Приближения для математической константы пи ( π ) в истории математики достигали точности в пределах 0,04% от истинного значения до начала нашей эры ( Архимеда ). В китайской математике это было улучшено до приближений, верных примерно до семи десятичных цифр к 5 веку.
Дальнейшего прогресса не было до 15 века (благодаря усилиям Джамшида аль-Каши ). Ранние современные математики достигли точности в 35 цифр к началу 17 века ( Людольф ван Сеулен ) и 126 цифр к 19 веку ( Юрий Вега ), превзойдя точность, требуемую для любого мыслимого приложения за пределами чистой математики.
Рекорд ручного приближения π принадлежит Уильяму Шанксу , который правильно вычислил 527 цифр в годы, предшествовавшие 1873. С середины 20-го века приближение π было задачей электронных цифровых компьютеров (для всестороннего учета, см. Хронологию вычисления π ). В марте 2019 года Эмма Харука Ивао , сотрудник Google из Японии , вычислила новый мировой рекорд длины в 31 триллион цифр с помощью службы облачных вычислений компании . [1] 29 января 2020 года рекорд был побит Тимоти Мулликан [2], который рассчитал до 50 триллионов цифр с использованием устаревшего серверного оборудования предприятия и программного обеспечения y-cruncher. [3]
Ранняя история
Наиболее известные приближения к π, датируемые до нашей эры, имели точность до двух десятичных знаков; это было улучшено в китайской математике, особенно к середине первого тысячелетия, с точностью до семи десятичных знаков. После этого не было никакого дальнейшего прогресса до позднего средневековья.
Некоторые египтологи [4] утверждали, что древние египтяне использовали приближение π как 22 ⁄ 7 = 3,142857 (примерно на 0,04% больше) еще со времен Древнего царства . [5] Это утверждение было встречено скептицизмом. [6] [7]
Вавилонская математика обычно приближала π к 3, что было достаточно для архитектурных проектов того времени (что особенно отражено в описании Храма Соломона в еврейской Библии ). [8] Вавилоняне знали, что это было приближение, и одна древневавилонская математическая табличка, раскопанная недалеко от Сузы в 1936 году (датированная 19-17 веками до н.э.), дает лучшее приближение π как 25 ⁄ 8 = 3,125, примерно на 0,528 процента ниже точного значения. [9] [10] [11] [12]
Примерно в то же время египетский математический папирус Райнда (датированный вторым промежуточным периодом , ок. 1600 г. до н. Э., Хотя и считается копией более древнего текста Среднего царства ) предполагает приближение π как 256 ⁄ 81 ≈ 3,16 (с точностью до 0,6 процента) путем вычисления площади круга с помощью аппроксимации с восьмиугольником . [6] [13]
Астрономические расчеты в Shatapatha Brahmana (ок. VI в. До н. Э.) Используют дробное приближение339 ⁄ 108 ≈ 3,139. [14]
В III веке до нашей эры Архимед доказал резкое неравенство 223 ⁄ 71 < π < 22 ⁄ 7 с помощью регулярных 96-угольников (точность 2 · 10 −4 и 4 · 10 −4 соответственно).
Во II веке нашей эры Птолемей использовал значение 377 ⁄ 120 , первое известное приближение с точностью до трех десятичных знаков (точность 2 · 10 −5 ). [15]
Китайский математик Лю Хуэй в 263 CE вычислен π в диапазоне от3.141 024 и3.142 708 , вписав 96-угольники и 192-угольники; среднее значение этих двух значений равно3,141 866 (точность 9 · 10 −5 ). Он также предположил, что 3.14 было достаточно хорошим приближением для практических целей. Ему также часто приписывают более поздний и более точный результат π ≈ 3927 ⁄ 1250 = 3,1416 (точность 2 · 10 −6 ), хотя некоторые ученые полагают, что это связано с более поздним (V век) китайским математиком Цзу Чунчжи . [16] Цзу Чунчжи, как известно, вычислил π между 3,1415926 и 3,1415927, что с точностью до семи десятичных знаков. Он дал два других приближения π : π ≈ 22 ⁄ 7 и π ≈ 355 ⁄ 113 . Последняя дробь является наилучшим возможным рациональным приближением числа π с использованием менее пяти десятичных цифр в числителе и знаменателе. Результат Цзу Чунчжи превосходит точность, достигнутую в эллинистической математике, и останется без улучшения в течение почти тысячелетия. [ необходима цитата ]
В Индии эпохи Гуптов (VI век) математик Арьябхата в своем астрономическом трактате Арьябхатия вычислил значение π до пяти значащих цифр π ≈ 62832 ⁄ 20000 = 3,1416. [17] [18], используя его для расчета приблизительнойдлины окружности Земли . [19] Арьябхата заявил, что его результат «приблизительно» ( асанна «приближение») дает окружность круга. Его комментатор 15-го века Нилаканта Сомаяджи ( школа астрономии и математики Кералы ) утверждал, что это слово означает не только то, что это приближение, но и то, что значение несоизмеримо (иррационально) . [20]
Средний возраст
К V веку нашей эры число π было известно примерно до семи цифр в китайской математике и примерно до пяти цифр в индийской математике. Дальнейший прогресс не был сделан в течение почти тысячелетия, до 14 - го века, когда индийский математик и астроном Мадхава из Сангамаграмы , основателя Кералы школы астрономии и математики , обнаружили бесконечный ряд для П , теперь не известно , как ряд Мадхава-Лейбница , [21] [22] и дал два метода вычисления значения π . Одним из таких методов является получение быстро сходящийся ряд путем преобразования исходной бесконечной серии из П . Тем самым он получил бесконечную серию
и использовал первые 21 член, чтобы вычислить приближение π с точностью до 11 знаков после запятой, как3,141 592 653 59 .
Другой метод, который он использовал, заключался в добавлении остаточного члена к исходному ряду числа π . Он использовал оставшуюся часть
в бесконечный ряд разложения π ⁄ 4 для улучшения приближенияπк 13 десятичным знакам точности при n = 75.
Джамшид аль-Каши (Кашани), персидский астроном и математик , правильно вычислил от 2 π до 9 шестидесятичных цифр в 1424 году. [23] Это число эквивалентно 17 десятичным цифрам, как
что приравнивается к
Он достиг такого уровня точности, вычислив периметр правильного многоугольника со сторонами 3 × 2 28 . [24]
16-19 веков
Во второй половине XVI века французский математик Франсуа Виет открыл бесконечное произведение, сходящееся к π, известное как формула Вьете .
