В линейной алгебре , ганкелева матрица (или catalecticant матрица ), названная в честь Ганкеля , является квадратной матрицей , в которой каждый восходящий косых по диагонали слева направо постоянно, например:
В более общем смысле, матрица Ганкеля - это любая матрица формы
Что касается компонентов, если элемент обозначается , и предполагая , то имеем для всех
Характеристики
- Матрица Ганкеля - это симметричная матрица .
- Позволять быть матрица обмена . Если это Матрица Ганкеля, тогда где это Матрица Теплица .
- Если является реальным симметричным, тобудут иметь те же собственные значения, что идо подписи. [1]
- Матрица Гильберта является примером матрицы ганкелевой.
Оператор Ганкеля
Оператор Ганкеля в гильбертовом пространстве - это оператор , матрица которого является (возможно, бесконечной) матрицей Ганкеля относительно ортонормированного базиса . Как указано выше, матрица Ганкеля - это матрица с постоянными значениями вдоль ее антидиагоналей, что означает, что матрица Ганкеля должен удовлетворять для всех строк и колонны , . Обратите внимание, что каждая запись зависит только от .
Пусть соответствующий оператор Ганкеля есть. Учитывая матрицу Ганкеля, тогда соответствующий оператор Ганкеля определяется как .
Нас часто интересуют операторы Ганкеля. над гильбертовым пространством , пространство квадратично интегрируемых двусторонних комплексных последовательностей . Для любой, у нас есть
Нас часто интересуют приближения операторов Ганкеля, возможно, операторами низкого порядка. Чтобы аппроксимировать выходные данные оператора, мы можем использовать спектральную норму (оператор 2-норма) для измерения ошибки нашего приближения. Это предполагает разложение по сингулярным числам как возможный метод аппроксимации действия оператора.
Обратите внимание, что матрица не обязательно должно быть конечным. Если оно бесконечно, традиционные методы вычисления отдельных сингулярных векторов не будут работать напрямую. Мы также требуем, чтобы аппроксимация была матрицей Ганкеля, что можно показать с помощью теории AAK.
Определитель матрицы ганкелевой называется catalecticant .
Матричное преобразование Ганкеля
Ганкель матрица преобразования , или просто преобразование ханкеля , производит последовательность определителей матриц Ганкеля , образованных из заданной последовательности. А именно последовательность - преобразование Ганкеля последовательности когда
Преобразование Ханкеля инвариантно относительно биномиального преобразования последовательности. То есть, если писать
как биномиальное преобразование последовательности , то есть
Приложения матриц Ганкеля
Матрицы Ганкеля формируются, когда при заданной последовательности выходных данных желательна реализация лежащего в основе пространства состояний или скрытой марковской модели . [2] значение разложение по сингулярным матрицы ганкелевой обеспечивает средство вычисления , B , и C матрицы , которые определяют реализацию пространства состояний. [3] Матрица Ганкеля, сформированная из сигнала, оказалась полезной для разложения нестационарных сигналов и частотно-временного представления.
Метод моментов для полиномиальных распределений
Метод моментов применен к полиномиальным распределениям результатов в матрице ганкелевой , которая должна быть инвертирована для того , чтобы получить весовые параметры полиномиальной аппроксимации распределения. [4]
Положительные матрицы Ганкеля и проблемы моментов Гамбургера
Смотрите также
- Матрица Теплица , "перевернутая" (т.е. перевернутая по строкам) матрица Ганкеля
- Матрица Коши
- Матрица Вандермонда
Заметки
- Перейти ↑ Yasuda, M. (2003). "Спектральная характеристика эрмитовых центросимметричных и эрмитовых косоцентросимметричных K-матриц". SIAM J. Matrix Anal. Прил . 25 (3): 601–605. DOI : 10.1137 / S0895479802418835 .
- ^ Аоки, Масанао (1983). «Прогнозирование временных рядов» . Заметки об анализе экономических временных рядов: теоретические перспективы системы . Нью-Йорк: Спрингер. С. 38–47. ISBN 0-387-12696-1.
- ^ Аоки, Масанао (1983). «Ранговое определение матриц Ганкеля» . Заметки об анализе экономических временных рядов: теоретические перспективы системы . Нью-Йорк: Спрингер. С. 67–68. ISBN 0-387-12696-1.
- ^ J. Munkhammar, L. Mattsson, J. Rydén (2017) «Оценка полиномиального распределения вероятностей с использованием метода моментов». PLoS ONE 12 (4): e0174573. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0174573
Рекомендации
- Брент Р.П. (1999), "Устойчивость быстрых алгоритмов для структурированных линейных систем", Быстрые надежные алгоритмы для матриц со структурой (редакторы - Т. Кайлат, А. Х. Сайед), глава 4 ( SIAM ).
- Виктор Ю. Пан (2001). Структурированные матрицы и полиномы: унифицированные сверхбыстрые алгоритмы . Birkhäuser . ISBN 0817642404.
- Дж. Р. Партингтон (1988). Введение в операторы Ганкеля . Тексты студентов LMS. 13 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-36791-3.
- П. Джайн и Р. Б. Пачори, Итерационный подход к разложению многокомпонентных нестационарных сигналов, основанный на разложении по собственным значениям матрицы Ханкеля , Журнал Института Франклина, вып. 352, выпуск 10, стр. 4017–4044, октябрь 2015 г.
- П. Джайн и Р. Б. Пачори, Основанный на событиях метод мгновенной оценки основной частоты из вокализованной речи на основе разложения по собственным значениям матрицы Ханкеля , IEEE / ACM Transactions on Audio, Speech and Language Processing, vol. 22. Выпуск 10, с. 1467–1482, октябрь 2014 г.
- Р. Р. Шарма и Р. Б. Пачори, Частотно -временное представление с использованием IEVDHM-HT с приложением к классификации эпилептических сигналов ЭЭГ , IET Science, Measurement & Technology, vol. 12, выпуск 01, стр. 72–82, январь 2018 г.