это в терминах изменения аргументов f и g :

${\displaystyle {\begin{aligned}(f\star g)(x,p)&=f\left(x+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overrightarrow {\partial }}_{p},p-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overrightarrow {\partial }}_{x}\right)\cdot g(x,p)\\&=f(x,p)\cdot g\left(x-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overleftarrow {\partial }}_{p},p+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overleftarrow {\partial }}_{x}\right)\\&=f\left(x+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overrightarrow {\partial }}_{p},p\right)\cdot g\left(x-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overleftarrow {\partial }}_{p},p\right)\\&=f\left(x,p-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overrightarrow {\partial }}_{x}\right)\cdot g\left(x,p+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overleftarrow {\partial }}_{x}\right).\end{aligned}}}$

Также возможно определить ★ -произведение в интегральной форме свертки ^{[16], по} существу, через преобразование Фурье :

${\displaystyle (f\star g)(x,p)={\frac {1}{\pi ^{2}\hbar ^{2}}}\,\int f(x+x',p+p')\,g(x+x'',p+p'')\,\exp {\left({\tfrac {2i}{\hbar }}(x'p''-x''p')\right)}\,dx'dp'dx''dp''~.}$

(Так, например, ^[7] гауссианы образуют гиперболически ,

${\displaystyle \exp \left(-{a}(x^{2}+p^{2})\right)~\star ~\exp \left(-{b}(x^{2}+p^{2})\right)={1 \over 1+\hbar ^{2}ab}\exp \left(-{a+b \over 1+\hbar ^{2}ab}(x^{2}+p^{2})\right),}$

или же

${\displaystyle \delta (x)~\star ~\delta (p)={2 \over h}\exp \left(2i{xp \over \hbar }\right),}$

так далее.)

Распределения собственных состояний энергии известны как звездные состояния , ★ - родовые состояния , звездообразующие функции или ★ - ген - функции , а связанные с ними энергии известны как звездные значения или ★ - родовые значения . Они решаются аналогично не зависящему от времени уравнению Шредингера с помощью ★ -значного уравнения ^{[17] [18]}

${\displaystyle H\star W=E\cdot W,}$

где H - гамильтониан, простая функция фазового пространства, чаще всего идентичная классическому гамильтониану.

Временная эволюция [ править ]

Временная эволюция распределения фазового пространства задаются квантовой модификацией потока лиувиллевого . ^{[2] [9] [19]} Эта формула является результатом применения преобразования Вигнера к версии матрицы плотности квантового уравнения Лиувилля , в уравнении фон Неймана .

В любом представлении распределения фазового пространства с соответствующим звездным произведением это

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\left(f\star H-H\star f\right),}$

или, в частности, для функции Вигнера

${\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial t}}=-\{\{W,H\}\}=-{\frac {2}{\hbar }}W\sin \left({{\frac {\hbar }{2}}({\overset {\leftarrow }{\partial _{x}}}{\overset {\rightarrow }{\partial _{p}}}-{\overset {\leftarrow }{\partial _{p}}}{\overset {\rightarrow }{\partial _{x}}})}\right)\ H=-\{W,H\}+O(\hbar ^{2}),}$

где {{,}} - скобка Мойала , преобразование Вигнера квантового коммутатора, а {,} - классическая скобка Пуассона . ^[2]

Это дает краткую иллюстрацию принципа соответствия : это уравнение явно сводится к классическому уравнению Лиувилля в пределе ħ → 0. Однако при квантовом расширении потока плотность точек в фазовом пространстве не сохраняется ; жидкость вероятности кажется "диффузной" и сжимаемой. ^[2] Таким образом, концепция квантовой траектории является здесь деликатным вопросом. ^[20] См. Фильм о потенциале Морзе ниже, чтобы оценить нелокальность квантового фазового потока.

NB. Учитывая ограничения, накладываемые принципом неопределенности на локализацию, Нильс Бор решительно отрицал физическое существование таких траекторий в микроскопическом масштабе. С помощью формальных фазового пространства траекторий, время эволюции проблема функции Вигнера может быть строго решена с помощью пути-интегрального метода ^[21] и метод квантовых характеристик , ^[22] , хотя существуют серьезные практические препятствия в обоих случаях.