Немецко-голландский математик Людольф ван Сеулен ( около 1600 г.) вычислил первые 35 десятичных знаков числа π с 2- угольником 62 . Он так гордился этим достижением, что написал их на своем надгробии . [25]
В Cyclometricus (1621) Виллеброрд Снеллиус продемонстрировал, что периметр вписанного многоугольника сходится по окружности в два раза быстрее, чем периметр соответствующего описанного многоугольника. Это было доказано Христианом Гюйгенсом в 1654 году. Снеллиус смог получить семь цифр числа π из 96-стороннего многоугольника . [26]
В 1789 году словенский математик Юрий Вега вычислил первые 140 знаков после запятой для π , из которых первые 126 были правильными [27] и удерживал мировой рекорд в течение 52 лет до 1841 года, когда Уильям Резерфорд вычислил 208 десятичных знаков, из которых первый 152 были правильными. Вега улучшила формулу Джона Мачина 1706 года, и его метод до сих пор упоминается. [ необходима цитата ]
Величину такой точности (152 знака после запятой) можно учесть в контексте того факта, что окружность самого большого известного объекта, наблюдаемой Вселенной, может быть рассчитана по его диаметру (93 миллиарда световых лет ) с точностью менее одна планковская длина (при1,6162 × 10 -35 метров , самая короткая единица длины, имеющая реальное значение) с использованием π, выраженного всего с 62 десятичными знаками. [28]
Английский математик-любитель Уильям Шанкс , человек с независимыми средствами, потратил более 15 лет, вычисляя π с точностью до 607 знаков после запятой. Это было сделано в 1873 году, и первые 527 позиций были правильными. [29] Он считал новые цифры все утро, а затем весь день проводил, проверяя свою утреннюю работу. Это было самое продолжительное расширение π до появления электронных цифровых компьютеров три четверти века спустя. [ необходима цитата ]
20 и 21 века
В 1910 году индийский математик Шриниваса Рамануджан обнаружил несколько быстро сходящихся бесконечных рядов числа π , в том числе
который вычисляет еще восемь десятичных знаков числа π для каждого члена ряда. Его серия стала основой для самых быстрых алгоритмов, используемых в настоящее время для вычисления π . См. Также серию Рамануджана – Сато .
Начиная с середины 20 века, все вычисления π производились с помощью калькуляторов или компьютеров .
В 1944 году Д. Ф. Фергюсон с помощью механического настольного калькулятора обнаружил, что Уильям Шанкс ошибся в 528-м десятичном разряде и что все последующие цифры были неправильными.
В первые годы существования компьютеров расширение π до100 000 знаков после запятой [30] : 78 было вычислено математиком из Мэриленда Дэниелом Шанксом (не имеющим отношения к вышеупомянутому Уильяму Шанксу) и его командой в Лаборатории военно-морских исследований США в Вашингтоне, округ Колумбия. В 1961 году Шанкс и его команда использовали два различные степенные ряды для вычисления цифр числа π . Во-первых, было известно, что любая ошибка приведет к слегка завышенному значению, а для другого было известно, что любая ошибка приведет к слегка низкому значению. И, следовательно, до тех пор, пока две серии давали одни и те же цифры, существовала очень высокая уверенность в их правильности. Первые 100 265 цифр числа π были опубликованы в 1962 году. [30] : 80–99 Авторы обрисовали в общих чертах, что потребуется для вычисления числа π с точностью до 1 миллиона знаков после запятой, и пришли к выводу, что эта задача выходит за рамки современных технологий, но будет возможна за пять. до семи лет. [30] : 78
В 1989 году братья Чудновские вычислили π с точностью до 1 миллиарда десятичных знаков на суперкомпьютере IBM 3090, используя следующую вариацию бесконечного ряда π Рамануджана :
С тех пор все записи велись с использованием алгоритма Чудновского . В 1999 году Ясумаса Канада и его команда из Токийского университета вычислили π с точностью до 200 миллиардов десятичных знаков на суперкомпьютере HITACHI SR8000 / MPP (128 узлов), используя другую вариацию бесконечной серии π Рамануджана . В ноябре 2002 года Ясумаса Канада и его команда из 9 человек использовали Hitachi SR8000 , 64-узловой суперкомпьютер с 1 терабайтом оперативной памяти, чтобы вычислить π примерно до 1,24 триллиона цифр примерно за 600 часов (25 дней). В октябре 2005 года они заявили, что подсчитали это до 1,24 триллиона мест. [31]
В августе 2009 года японский суперкомпьютер под названием T2K Open Supercomputer более чем удвоил предыдущий рекорд, вычислив π примерно до 2,6 триллиона цифр примерно за 73 часа 36 минут.
В декабре 2009 года Фабрис Беллар использовал домашний компьютер для вычисления 2,7 триллиона десятичных знаков числа π . Вычисления проводились по основанию 2 (двоичный), затем результат был преобразован в основание 10 (десятичный). Этапы расчета, преобразования и проверки заняли в общей сложности 131 день. [32]
В августе 2010 года Сигеру Кондо использовал y-cruncher Александра Йи для вычисления 5 триллионов цифр числа π . Это был мировой рекорд для любого типа вычислений, но, что важно, он был выполнен на домашнем компьютере, построенном Кондо. [33] Расчет производился в период с 4 мая по 3 августа, при этом первичная и вторичная проверки заняли 64 и 66 часов соответственно. [34]
В октябре 2011 года Сигеру Кондо побил свой собственный рекорд, вычислив десять триллионов (10 13 ) и пятьдесят цифр, используя тот же метод, но с более совершенным оборудованием. [35] [36]
В декабре 2013 года Кондо второй раз побил собственный рекорд, вычислив 12,1 триллиона цифр числа π . [37]
В октябре 2014 года Сандон Ван Несс, известный под псевдонимом «houkouonchi», использовал y-cruncher для вычисления 13,3 триллиона цифр числа π . [38]
В ноябре 2016 года Питер Труб и его спонсоры вычислили на y-cruncher и полностью проверили 22,4 триллиона цифр числа π (22 459 157 718 361 ( π e × 10 12 )). [39] Расчет занял (с тремя перерывами) 105 дней, [38] ограничением дальнейшего расширения было, прежде всего, место для хранения. [37]
В марте 2019 года Эмма Харука Ивао, сотрудник Google , вычислила 31,4 триллиона цифр числа Пи с помощью y-cruncher и машин Google Cloud . Это заняло 121 день. [40]
В январе 2020 года Тимоти Мулликан объявил о вычислении 50 триллионов цифр за 303 дня. [41] [42]
Практические приближения
В зависимости от цели вычисления π может быть аппроксимировано дробями для упрощения вычислений. Наиболее заметными из таких приближений являются 22 ⁄ 7 ( относительная погрешность около 4 · 10 −4 ) и 355 ⁄ 113 (относительная погрешность около 8 · 10 −8 ). [43] [44] [45]
Нематематические «определения» π
Некоторые примечательны юридические или исторические тексты, якобы «определяющие π » как имеющие некоторую рациональную ценность, такие как « Билль Индианы Пи » 1897 года, в котором говорилось, что «соотношение диаметра и окружности составляет пять четвертых к четырем» (что будет означать « π = 3,2 ») и отрывок из еврейской Библии, который подразумевает, что π = 3 .
