Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
108 бесплатных гептомино

Гептамин (или 7-omino ) является Полимином порядка 7, то есть многоугольник в плоскости выполнен из 7 одинаковых по размеру квадратов , соединенных от края до края. [1] Название этого типа фигур образуется приставкой hept (a) - . Когда вращения и отражения не считаются отдельными формами, существует 108 различных свободных гептомино. Если считать отражения отчетливыми, получается 196 односторонних гептомино. Когда вращения также считаются отдельными, существует 760 фиксированныхгептомино. [2] [3]

Симметрия [ править ]

На рисунке показаны все возможные свободные гептамино, раскрашенные в соответствии с их группами симметрии :

  • 84 гептомино (окрашены в серый цвет) не имеют симметрии . Их группа симметрии состоит только из тождественного отображения .
  • У 9 гептомино (окрашенных в красный цвет) ось симметрии отражения совпадает с линиями сетки. Их группа симметрии состоит из двух элементов: тождества и отражения на линии, параллельной сторонам квадратов.
Отражение Симметричное Гептомино-90-deg.svg
  • 7 гептомино (зеленого цвета) имеют ось симметрии отражения под углом 45 ° к линиям сетки. Их группа симметрии состоит из двух элементов: тождества и диагонального отражения.
Отражение Симметричное Гептомино-45-deg.svg
  • 4 гептомино (окрашены в синий цвет) имеют точечную симметрию, также известную как симметрия вращения 2-го порядка. Их группа симметрии состоит из двух элементов: идентичности и поворота на 180 °.
Симметричное вращение Heptominoes.svg
  • 3 гептомино (окрашены в фиолетовый цвет) имеют две оси симметрии отражения, обе совмещенные с линиями сетки. Их группа симметрии состоит из четырех элементов: идентичности, двух отражений и поворота на 180 °. Это диэдральная группа порядка 2, также известная как четырехгруппа Клейна .
  • 1 гептомино (оранжевого цвета) имеет две оси симметрии отражения, обе совмещенные с диагоналями. Его группа симметрии также состоит из четырех элементов. Его группа симметрии также является группой диэдра порядка 2 с четырьмя элементами.
Симметричные вращения и отражения Heptominoes.svg

Если отражения гептомино считаются отдельными, как в случае односторонних гептомино, то каждая из указанных выше категорий первой и четвертой будет вдвое больше, что приведет к дополнительным 88 гептомино, в общей сложности 196. Если вращения также считаются отдельными, затем гептомино из первой категории засчитывается восьмикратно, из следующих трех категорий засчитывается четырехкратно, а из последних двух категорий засчитывается дважды. Это дает 84 × 8 + (9 + 7 + 4) × 4 + (3 + 1) × 2 = 760 фиксированных гептомино.

Упаковка и укладка [ править ]

Из 108 бесплатных гептомино 101 удовлетворяет критерию Конвея, а еще 3 могут образовывать пятно, удовлетворяющее этому критерию. Таким образом, только 4 гептомино не удовлетворяют критерию, и, фактически, эти 4 не могут составить мозаику плоскости. [4]

Четыре гептомино, неспособные выложить плитку на плоскости, в том числе одно гептомино с отверстием.

Хотя полный набор из 108 свободных heptominoes имеет в общей сложности 756 квадратов, это не представляется возможным плитке прямоугольник с этим набором. Доказательство этого тривиально, так как есть одно гептомино, в котором есть дыра. [5] Также невозможно упаковать их в прямоугольник с квадратами 757 и отверстием в один квадрат, потому что 757 - простое число.

Однако набор из 107 односвязных свободных гептомино, то есть без дырки, может выложить прямоугольник 7 на 107 (квадрат 749). [6] Кроме того, полный набор бесплатных гептомино может размещать три прямоугольника 11 на 23 (253 квадратных), каждый с одним квадратным отверстием в центре; полный набор также может выложить двенадцать квадратов 8 на 8 (64 квадратных) с одним квадратным отверстием в «центре». [7]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Голомб, Соломон В. (1994). Полимино (2-е изд.). Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02444-8.
  2. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Гептомино" . Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram . Проверено 22 июля 2008 .
  3. ^ Редельмайер, Д. Хью (1981). «Подсчет полимино: еще одна атака». Дискретная математика . 36 (2): 191–203. DOI : 10.1016 / 0012-365X (81) 90237-5 .
  4. Перейти ↑ Rhoads, Glenn C. (2005). «Плоские мозаики полимино, полигексами и полиалмазами» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 174 (2): 329–353. DOI : 10.1016 / j.cam.2004.05.002 .
  5. ^ Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . Нью-Йорк: WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1193-1.
  6. ^ "Полимино: еще больше гептомино!"
  7. ^ Изображение, «Невероятное решение гептомино от Патрика Хэмлина» , из материала, добавленного в феврале-августе 2001 г. на MathPuzzzle.com