Примеры [ править ]

Простой гармонический осциллятор [ править ]

Гамильтониан простого гармонического осциллятора в одном пространственном измерении в представлении Вигнера-Вейля имеет вид

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}.}$

★ -genvalue уравнение для статической функции Вигнера затем считывает

${\displaystyle {\begin{aligned}H\star W={}&\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}\right)\star W\\[4pt]={}&\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(x+{\frac {i\hbar }{2}}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{p}\right)^{2}+{\frac {1}{2m}}\left(p-{\frac {i\hbar }{2}}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{x}\right)^{2}\right)~W\\[4pt]={}&\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(x^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{4}}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{p}^{2}\right)+{\frac {1}{2m}}\left(p^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{4}}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{x}^{2}\right)\right)~W\\[4pt]&{}+{\frac {i\hbar }{2}}\left(m\omega ^{2}x{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{p}-{\frac {p}{m}}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{x}\right)~W\\[4pt]={}&E\cdot W.\end{aligned}}}$

Рассмотрим сначала мнимую часть уравнения ★ -значения:

${\displaystyle {\frac {\hbar }{2}}\left(m\omega ^{2}x{\stackrel {\rightarrow }{\partial _{p}}}-{\frac {p}{m}}{\stackrel {\rightarrow }{\partial _{x}}}\right)\cdot W=0}$

Это означает, что можно записать ★ -состояния как функции одного аргумента,

${\displaystyle W(x,p)=F\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}\right)\equiv F(u).}$

При такой замене переменных можно записать вещественную часть уравнения ★ -значения в виде модифицированного уравнения Лагерра (не уравнения Эрмита !), Решение которого включает полиномы Лагерра в виде ^[18]

${\displaystyle F_{n}(u)={\frac {(-1)^{n}}{\pi \hbar }}L_{n}\left(4{\frac {u}{\hbar \omega }}\right)e^{-2u/\hbar \omega }~,}$

введенный Греневольдом в его статье ^[1] с ассоциированными ★ -ген-значениями

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)~.}$

Для гармонического осциллятора временная эволюция произвольного распределения Вигнера проста. Начальное Ш ( х , р , т = 0) = F ( U ) эволюционирует по приведенному выше уравнению эволюции ведомого гамильтонианом осциллятора дается, просто жестко вращается в фазовом пространстве , ^[1]

${\displaystyle W(x,p;t)=W(m\omega x\cos \omega t-p\sin \omega t,~p\cos \omega t+\omega mx\sin \omega t;0)~.}$

Как правило, «выпуклость» (или когерентное состояние) энергии E ≫ ħω может представлять макроскопическую величину и выглядеть как классический объект, равномерно вращающийся в фазовом пространстве, простой механический осциллятор (см. Анимированные рисунки). Интегрирование по всем фазам (начальные положения в t = 0) таких объектов, непрерывный «частокол», дает не зависящую от времени конфигурацию, аналогичную приведенным выше статическим ★ -генстатам F ( u ) , интуитивно понятной визуализации классического предела для больших системы действий. ^[6]

Угловой момент свободной частицы [ править ]

Предположим, что частица изначально находится в минимально неопределенном гауссовском состоянии , с ожидаемыми значениями положения и импульса, сосредоточенными в начале координат в фазовом пространстве. Функция Вигнера для такого состояния свободно распространяется:

${\displaystyle W(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ;t)={\frac {1}{(\pi \hbar )^{3}}}\exp {\left(-\alpha ^{2}r^{2}-{\frac {p^{2}}{\alpha ^{2}\hbar ^{2}}}\left(1+\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{2}\right)+{\frac {2t}{\hbar \tau }}\mathbf {x} \cdot \mathbf {p} \right)}~,}$

где α - параметр, описывающий начальную ширину гауссианы, а τ = m / α ² ħ .

Первоначально положение и импульсы не коррелированы. Таким образом, в трехмерном пространстве мы ожидаем, что векторы положения и импульса будут в два раза чаще быть перпендикулярными друг другу, чем параллельными.

Однако положение и импульс становятся все более коррелированными по мере развития состояния, потому что части распределения, расположенные дальше от начала координат, требуют большего импульса для достижения: асимптотически,

${\displaystyle W\longrightarrow {\frac {1}{(\pi \hbar )^{3}}}\exp \left[-\alpha ^{2}\left(\mathbf {x} -{\frac {\mathbf {p} t}{m}}\right)^{2}\right]\,.}$

(Это относительное «сжатие» отражает распространение свободного волнового пакета в координатном пространстве.)

Действительно, можно показать, что кинетическая энергия частицы становится только асимптотически радиальной, что согласуется со стандартным квантово-механическим представлением о ненулевом угловом моменте основного состояния, определяющем независимость от ориентации: ^[24]

${\displaystyle K_{\text{rad}}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3}{2}}-{\frac {1}{1+(t/\tau )^{2}}}\right)}$

${\displaystyle K_{\text{ang}}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{1+(t/\tau )^{2}}}~.}$

Потенциал Морзе [ править ]

Потенциал Морзе используются для аппроксимации колебательной структуры двухатомной молекулы.

Квантовое туннелирование [ править ]

Туннелирование - это отличительный квантовый эффект, когда квантовая частица, не имея достаточной энергии, чтобы лететь над ней, все же проходит через барьер. Этого эффекта нет в классической механике.

Потенциал четвертой степени [ править ]

Состояние кошки Шредингера [ править ]

Ссылки [ править ]