Законопроект Индианы
Так называемый « Билль Индианы Пи » 1897 года часто характеризовался как попытка «узаконить значение Пи». Скорее, законопроект имел дело с предполагаемым решением проблемы геометрического « квадрата круга ». [46]
Законопроект был почти принят Генеральной Ассамблеей штата Индиана в США и, как утверждается, подразумевает ряд различных значений π , хотя наиболее близким к явному утверждению одного из них является формулировка «соотношение диаметра и окружности равно как от пяти четвертых до четырех дюймов, что даст π = 16 ⁄ 5 = 3,2, расхождение составляет почти 2 процента. Профессор математики, который присутствовал в тот день, когда законопроект был внесен на рассмотрение в Сенат, после того, как он был принят Палатой представителей, помог остановить принятие законопроекта во втором чтении, после чего собрание тщательно высмеяло его. Табличка на неопределенный срок.
Вмененная библейская ценность
Иногда утверждается, что еврейская Библия подразумевает, что « π равно трем», на основании отрывка из 3 Царств 7:23 и 2 Паралипоменон 4: 2, где размеры круглой чаши, расположенной перед Храмом в Иерусалиме, имеют диаметр. в 10 локтей и в окружности 30 локтей.
Этот вопрос обсуждается в Талмуде и в раввинистической литературе . [47] Среди множества объяснений и комментариев следующие:
- Рабби Неемия объяснил это в своем Мишнат ха-Миддот (самый ранний известный еврейский текст по геометрии , около 150 г. н.э.), сказав, что диаметр измерялся от внешнего края, а окружность измерялась по внутреннему краю. Эта интерпретация подразумевает ширину полей примерно 0,225 локтя (или, если принять 18-дюймовый «локоть», около 4 дюймов) или одну и третью « ладонь » толщиной (ср. NKJV и NKJV ).
- Маймонид утверждает (ок. 1168 г. н.э.), что π может быть известно только приблизительно, поэтому значение 3 было дано как достаточно точное для религиозных целей. Некоторые [48] считают это первым утверждением об иррациональности π .
- Еще одно раввинское объяснение [ кем? ] [ необходимый год ] вызывает гематрию : в NKJV слово, переведенное как «измерительная линия», появляется в тексте на иврите как KAVEH קַוה, но в других местах это слово чаще всего пишется как KAV קַו. Соотношение числовых значений этих написаний на иврите равно 111 ⁄ 106 . Если предполагаемое значение 3 умножить на это соотношение, получим 333 ⁄ 106 = 3,141509433 ... - дает 4 правильные десятичные цифры, которые находятся в пределах 1 ⁄ 10 000 истинного значения π .
В библейской науке до сих пор ведутся споры по поводу этого отрывка. [ неудавшаяся проверка ] [49] [50] Многие реконструкции чаши показывают более широкий край (или расширяющуюся кромку), выходящий наружу от самой чаши на несколько дюймов, чтобы соответствовать описанию, данному в NKJV. [51] В следующих стихах край описывается как «толщиной в ладонь; и края его были сделаны как край чаши, как цветок лилии: он принял и выдержал три тысячи ванн» NKJV , что предполагает форму, которую можно охватить более короткой струной. чем общая длина лимба, например, Lilium цветок или стакане воды .
Разработка эффективных формул
Приближение многоугольника к окружности
Архимед в своей работе « Измерение круга» создал первый алгоритм для вычисления π, основанный на идее, что периметр любого (выпуклого) многоугольника, вписанного в круг, меньше длины окружности круга, который, в свою очередь, равен меньше периметра любого описанного многоугольника. Он начал с вписанных и описанных правильных шестиугольников, периметры которых легко определяются. Затем он показывает, как вычислить периметры правильных многоугольников, у которых вдвое больше сторон, вписанных и описанных примерно в одном круге. Это рекурсивная процедура, которую сегодня можно было бы описать следующим образом: Пусть p k и P k обозначают периметры правильных многоугольников с k сторонами, которые вписаны и описаны примерно в одной и той же окружности, соответственно. Потом,
Архимед использует это, чтобы последовательно вычислить P 12 , p 12 , P 24 , p 24 , P 48 , p 48 , P 96 и p 96 . [52] Используя эти последние значения, он получает
Неизвестно, почему Архимед остановился на 96-стороннем многоугольнике; требуется только терпение, чтобы продолжить вычисления. Херон сообщает в своей Метрике (около 60 г. н.э.), что Архимед продолжил вычисления в уже утерянной книге, но затем приписывает ему неверное значение. [53]
Архимед не использует тригонометрию в этом вычислении, и трудность применения метода заключается в получении хороших приближений для задействованных квадратных корней. Тригонометрия в виде таблицы длин хорд в окружности, вероятно, использовалась Клавдием Птолемеем из Александрии для получения значения π, данного в Альмагесте (около 150 г. н.э.). [54]
Прогресс в приближении π (когда методы известны) был достигнут за счет увеличения числа сторон многоугольников, используемых в вычислениях. Тригонометрическое усовершенствование Виллебрда Снелла (1621) позволяет получить лучшие оценки из пары границ, полученных с помощью метода многоугольников. Таким образом, более точные результаты были получены для многоугольников с меньшим количеством сторон. [55] Формула Вьете , опубликованная Франсуа Виетом в 1593 году, была получена Виетом с использованием тесно связанного метода многоугольников, но с площадями, а не периметрами многоугольников, количество сторон которых равно степени двойки. [56]
Последняя крупная попытка вычислить π этим методом была предпринята Гриенбергером в 1630 году, который вычислил 39 десятичных разрядов π, используя уточнение Снеллиуса. [55]
Машиноподобная формула
Для быстрых вычислений можно использовать такие формулы, как Мачина :
вместе с разложением в ряд Тейлора функции arctan ( x ). Эта формула наиболее легко проверяется с помощью полярных координат из комплексных чисел , производство:
({ x , y } = {239, 13 2 } является решением уравнения Пелла x 2 −2 y 2 = −1.)
Формулы такого типа известны как формулы типа Мачина . Частности , формула Мачин был хорошо использован в компьютерную эру для вычисления номера записи цифр П , [30] , но в последнее время и другие аналогичные формулы были использованы.
Например, Шанкс и его команда использовали следующую формулу Мачина в 1961 году для вычисления первых 100 000 цифр числа π : [30]
и они использовали другую формулу типа Мачина,
как чек.
По состоянию на декабрь 2002 года рекорд Ясумасы Канады из Токийского университета составлял 1 241 100 000 000 цифр. Для этого использовались следующие формулы типа Мачина:
К. Такано (1982).
FCM Størmer (1896 г.).
Другие классические формулы
Другие формулы, которые использовались для вычисления оценок π, включают:
Лю Хуэй (см. Также формулу Вьете ):
Мадхава :
Эйлер :
Преобразование сходимости Ньютона / Эйлера: [57]
где (2 k + 1) !! обозначает произведение нечетных целых чисел до 2 k + 1.
Рамануджан :
Давид Чудновский и Григорий Чудновский :
Работа Рамануджана легла в основу алгоритма Чудновского , самого быстрого алгоритма, использованного на рубеже тысячелетий для вычисления π .
Современные алгоритмы
Очень длинные десятичные разложения П обычно вычисляется с итерационными формулами , как алгоритм Гаусса-Лежандр и алгоритм Borwein в . Последнее, обнаруженное в 1985 году Джонатаном и Питером Борвейном , очень быстро сходится:
Для а также
где , последовательность квартично сходится к π , давая около 100 цифр за три шага и более триллиона цифр за 20 шагов. Однако известно, что использование такого алгоритма, как алгоритм Чудновского (который сходится линейно), быстрее, чем эти итерационные формулы.
Первый миллион цифр числа π и 1 ⁄ π доступны в Project Gutenberg (см. Внешние ссылки ниже). Предыдущий расчетный рекорд (декабрь 2002 г.) Ясумасы Канады из Токийского университета составлял 1,24 триллиона цифр, которые были вычислены в сентябре 2002 года на 64-узловом суперкомпьютере Hitachi с 1 терабайтом основной памяти, который выполняет 2 триллиона операций в секунду, что почти вдвое больше, чем компьютер, использованный для предыдущего рекорда (206 миллиардов цифр). Для этого использовались следующие формулы, похожие на Machin:
- ( Кикуо Такано (1982))
- ( Ф. К. М. Стёрмер (1896 г.)).
В этих приближениях так много цифр, что они больше не имеют практического применения, кроме тестирования новых суперкомпьютеров. [58] Свойство как потенциальная нормальность от П всегда зависит от бесконечной последовательности цифр в конце концов, не на любом конечном вычислении.
Разные приближения
Исторически для расчетов использовалось основание 60. В этом основании π можно округлить до восьми (десятичных) значащих цифр с числом 3; 8,29,44 60 , что составляет
(Следующая шестидесятеричная цифра - 0, поэтому усечение здесь дает относительно хорошее приближение.)
Кроме того, для оценки π можно использовать следующие выражения :
- с точностью до трех цифр:
- с точностью до трех цифр:
- Карл Поппер предположил, что Платон знал это выражение, что он считал, что это в точности π , и что это в какой-то мере объясняет уверенность Платона во всесторонней компетентности математической геометрии, а также неоднократное обсуждение Платоном особых прямоугольных треугольников, которые являются либо равнобедренными, либо половинами равносторонние треугольники.
- с точностью до четырех цифр:
- [59]
- с точностью до четырех цифр (или пяти значащих цифр):
- [60]
- приближение Рамануджана с точностью до 4 цифр (или пяти значащих цифр):
- с точностью до пяти цифр:
- с точностью до шести цифр [2] :
- с точностью до семи цифр:
- с точностью до девяти цифр:
- Это от Рамануджана , который утверждал, что Богиня Намагири явилась ему во сне и рассказала ему истинное значение числа π . [61]
- с точностью до десяти цифр:
- с точностью до десяти цифр (или одиннадцати значащих цифр):
- Это любопытное приближение следует за наблюдением, что 193-я степень 1 / π дает последовательность 1122211125 ... Замена 5 на 2 завершает симметрию без уменьшения правильных цифр π , в то время как вставка центральной десятичной точки замечательно фиксирует сопровождающую величину на уровне 10 100 . [62]
- с точностью до 18 цифр:
- [63]
- Это основано на фундаментальном дискриминанте d = 3 (89) = 267, который имеет номер класса h (- d ) = 2, объясняющий алгебраические числа степени 2. Корневой радикал на 5 3 больше, чем основная единицачто дает наименьшее решение { x , y } = {500, 53} уравнения Пелла x 2 - 89 y 2 = −1.
- с точностью до 30 знаков после запятой:
- Получено из близости константы Рамануджана к целому числу 640320³ + 744. Это не допускает очевидных обобщений в целых числах, потому что существует только конечное число чисел Хегнера и отрицательных дискриминантов d с номером класса h (- d ) = 1, а d = 163 является наибольшим по модулю .
- с точностью до 52 знаков после запятой:
- Как и выше, следствие j-инварианта . Среди отрицательных дискриминантов с номером класса 2 этот d самый большой по абсолютной величине.
- с точностью до 161 знака после запятой:
- где u - произведение четырех простых единиц квартики,
- а также,
- На основе одного, найденного Дэниелом Шэнксом . Подобно предыдущим двум, но на этот раз является частным от модульной формы , а именно функции эта Дедекинда , и где аргумент включает . Дискриминант d = 3502 имеет h (- d ) = 16.
- Цепная дробь представление П может быть использовано для создания последовательных наилучших рациональных приближений . Эти приближения являются наилучшими возможными рациональными приближениями π относительно размера их знаменателей. Вот список первых тринадцати из них: [64] [65]
- Из всего этого является единственной дробью в этой последовательности, которая дает больше цифр π (т. е. 7), чем количество цифр, необходимое для ее приближения (т. е. 6). Точность можно повысить, используя другие дроби с более крупными числителями и знаменателями, но для большинства таких дробей требуется больше цифр при приближении, чем правильные значащие числа, полученные в результате. [66]
Суммирование площади круга
Пи можно получить из круга, если известны его радиус и площадь, используя соотношение:
Если нарисовать круг с радиусом r с центром в точке (0, 0), любая точка, расстояние от которой до начала координат меньше r , попадет внутрь круга. Теорема Пифагора дает расстояние от любой точки ( x , y ) до центра:
Математическая «миллиметровка» формируется путем представления квадрата 1 × 1 с центром вокруг каждой ячейки ( x , y ), где x и y - целые числа от - r до r . Затем можно подсчитать квадраты, центр которых находится внутри или точно на границе круга, проверяя, для каждой ли ячейки ( x , y )
Таким образом, общее количество ячеек, удовлетворяющих этому условию, приблизительно равно площади круга, которую затем можно использовать для вычисления приближения π . Более близкие приближения можно получить, используя большие значения r .
Математически эту формулу можно записать:
Другими словами, начните с выбора значения для r . Рассмотрим все ячейки ( x , y ), в которых x и y являются целыми числами от - r до r . Начиная с 0, добавьте 1 для каждой ячейки, расстояние от которой до начала координат (0,0) меньше или равно r . Когда закончите, разделите сумму, представляющую площадь круга радиуса r , на r 2, чтобы найти приближение π . Например, если r равно 5, рассматриваются следующие ячейки:
(−5,5) (−4,5) (−3,5) (−2,5) (-1,5) (0,5) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (-5,4) (-4,4) (−3,4) (-2,4) (-1,4) (0,4) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (-5,3) (−4,3) (−3,3) (−2,3) (-1,3) (0,3) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (−5,2) (−4,2) (−3,2) (−2,2) (-1,2) (0,2) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (−5,1) (−4,1) (−3,1) (−2,1) (-1,1) (0,1) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (−5,0) (−4,0) (−3,0) (−2,0) (-1,0) (0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0) (−5, −1) (−4, −1) (−3, −1) (−2, −1) (-1, -1) (0, -1) (1, −1) (2, −1) (3, −1) (4, −1) (5, −1) (−5, −2) (−4, −2) (−3, −2) (−2, −2) (-1, -2) (0, −2) (1, −2) (2, −2) (3, −2) (4, −2) (5, −2) (−5, −3) (−4, −3) (−3, −3) (−2, −3) (-1, -3) (0, −3) (1, −3) (2, −3) (3, −3) (4, −3) (5, −3) (−5, −4) (−4, −4) (−3, −4) (−2, −4) (-1, -4) (0, −4) (1, −4) (2, −4) (3, −4) (4, −4) (5, −4) (−5, −5) (−4, −5) (−3, −5) (−2, −5) (-1, -5) (0, −5) (1, −5) (2, −5) (3, −5) (4, −5) (5, −5)
12 ячеек (0, ± 5), (± 5, 0), (± 3, ± 4), (± 4, ± 3) находятся точно на круге, а 69 ячеек полностью внутри , поэтому приблизительная площадь 81, а π приблизительно равно 3,24, потому что 81 ⁄ 5 2 = 3,24. Результаты для некоторых значений r показаны в таблице ниже:
р | область | приближение π |
---|---|---|
2 | 13 | 3,25 |
3 | 29 | 3,22222 |
4 | 49 | 3,0625 |
5 | 81 год | 3,24 |
10 | 317 | 3,17 |
20 | 1257 | 3,1425 |
100 | 31417 | 3,1417 |
1000 | 3141549 | 3,141549 |
Для связанных результатов см. Проблема круга: количество точек (x, y) в квадратной решетке с x ^ 2 + y ^ 2 <= n .
Точно так же более сложные приближения π, приведенные ниже, включают в себя повторные вычисления определенного рода, приводящие к более и более близким приближениям с увеличением числа вычислений.
Непрерывные дроби
Помимо представления простой цепной дроби [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...], который не отображает различимого шаблона, π имеет множество обобщенных представлений непрерывной дроби, генерируемых простым правилом, включая эти два.
(Другие изображения доступны на сайте Wolfram Functions .)
Тригонометрия
Серия Григория – Лейбница
Серия Грегори – Лейбница
представляет собой степенной ряд для arctan (x), специализированный для x = 1. Он сходится слишком медленно, чтобы представлять практический интерес. Однако степенной ряд сходится намного быстрее для меньших значений, что приводит к формулам, где возникает как сумма малых углов с рациональными касательными, известная как формулы типа Мачина .
Арктангенс
Зная, что 4 arctan 1 = π , формулу можно упростить и получить:
с такой сходимостью, что каждые дополнительные 10 членов дают как минимум еще три цифры.
Еще одна формула для с участием функции арктангенса задается
где такой, что . Аппроксимации можно сделать, используя, например, быстро сходящуюся формулу Эйлера [67]
В качестве альтернативы можно использовать следующую простую серию расширений функции арктангенса
где
приблизить с еще более быстрой сходимостью. Сходимость в этой формуле арктангенса для улучшается как целое число увеличивается.
Постоянная также может быть выражено бесконечной суммой арктангенсных функций как
а также
где является п -го числа Фибоначчи . Однако эти две формулы для намного медленнее в сходимости из-за набора функций арктангенса, которые участвуют в вычислениях.
Арксинус
Наблюдая за равносторонним треугольником и отмечая, что
дает
с такой сходимостью, что каждые пять дополнительных членов дают по крайней мере еще три цифры.
Алгоритм Саламина – Брента
Гаусса-Лежандра алгоритм алгоритм или Саламин-Брент был обнаружен независимо Ричард Брент и Юджин Саламин в 1975. Это можно вычислить к цифр во времени пропорционально , намного быстрее, чем тригонометрические формулы.
Методы извлечения цифр
Формула Бейли – Борвейна – Плуффа (BBP) для вычисления π была открыта в 1995 году Саймоном Плаффом. Используя математику с основанием 16 , формула может вычислить любую конкретную цифру числа π - возвращая шестнадцатеричное значение цифры - без необходимости вычислять промежуточные цифры (извлечение цифр). [68]
В 1996 году Саймон Плафф разработал алгоритм для извлечения n- й десятичной цифры числа π (используя математику с основанием 10 для извлечения цифры с основанием 10), и который может делать это с улучшенной скоростью O ( n 3 (log n ) 3 ). время. Алгоритм практически не требует памяти для хранения массива или матрицы, поэтому одну миллионную цифру числа π можно вычислить с помощью карманного калькулятора. [69] Однако это было бы довольно утомительно и непрактично.
Скорость вычисления формулы Plouffe была улучшена до O ( п 2 ) с помощью Беллара , который производного альтернативной формулы (хотя только в базовом 2 математике) для вычисления П . [70]
Эффективные методы
Многие другие выражения для π были разработаны и опубликованы индийским математиком Шринивасой Рамануджаном . Он работал с математиком Годфри Гарольдом Харди в Англии в течение ряда лет.
Очень длинные десятичные разложения П , как правило , вычисляются с алгоритмом Гаусса-Лежандра и алгоритм Borwein в ; Также использовался алгоритм Саламина – Брента , изобретенный в 1976 году.
В 1997 году Дэвид Х. Бейли , Питер Борвейн и Саймон Плафф опубликовали статью (Bailey, 1997) о новой формуле для π как бесконечного ряда :
Эта формула позволяет довольно легко вычислить k- ю двоичную или шестнадцатеричную цифру числа π без необходимости вычислять предыдущие k - 1 цифр. Веб-сайт Бейли [71] содержит как производные, так и реализации на различных языках программирования . Проект PiHex вычислил 64 бита вокруг квадриллионного бита числа π (который оказался равным 0).
Фабрис Беллар еще больше улучшил BBP своей формулой : [72]
Другие формулы, которые использовались для вычисления оценок π, включают:
- Ньютон .
- Шриниваса Рамануджан .
Это чрезвычайно быстро сходится. Работа Рамануджана является основой для самых быстрых алгоритмов, используемых на рубеже тысячелетий для вычисления π .
В 1988 году Давид Чудновский и Григорий Чудновский нашли еще более быстро сходящийся ряд ( алгоритм Чудновского ):
- .
Скорость различных алгоритмов вычисления числа "пи" до n правильных цифр показана ниже в порядке убывания асимптотической сложности. M (n) - сложность используемого алгоритма умножения.
Алгоритм | Год | Сложность времени или Скорость |
---|---|---|
Алгоритм Чудновского | 1988 г. | [38] |
Алгоритм Гаусса – Лежандра | 1975 г. | [73] |
Бинарное расщепление арктанового ряда в формуле Мачина | [73] | |
Формула Лейбница для π | 1300-е годы | Сублинейная сходимость. Пять миллиардов членов на 10 правильных десятичных знаков |
Проекты
Пи Шестнадцатеричный
Pi Hex был проектом по вычислению трех конкретных двоичных цифр числа π с использованием распределенной сети из нескольких сотен компьютеров. В 2000 году, по прошествии двух лет, проект завершил вычисление пяти триллионного (5 * 10 12 ), сорок триллионного и квадриллионного (10 15 ) битов. Все трое оказались равными 0.
Программное обеспечение для расчета π
На протяжении многих лет, несколько программ , которые были написаны для вычисления π для многих цифр на персональных компьютерах .
Общее назначение
Большинство систем компьютерной алгебры могут вычислять π и другие общие математические константы с любой желаемой точностью.
Функции для вычисления π также включены во многие общие библиотеки для арифметики произвольной точности , например Class Library for Numbers , MPFR и SymPy .
Специального назначения
Программы, предназначенные для вычисления π, могут иметь лучшую производительность, чем математические программы общего назначения. Обычно они реализуют контрольные точки и эффективную замену дисков, чтобы облегчить чрезвычайно длительные и дорогостоящие вычисления.
- TachusPi Фабриса Белларда [74] - это программа, которую он использовал для вычисления мирового рекорда числа цифр числа Пи в 2009 году.
- y -cruncherАлександра Йи[38]- это программа, которую каждый мировой рекордсмен, начиная с Сигеру Кондо в 2010 году, использовал для вычислениямировых рекордов числа цифр. y-cruncher также может использоваться для вычисления других констант и удерживает мировые рекорды для некоторых из них.
- PiFast Ксавьера Гурдона была самой быстрой программой для Microsoft Windows в 2003 году. По словам ее автора, она может вычислить один миллион цифр за 3,5 секунды на Pentium 4 с тактовой частотой 2,4 ГГц . [75] PiFast также может вычислять другие иррациональные числа, такие как e и √ 2 . Он также может работать с меньшей эффективностью при очень небольшом объеме памяти (до нескольких десятков мегабайт для вычисления более миллиарда (10 9 ) цифр). Этот инструмент является популярным тестом в сообществе оверклокеров . PiFast 4.4 доступен на странице Stu Pi . PiFast 4.3 доступен на странице Гурдона.
- QuickPi от Стива Паглиаруло для Windows быстрее, чем PiFast, и позволяет набирать до 400 миллионов цифр. Версия 4.5 доступна на странице Пи Стю ниже. Как и PiFast, QuickPi также может вычислять другие иррациональные числа, такие как e , √ 2 и √ 3 . Программное обеспечение можно получить у Pi-Hacks Yahoo! форум, или со страницы Пи Стю .
- Super PI от Kanada Laboratory [76] Токийского университета - это программа для Microsoft Windows, рассчитанная на количество разрядов от 16 000 до 33 550 000. Он может вычислить один миллион цифр за 40 минут, два миллиона цифр за 90 минут и четыре миллиона цифр за 220 минут на Pentium 90 МГц. Версия Super PI 1.9 доступна на странице Super PI 1.9 .
Смотрите также
- Milü
Заметки
- ^ Кляйнман, Zoe (2019). «Эмма Харука Ивао побила мировой рекорд по пи с помощью Google» . BBC News . Проверено 14 марта 2019 .
- ^ «Наиболее точное значение числа пи» . Книга рекордов Гиннеса . Дата обращения 2 декабря 2020 .
- ^ Мулликан, Тимоти (26 июня 2019 г.). «Расчет числа Пи: моя попытка побить мировой рекорд числа Пи» . Биты и байты . Дата обращения 2 декабря 2020 .
- ^ Петри, WMF (1940). Мудрость египтян .
- ^ Вернер, Мирослав (2001) [1997]. Пирамиды: тайна, культура и наука великих памятников Египта . Grove Press . ISBN 978-0-8021-3935-1.
Основан на Великой пирамиде в Гизе , предположительно построенной так, что круг, радиус которого равен высоте пирамиды, имеет окружность, равную периметру основания (это 1760 локтей вокруг и 280 локтей в высоту).
- ^ а б Росси (2007). Коринна Архитектура и математика в Древнем Египте . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-69053-9.
- ^ Легон, JAR (1991). О размерах и пропорциях пирамид . Дискуссии по египтологии. 20 . С. 25–34.
- ^ См. # Вычисленное библейское значение . Бекманн, 1971 «Было беспокойство по поводу очевидного библейского утверждения π ≈ 3 с ранних времен раввинского иудаизма , к которому раввин Неемия обратилсяво 2-м веке». [ требуется страница ]
- ^ Романо, Дэвид Гилман (1993). Легкая атлетика и математика в архаическом Коринфе: истоки греческого стадиона . Американское философское общество . п. 78. ISBN 978-0871692061.
Группа математических глиняных табличек древневавилонского периода, раскопанных в Сузах в 1936 году и опубликованных Э.М. Брюинзом в 1950 году, дает информацию о том, что вавилонское приближение числа π составляло 3 1/8 или 3,125.
- ^ Брюинз, Э.М. (1950). "Quelques textes mathématiques de la Mission de Suse" (PDF) .
- ^ Брюинз, EM; Руттен, М. (1961). Textes mathématiques de Suse . Mémoires de la Mission Archéologique в Иране. XXXIV .
- ↑ См. Также Beckmann 1971 , pp. 12, 21–22 «в 1936 году, примерно в 200 милях от Вавилона была раскопана табличка. ... Упомянутая табличка, перевод которой был частично опубликован только в 1950 году ... от периметра правильного шестиугольника до окружности описанной окружности равно числу, которое в современных обозначениях дается как 57/60 + 36 / (60) 2 [т.е. π = 3 / 0,96 = 25/8] ».
- ^ Имхаузен, Аннетт (2007). Кац, Виктор Дж. (Ред.). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-11485-9.
- ↑ Чайтанья, Кришна. Профиль индийской культуры. Индийская книжная компания (1975). п. 133.
- ^ [1] [ постоянная мертвая ссылка ]
- ^ Лам, Лэй Йонг; Анг, Тянь Se (1986), "измерения окружности в древнем Китае", Хистория Mathematica , 13 (4): 325-340, DOI : 10,1016 / 0315-0860 (86) 90055-8 , МР 0875525. Перепечатано в Берггрен, JL; Borwein, Jonathan M .; Борвейн, Питер, ред. (2004). Пи: Справочник . Springer. С. 20–35. ISBN 978-0387205717.. См., В частности, стр. 333–334 (стр. 28–29 перепечатки).
- ↑ Как Арьябхата получил правильную окружность Земли. Архивировано 15 января 2017 года в Wayback Machine.
- ^ Ryabhaīya ( gaṇitapāda 10 ):
- чатурадхикам шатамадагунам двашанистатха сахасранам айутадвайавинкамбхасйасанно вриттапаринахах .
- «Прибавьте четыре к сотне, умножьте на восемь и затем добавьте шестьдесят две тысячи. Результат - это приблизительно длина окружности круга диаметром двадцать тысяч. По этому правилу дано отношение длины окружности к диаметру».
- ^ «Арьябхата Старший» . Университет Сент-Эндрюс , Школа математики и статистики . Проверено 20 июля 2011 года .
- ^ С. Балачандра Рао (1998). Индийская математика и астрономия: некоторые вехи . Бангалор: Jnana Deep Publications. ISBN 978-81-7371-205-0.
- ^ Джордж Эндрюс, Ранджан Рой; Ричард Аски (1999). Специальные функции . Издательство Кембриджского университета . п. 58. ISBN 978-0-521-78988-2.
- ^ Гупта, Р. К. (1992). «Об оставшейся части цикла Мадхавы – Лейбница». Ганита Бхарати . 14 (1–4): 68–71.
- ^ Борис А. Розенфельд и Адольф П. Юшкевич (1981). «Гияс ад-дин Джамшид Масуд аль-Каши (или аль-Кашани)». Словарь научной биографии . Vol. 7. п. 256.
|volume=
есть дополнительный текст ( справка ) - ^ Азарян, Мохаммад К. (2010). "Аль-Рисала аль-Мухитийя: Краткое содержание" . Журнал математических наук штата Миссури . 22 (2): 64–85. DOI : 10.35834 / mjms / 1312233136 .
- ^ Капра, Б. «Цифры Пи» (PDF) . Проверено 13 января 2018 . Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - ^ Чакрабарти, Гопал; Хадсон, Ричард (2003). "Улучшение метода Архимеда приближающего числа π" (PDF) . Международный журнал чистой и прикладной математики . 7 (2): 207–212.
- ^ Сандифер, Эдвард (2007). «Почему 140 знаков числа Пи имеют значение» (PDF) . Jurij барон Вега в njegov čas: Zbornik О.Б. 250-letnici rojstva [ Барон Jurij Vega и его время: Празднование 250 лет ]. Любляна: DMFA. п. 17. ISBN 978-961-6137-98-0. LCCN 2008467244 . OCLC 448882242 . Архивировано из оригинала (PDF) 3 марта 2016 года.
Следует отметить, что значение Vega содержит ошибку в 127-й цифре. Вега дает 4 вместо [6], а все цифры после этого неверны.
- ^ «Какую точность можно получить с числом Пи до 40 знаков после запятой?» . Обмен стеками . 11 мая 2015.
- ^ Berlinghoff, William P .; Гувеа, Фернандо К. (2020). Математика сквозь века: нежная история для учителей и других, расширенное второе издание (иллюстрированное, исправленное изд.). American Mathematical Soc. п. 110. ISBN 978-1-939512-12-3.
- ^ а б в г д Шанкс, Д .; Гаечный ключ, младший, JW (1962). «Вычисление числа π до 100 000 знаков после запятой». Математика вычислений . 16 (77): 76–99. DOI : 10.2307 / 2003813 . JSTOR 2003813 .
- ^ «Объявление на веб-сайте лаборатории в Канаде» . Super-computing.org . Архивировано из оригинального 12 марта 2011 года . Проверено 11 декабря 2017 года .
- ^ «Запись вычисления числа Пи» .
- ↑ McCormick Grad устанавливает новый рекорд Pi, заархивированный 28 сентября 2011 года на Wayback Machine
- ^ «Пи - 5 триллионов цифр» .
- ^ Гленн (19 октября 2011 г.). «Краткая острая наука: эпический квест Пи устанавливает рекорд в 10 триллионов цифр» . Newscientist.com . Проверено 18 апреля 2016 года .
- ^ Да, Александр Дж .; Кондо, Сигэру (22 октября 2011 г.). «Раунд 2 ... 10 триллионов цифр числа Пи» .
- ^ а б Да, Александр Дж .; Кондо, Сигэру (28 декабря 2013 г.). «12,1 триллиона цифр числа Пи» .
- ^ а б в г Йи, Александр Дж. (2018). «y-cruncher: многопоточная программа Pi» . www.numberworld.org . Проверено 14 марта 2018 .
- ^ Треуб, Питер (30 ноября 2016 г.). «Цифровая статистика первых 22,4 триллиона десятичных цифр числа Пи». arXiv : 1612.00489 [ math.NT ].
- ^ «Google Cloud опровергает рекорд Пи» . www.numberworld.org . Проверено 14 марта 2019 .
- ^ «Пи-запись возвращается на персональный компьютер» . Проверено 30 января 2020 года .
- ^ «Расчет числа Пи: моя попытка побить мировой рекорд числа Пи» . 26 июня 2019 . Проверено 30 января 2020 года .
- ^ Аллен, Ретт (18 марта 2011 г.). «Какое наилучшее дробное представление числа Пи» . ПРОВОДНОЙ . Conde Nast . Дата обращения 16 марта 2020 .
- ^ Джон Д., Кук. «Лучшие рациональные приближения для числа Пи» . Джон Д. Кук Консультации . Дата обращения 16 марта 2020 .
- ^ «Непрерывные приближения дробей к Пи» (PDF) . Департамент математики Иллинойса . Попечительский совет Иллинойского университета . Дата обращения 16 марта 2020 .
- ^ Халлерберг, Артур Э. (1977). "Квадратный круг Индианы". Математический журнал . 50 (3): 136–140. DOI : 10.1080 / 0025570X.1977.11976632 .
- ^ Цабан, Вооз; Гарбер, Дэвид (февраль 1998 г.). «О раввинском приближении числа π » (PDF) . Historia Mathematica . 25 (1): 75–84. DOI : 10.1006 / hmat.1997.2185 . ISSN 0315-0860 . Проверено 14 июля 2009 года .
- ^ Уилбур Ричард Норр , Древняя традиция геометрических задач , Нью-Йорк: Dover Publications, 1993.
- ^ Алефф, Х. Петр. «Древние истории сотворения, рассказанные числами: Пи Соломона» . recoveredscience.com. Архивировано из оригинального 14 октября 2007 года . Проверено 30 октября 2007 года .
- ^ О'Коннор, Джей Джей; Э. Ф. Робертсон (август 2001 г.). «История Пи» . Архивировано 30 октября 2007 года . Проверено 30 октября 2007 года .
- ^ Математический форум - Спросите доктора математики
- ^ ЕВ 1992 , стр. 131
- Перейти ↑ Beckmann 1971 , p. 66
- ^ ЕВ 1992 , стр. 118
- ^ a b Eves 1992 , стр. 119
- Перейти ↑ Beckmann, 1971 , pp. 94–95
- ^ «Формулы Пи - от Wolfram MathWorld» . Mathworld.wolfram.com. 13 апреля 2016 . Проверено 18 апреля 2016 года .
- ^ «Что можно делать с суперкомпьютером? - ExtremeTech» .
- ^ Гарднер, Мартин (1995). «Новые математические отклонения». Математическая ассоциация Америки: 92. Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - ↑ Вложенное радикальное приближение для π. Архивировано 6 июля 2011 года в Wayback Machine.
- ^ "Потерянная страница записной книжки 16", Рамануджан
- Перейти ↑ Hoffman, DW College Mathematics Journal , 40 (2009) 399
- ^ «Математика» .
- ^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A002485 (Нумераторы подходящих к Пи)» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
- ^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A002486 (знаменатели подходящих дробей к Пи)» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
- ^ «Дробные приближения числа Пи» .
- ^ Хван Чин-Лиха (2005), «Элементарный вывод ряда Эйлера для функции арктангенса», Математическая газета , 89 (516): 469-470, DOI : 10,1017 / S0025557200178404
- ^ MathWorld: Формула BBP Wolfram.com
- ^ Plouffe, Саймон (2009). «О вычислении n ^ -го десятичного знака различных трансцендентных чисел». arXiv : 0912.0303v1 [ math.NT ].
- ^ Веб-сайт Белларда : Bellard.org
- ^ «Дэвид Х. Бэйли» . crd.LBL.gov . Проверено 11 декабря 2017 года .
- ^ «Мир Пи - Белларда» . Pi314.net. 13 апреля 2013 . Проверено 18 апреля 2016 года .
- ^ а б Труб, Питер (2020). Братья Борвейны, Пи и Общее собрание акционеров . Springer Proceedings по математике и статистике. 313 . arXiv : 1802.07558 . DOI : 10.1007 / 978-3-030-36568-4 . ISBN 978-3-030-36567-7. S2CID 214742997 .
- ^ Беллар, Фабрис. «ТачусПи» . Проверено 20 марта 2020 года .
- ^ " Время PiFast "
- ^ Такахаши, Дайсуке; Канада, Ясумаса (10 августа 2010 г.). "Домашняя страница Канадской лаборатории" . Токийский университет. Архивировано из оригинального 24 августа 2011 года . Проверено 1 мая 2011 года .
Рекомендации
- Бейли, Дэвид Х .; Борвейн, Питер Б. и Плафф, Саймон (апрель 1997 г.). «О быстром вычислении различных полилогарифмических констант» (PDF) . Математика вычислений . 66 (218): 903–913. Bibcode : 1997MaCom..66..903B . DOI : 10.1090 / S0025-5718-97-00856-9 .
- Бекманн, Петр (1971). История π . Нью-Йорк: Издательство Св. Мартина. ISBN 978-0-88029-418-8. Руководство по ремонту 0449960 .
- Евс, Ховард (1992). Введение в историю математики (6-е изд.). Издательство колледжа Сондерс. ISBN 978-0-03-029558-4.
- Джозеф, Джордж Г. (2000). Гребень павлина: неевропейские корни математики (Новое изд., Лондон: изд. Penguin). Лондон: Пингвин. ISBN 978-0-14-027778-4.
- Джексон, К; Штамп, Дж. (2002). Пирамида: за гранью воображения. Внутри Великой пирамиды Гизы . Лондон: BBC.[ ISBN отсутствует ]
- Берггрен, Леннарт; Borwein, Jonathan M .; Борвейн, Питер Б. (2004). Пи: справочник (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer Science + Business Media LLC. ISBN 978-1-4757-4217-6.